高考立體幾何大題及答案理

1、1.（2009全國卷）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點在側棱上，。 （I）證明：是側棱的中點；求二面角的大小。 2.（2009全國卷）如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分別為AA1、B1C的中點，DE平面BCC1（）證明：AB=AC（）設二面角A-BACBA1B1C1DED-C為60°,求B1C與平面BCD所成的角的大小 3.（2009浙江卷）如圖，平面，分別為的中點（I）證明：平面；（II）求與平面所成角的正弦值4.（2009北京卷）如圖，四棱錐的底面是正方形，點E在棱PB上.（）求證：平面；（）當且E為PB的中點時，求AE與平面PDB所成的角的大小.5.（

2、2009江西卷）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，以的中點為球心、為直徑的球面交于點（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角；（3）求點到平面的距離6.（2009四川卷）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求證：；（II）設線段、的中點分別為、，求證： （III）求二面角的大小。7.（2009湖北卷文）如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD,SDADa,點E是SD上的點，且DEa(0<1). ()求證：對任意的（0、1），都有ACBE:()若二面角C-AE-D的大小為600C，求的值。8.（2009湖南卷）如圖3，在正三棱

3、柱中，AB=4, ,點D是BC的中點，點E在AC上，且DEE.（）證明：平面平面; （）求直線AD和平面所成角的正弦值。9.（2009四川卷）如圖，正方形所在平面與平面四邊形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，（I）求證：；（II）設線段、的中點分別為、，求證： （III）求二面角的大小。10.（2009重慶卷文）如題（18）圖，在五面體中，四邊形為平行四邊形，平面，求：（）直線到平面的距離；（）二面角的平面角的正切值11如圖，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60°，AB2AD，PD底面ABCD(1)證明：PABD；(2)設PDAD，求二面角APBC的

4、余弦值12（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，ABCD,ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高 ，E為AD中點（1） 證明：PEBC（2） 若APB=ADB=60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值參考答案1、【解析】（I）解法一：作交于N，作交于E，連ME、NB，則面，,設，則,在中，。在中由解得，從而 M為側棱的中點M. 解法二:過作的平行線.（II）分析一:利用三垂線定理求解。在新教材中弱化了三垂線定理。這兩年高考中求二面角也基本上不用三垂線定理的方法求作二面角。過作交于,作交于,作交于,則,面,面面,面即為所求二面角的補角.法二：利用二面角的定

5、義。在等邊三角形中過點作交于點，則點為AM的中點，取SA的中點G，連GF，易證，則即為所求二面角.解法二、分別以DA、DC、DS為x、y、z軸如圖建立空間直角坐標系Dxyz，則。SABCDMzxy（）設，則，由題得，即解之個方程組得即所以是側棱的中點。法2：設，則又故，即，解得，所以是側棱的中點。（）由（）得，又，設分別是平面、的法向量，則且，即且分別令得，即，二面角的大小。2、解法一：（）取BC中點F，連接EF，則EF，從而EFDA。連接AF，則ADEF為平行四邊形，從而AF/DE。又DE平面，故AF平面，從而AFBC，即AF為BC的垂直平分線，所以AB=AC。（）作AGBD，垂足為G，連接

6、CG。由三垂線定理知CGBD，故AGC為二面角A-BD-C的平面角。由題設知，AGC=600. 設AC=2，則AG=。又AB=2，BC=，故AF=。由得2AD=，解得AD=。故AD=AF。又ADAF，所以四邊形ADEF為正方形。因為BCAF，BCAD，AFAD=A，故BC平面DEF，因此平面BCD平面DEF。連接AE、DF，設AEDF=H，則EHDF，EH平面BCD。連接CH，則ECH為與平面BCD所成的角。因ADEF為正方形，AD=，故EH=1，又EC=2，所以ECH=300，即與平面BCD所成的角為300.解法二：（）以A為坐標原點，射線AB為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系Axyz

7、。設B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），則（1，0，2c）,E（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由DE平面知DEBC， =0，求得b=1，所以 AB=AC。（）設平面BCD的法向量則又=（-1，1， 0），=（-1，0，c）,故令x=1, 則y=1, z=,=(1,1, ).又平面的法向量=（0，1，0）由二面角為60°知，=60°，故 °，求得于是 ， ， °所以與平面所成的角為30°3、（）證明：連接， 在中，分別是的中點，所以， 又，所以，又平面ACD ，DC平面ACD， 所以平面ACD（）在中，所以 而DC

8、平面ABC，所以平面ABC 而平面ABE， 所以平面ABE平面ABC， 所以平面ABE由（）知四邊形DCQP是平行四邊形，所以 所以平面ABE， 所以直線AD在平面ABE內的射影是AP， 所以直線AD與平面ABE所成角是 在中， ，所以4、【解法1】（）四邊形ABCD是正方形，ACBD，PDAC，AC平面PDB，平面.（）設ACBD=O，連接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO為AE與平面PDB所的角， O，E分別為DB、PB的中點， OE/PD，又， OE底面ABCD，OEAO， 在RtAOE中， ，即AE與平面PDB所成的角的大小為.【解法2】如圖，以D為原點建立空間直角坐標系，

9、設則，（），ACDP，ACDB，AC平面PDB，平面.（）當且E為PB的中點時， 設ACBD=O，連接OE， 由（）知AC平面PDB于O， AEO為AE與平面PDB所的角， ，即AE與平面PDB所成的角的大小為.多面體ABCDEF的體積為VEABCDVEBCF=5、解：方法（一）：（1）證：依題設，在以為直徑的球面上，則.因為平面，則，又，所以平面，則，因此有平面，所以平面平面.（）設平面與交于點，因為，所以平面，則，由（1）知，平面，則MN是PN在平面ABM上的射影，所以 就是與平面所成的角，且 所求角為（3）因為O是BD的中點，則O點到平面ABM的距離等于D點到平面ABM距離的一半，由（1

10、）知，平面于M，則|DM|就是D點到平面ABM距離.因為在RtPAD中，所以為中點，則O點到平面ABM的距離等于。方法二：（1）同方法一；（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，則， ，設平面的一個法向量，由可得：，令，則，即.設所求角為，則，所求角的大小為.（3）設所求距離為，由，得：6、【解析】解法一：因為平面ABEF平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面ABEF平面ABCD=AB，所以BC平面ABEF.所以BCEF.因為ABE為等腰直角三角形，AB=AE，所以AEB=45°，又因為AEF=45,所以FEB=90°，即EFBE.因為BC平面ABCD, BE平面BCE

11、,BCBE=B所以 6分（II）取BE的中點N,連結CN,MN,則MNPC PMNC為平行四邊形,所以PMCN. CN在平面BCE內,PM不在平面BCE內, PM平面BCE. 8分（III）由EAAB,平面ABEF平面ABCD,易知EA平面ABCD.作FGAB,交BA的延長線于G,則FGEA.從而FG平面ABCD,作GHBD于H,連結FH,則由三垂線定理知BDFH. FHG為二面角F-BD-A的平面角. FA=FE,AEF=45°,AEF=90°, FAG=45°.設AB=1,則AE=1,AF=,則在RtBGH中, GBH=45°,BG=AB+AG=1+

12、=,在RtFGH中, , 二面角的大小為 12分解法二: 因等腰直角三角形，所以又因為平面，所以平面，所以即兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標系, (I) 設，則，從而，于是， , 平面，平面， （II），從而 于是 ，又平面，直線不在平面內， 故平面（III）設平面的一個法向量為，并設（ 即 取，則，從而（1，1，3） 取平面D的一個法向量為 故二面角的大小為7、（）證發(fā)1：連接BD，由底面是正方形可得ACBD。 SD平面，BD是BE在平面ABCD上的射影，由三垂線定理得ACBE.(II)解法1：SD平面ABCD，平面， SDCD. 又底面是正方形， DD，又AD=D，CD平面SAD。過點D在平

13、面SAD內做DFAE于F，連接CF，則CFAE， 故CFD是二面角C-AE-D 的平面角，即CFD=60°在RtADE中，AD=, DE= ， AE= 。于是，DF=在RtCDF中，由cot60°=得， 即=3， 解得=8、解:（）如圖所示，由正三棱柱的性質知平面.又DE平面ABC，所以DE.而DEE，,所以DE平面.又DE 平面，故平面平面. （）解法 1: 過點A作AF垂直于點,連接DF.由（）知，平面平面，所以AF平面,故是直線AD和平面所成的角。 因為DE，所以DEAC.而ABC是邊長為4的正三角形，于是AD=，AE=4-CE=4-=3.又因為，所以E= = 4,

14、, .即直線AD和平面所成角的正弦值為 .解法2 : 如圖所示，設O是AC的中點，以O為原點建立空間直角坐標系，則相關各點的坐標分別是A(2,0,0,), (2,0,), D(-1, ,0), E(-1,0,0).易知=（-3，-），=（0，-，0），=（-3，0）.設是平面的一個法向量，則解得.故可取.于是 = . 由此即知，直線AD和平面所成角的正弦值為 .所以ME與BN不共面，它們是異面直線。 .12分9、【解析】解法一：因為平面ABEF平面ABCD，BC平面ABCD，BCAB，平面ABEF平面ABCD=AB，所以BC平面ABEF.所以BCEF.因為ABE為等腰直角三角形，AB=AE，所

15、以AEB=45°，又因為AEF=45,所以FEB=90°，即EFBE.因為BC平面ABCD, BE平面BCE,BCBE=B所以 6分（II）取BE的中點N,連結CN,MN,則MNPC PMNC為平行四邊形,所以PMCN. CN在平面BCE內,PM不在平面BCE內, PM平面BCE. 8分（III）由EAAB,平面ABEF平面ABCD,易知EA平面ABCD.作FGAB,交BA的延長線于G,則FGEA.從而FG平面ABCD,作GHBD于H,連結FH,則由三垂線定理知BDFH. FHG為二面角F-BD-A的平面角. FA=FE,AEF=45°,AEF=90°,

16、 FAG=45°.設AB=1,則AE=1,AF=,則在RtBGH中, GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,在RtFGH中, , 二面角的大小為12分解法二: 因等腰直角三角形，所以又因為平面，所以平面，所以即兩兩垂直；如圖建立空間直角坐標系, (I) 設，則，從而，于是， , 平面，平面， （II），從而 于是 ，又平面，直線不在平面內， 故平面（III）設平面的一個法向量為，并設（ 即 取，則，從而（1，1，3） 取平面D的一個法向量為 故二面角的大小為10、解法一:（）平面, AB到面的距離等于點A到面的距離，過點A作于G，因，故；又平面，由三垂線定理可知，故，知

17、，所以AG為所求直線AB到面的距離。在中，由平面，得AD，從而在中，。即直線到平面的距離為。（）由己知，平面，得AD，又由，知，故平面ABFE，所以，為二面角的平面角，記為.在中, ,由得,從而在中, ,故所以二面角的平面角的正切值為.解法二: （）如圖以A點為坐標原點,的方向為的正方向建立空間直角坐標系數(shù),則A(0,0,0) C(2,2,0) D(0,2,0) 設可得,由.即,解得 ，面,所以直線AB到面的距離等于點A到面的距離。設A點在平面上的射影點為,則 因且,而,此即 解得,知G點在面上,故G點在FD上.,故有 聯(lián)立,解得, 為直線AB到面的距離. 而 所以（）因四邊形為平行四邊形,則可設, .由得,解得.即.故由,因,故為二面角的平面角，又,所以11.解：(1)因為DAB60°，AB2AD，由余弦定理得.從而BD2AD2AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD故PABD(2)如圖，以D為坐標