中考數(shù)學中的最值問題解法(學生版)

1、中考數(shù)學幾何最值問題解法在平面幾何的動態(tài)問題中，當某幾何元素在給定條件變動時，求某幾何量如線段的長度、圖形的周 長或面積、角的度數(shù)以與它們的和與差的最大值或最小值問題，稱為最值問題。解決平面幾何最值問題的常用的方法有：1應用兩點間線段最短的公理含應用三角形的三邊關(guān)系求最值；2應用垂線段最短的性質(zhì)求最值；3應用軸對稱的性質(zhì)求最值；4應用二次函數(shù)求最值;5應用其它知識求最值。下面通過近年全國各地中考的實例探討其解法。應用兩點間線段最短的公理含應用三角形的三邊關(guān)系求最值典型例題:例1.如圖，/ MON=90，矩形ABCD勺頂點A、B分別在邊OMON上，當運動時,A隨之在邊OM上運動,矩形 ABCD勺

2、形狀保持不變，其中AB=2, BC=1,運動過B在邊ON上程中，點D到點O的最大距離為A.2B.5D.例2.在銳角三角形 ABC中，BC=4 2，/ ABC=45 ,BD平分/ ABC M N分別是BDBC上的動點，那么 CM+M的最小值是。例3.如圖，圓柱底面半徑為 2cm，高為9 cm，點A B分別是圓柱兩底面圓周上的點，且A、B在同一母線上，用一棉線從 A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B,求棉線最短為cm。例4.在厶ABC中，AB= 5, AC= 3, AD是BC邊上的中線，那么 AD的取值圍是練習題：1. 如圖，長方體的底面邊長分別為2 cm和4cm，高為5 cm.假設一只螞蟻從經(jīng)過4個側(cè)面爬行

3、一圈到達 Q點，那么螞蟻爬行的最短路徑長為【】A.13cm B.12cm C.10cm D.8cmP點開始4cm P2. 如圖，圓柱的底面周長為6cm AC是底面圓的直徑，高 BC=6cm點P是母線BC上一2點，且PC=BC. 只螞蟻從A點出發(fā)沿著圓柱體的外表爬行到點P的最短距離是 【3】A、4cm B、5cm C、3.5 cm D、7cm3. 如下列圖，在邊長為 2的正三角形 ABC中，E、F、G分別為AB AC BC的中點，點P為線段EF上一個動點，連接 BP、GP那么 BPG的周長的最小值是 = .二、應用垂線段最短的性質(zhì)求最值：典型例題：例1.在厶ABC中，AB= AC= 5, BC=

4、 6.假設點P在邊AC上移動，那么 BP的最小值是.例2.如圖，菱形ABCD中, AB=2, / A=120，點P, Q K分別為線段BC CD, BD上的任 意一點，那么PK+QKA.1B .3C . 2 D . 3 +1的最小值為【】例 3.梯形 ABCD AD/ BC, AB丄BC, AD= 1, AB= 2, BC= 3,問題1:如圖1, P為AB邊上的一點，以PD, PC為邊作平行四邊形 PCQD請問對角線PQ DC的長能否相 等，為什么？問題2 :如圖2,假設P為AB邊上一點，以PD PC為邊作平行四邊形 PCQD請問對角線PQ的長是否存在 最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存

5、在，請說明理由.問題3:假設P為AB邊上任意一點，延長PD到E,使DE=PD,再以PE,PC為邊作平行四邊形PCQE請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由.問題4:如圖3,假設P為DC邊上任意一點，延長 PA到E,使AE= nPAn為常數(shù),以PE PB為邊作平行 四邊形PBQE請?zhí)骄繉蔷€ PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明 理由.例4.如圖，點A的坐標為-1 , 0，點B在直線y x上運動，當線段 AB最短時，點B的坐標為【】K -A.0, 0B.1 ,-22/1 1B. C.-,D.二,2C2222例5.如圖，

6、在 ABC中，/ C=90 , AC=BC=4 D是AB的中點，點E、' .F分別在AC BC邊上運動點 E不與點 A C重合，且保持 AE=CF連接 / DE DF、IDSEF.在此運動變化的過程中，有以下結(jié)論： 厶DFE是等腰直角三角形； 四邊形CEDF不可能為正方形； 四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變化； 點C到線段EF的最大距離為巳其中正確結(jié)論的個數(shù)是【】A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個例6.如圖,第一步：如圖，在線段AD上任意取一點E,沿EB EC剪下一個三角形紙片EBC余下局部不再使用;第二步：如圖，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩局部，并在線段G

7、H上任意取一點M,線段BC上任意取一點N,沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩局部;第三步：如圖，將 MN左側(cè)紙片繞G點按順時針方向旋轉(zhuǎn) 180°,使線段GB與GE重合，將MN右側(cè)紙片繞H點按逆時針方向旋轉(zhuǎn) 180°,使線段 HC與HE重合，拼成一個與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片.注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊 那么拼成的這個四邊形紙片的周長的最小值為cm,最大值為 cm例7.如圖，在 ABC中，/ C=90 , AC=BC=4 D是AB的中點，點 E、F分別在AC BC邊上運動點 E不與點A、C重合，且保持AE=CF連接DE DF、EF.在此運動變化的過程中，有以下結(jié)

8、論： 厶DFE是等腰直角三角形； 四邊形CEDF不可能為正方形; 四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發(fā)生變 化； 點C到線段EF的最大距離為：'.其中正確結(jié)論的個數(shù)是【】E例 8.如圖， ABC中，/ BAC=60，/ ABC=45 ,AB=2.2 , D是線段BC上的一個動點，以 AD為直徑畫A. 1個 B. 2個C. 3個 D. 4個OO分別交AB, AC于 E, F,連接EF,那么線段EF長度的最小值為.例9.如下列圖，在菱形 ABCD中, AB=4, / BAD=120 , AEF為正三角形，點 E、F分別在菱形的邊 BC. CD上滑動，且E、F不與B. C. D重合.1證

9、明不管 E、F在BC. CD上如何滑動，總有 BE=CF2當點E、F在BC. CD上滑動時，分別探討四邊形 AECF和 CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個定值；如果變化，求出最大或 最小值.例10.在銳角 ABC中，AB=4, BC=5 / ACB=45，將 ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到AA iBC.1如圖1，當點G在線段CA的延長線上時，求/ CC iAi的度數(shù)；2如圖2，連接AA, CC.假設 ABA1的面積為4,求厶CBG的面積；3如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在 ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中, 點P的對應點是點P1,求線段EP長度的最大值與最

10、小值.例11.如圖，在 ABC中，點 D E分別在邊 BC AC上，連接AD DE且/仁/ B=Z C.1由題設條件，請寫出三個正確結(jié)論：要求不再添加其他字母和輔助線，找結(jié)論過程中添加的字母和輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不必證明答：結(jié)論一：；結(jié)論二：；結(jié)論三：.2假設/ B=45 , BC=2當點D在BC上運動時點 D不與B、C重合， 求CE的最大值； 假設 ADE是等腰三角形，求此時 BD的長.注意：在第2的求解過程中，假設有運用1中得出的結(jié)論，須加以證明練習題：1. 如圖，0P平分/ MON PAL ON于點A,點Q是射線0M上的一個動點，假設 PA=2,那么PQ的最小值為【 】A、1B、2

11、C 、3D 42. 如圖，等腰梯形 ABCD中, AD/ BC AD=AB=CD=2 / C=60 , M是 BC的中點.1求證： MDC是等邊三角形;2將厶MDC繞點M旋轉(zhuǎn)，當M即MD與AB交于一點E, M即 MC同時與 AD交于一點F時，點E, F和點A構(gòu)成 AEF試探究 AEF的周長是否存在最小值. 如果不存在，請說明理由；如果存在， 請計算出厶AEF周長的最小值.3.如圖，00的半徑為2，點0到直線I的距離為3,點P是直線I上的一個動點,PQ切00于點QA.13那么PQ的最小值為【4.如圖，在四邊形ABCC中, / A=90°, AD=4 連接 BDBDL CD設P是BC邊上

12、一動點，那么 DP長的最小值為.5.如圖，在 Rt ABC中，/ C=90 ,AB=10cm AC: BC=4: 3AlZ度為1cm/s，同時點Q從點B出發(fā)沿BtCA方向向點A運動，速度為2cm/s，當一個運動點到達終點時,另一個運動點也隨之停止運動.1求AC BC的長；2設點P的運動時間為x秒， PBQ的面積為ycm?，當厶PBQ存在時，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值圍；3當點Q在CA上運動，使 PQLAB時，以點 B P、Q為定點的三角形與 ABC是否相似，請說明理由;4當x=5秒時，在直線PQ上是否存在一點 M使厶BCM得周長最小，假設存在, 求出最小周長，假設不存在，請說明

13、理由.、應用軸對稱的性質(zhì)求最值：典型例題：例1. 20213分如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm底面周長為18cm,在杯離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點 A處，那么螞蟻到達蜂蜜的最短距離為cm.例 2.如圖，四邊形 ABCD中，/ BAD= 120°,/ B=Z »90°，在 BC CD上分別找一點M汕使厶AMN周長最小時，那么/ AMIZ ANM的度數(shù)為【 】A. 130°B . 120°C . 110° D . 100°例3點A、E均在由面積為1的一樣小矩形組成的網(wǎng)格的格

14、點上，建立平面直角坐標系如下列圖.假設P是x軸上使得PA PB的值最大的點，Q是y軸上使得QA十 QB的值最小的點，那么 OP OQ =.例4.如圖，正方形ABCD中, AB=4, E是BC的中點，點P是對角線 AC上一動點，_'那么PE+PB的最小值為.例5.如圖，MN為OO的直徑，A、B是O上的兩點，過 A作ACLMN于點C,過B作BDL MN于點D, P為DC上的任意一點，假設 MN= 20, AC= 8, BD= 6,那 么PA+ PB的最小值是。例6.閱讀材料：例：說明代數(shù)式x2 1 (x 3)2 + 4的幾何意義，并求它的最小值.解： X21.(x3)24(x 0)212.

15、(x 3)222，如圖，建立平面直角坐標系，點 P x, 0是x軸上一點，那么(x0)212可以看成點P與點A 0,1的距離， (x 3)222可以看成點P與點B 3, 2的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段 PA與PB長度之和，它的最小值就是 PA+ PB的最小 值.設點A關(guān)于x軸的對稱點為 A',那么PA=PA，因此，求 PA+ PB的最小值，只需求 PA + PB的最小值， 而點A'、B間的直線段距離最短，所以PA + PB的最小值為線段 A'B的長度.為此，構(gòu)造直角三角形A CE,因為A C=3 CB=3所以A B=3，即原式的最小值為 3貶。根據(jù)以上閱讀材料，

16、解答以下問題:叨月3 2>r o卩X-1'|<AfCPx, 0與點 A 1, 1、點 B1代數(shù)式.(x 1)2 1 (x 2)2 9的值可以看成平面直角坐標系中點 的距離之和.填寫點B的坐標2代數(shù)式.'x249 x212x37的最小值為.例7.在學習軸對稱的時候，教師讓同學們思考課本中的探究題。如圖1，要在燃氣管道I上修建一個泵站，分別向 A B兩鎮(zhèn)供氣泵站修在管道的什么地方,可使所用的輸氣管線最短?你可以在I上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你可以在I上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?I看成一條直線圖2,聰明的小華通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確方法他把

17、管道 問題就轉(zhuǎn)化為，要在直線 I上找一點P,使AP與BP的和最小.他的做法是這樣的: 作點B關(guān)于直線I的對稱點B'. 連接AB交直線I于點P,那么點P為所求.請你參考小華的做法解決以下問題如圖在厶 ABC中，點D、E分別是AB AC邊的中點，BC=6 BC邊上的高為4,請你在BC邊上確定一點卩，使厶PDE得周長最小.y1. 丁|-1- 4 詩 111ihd1bjha卓I1h TTHii 11hl*11b Liy/kmA42:Di caa1111abh n0jt/km246 E1O121在圖中作出點 P保存作圖痕跡，不寫作法2請直接寫出 PDE周長的最小值：練習題：1. 如圖，點A(1

18、, 1)、B(3，2)，且P為x軸上一動點，那么 ABP的周長的最小值為.2. 如圖，在平面直角坐標系中，有A(1 , 2) , B(3, 3)兩點，現(xiàn)另取一點 C(a ,1)，當a =時，AC+ BC的值最小.3. 去冬今春，市遭遇了 200年不遇的大旱，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題，要在某河道 建一座水泵站，分別向河的同一側(cè)村A和村B送水。經(jīng)實地勘查后，工程人員設計圖紙時，以河道上的大橋 0為坐標原點，以河道所在的直線為x軸建立直角坐標系如圖。兩村的坐標分別為 A2, 3，B 12, 7。(1)假設從節(jié)約經(jīng)費考慮，水泵站建在距離大橋0多遠的地方可使所用輸水管道最短?(2)水泵站建在距離大橋 0多

19、遠的地方，可使它到村、村的距離相等?AADI?4. 如圖，正方形ABCD勺邊長是4，/ DAC的平分線交DC于點E,假設點P、Q分別是和AE上的動點，那么 DQ+PQ勺最小值【】A 、 2 B 、 4 C 、 2.2 D 、 4.25. 如圖，在矩形 ABCD中, AB= 6, BC= 8,點E是BC中點，點F是邊CD上的任意一點，當 AEF的周長最小時，那么 DF的長為【】A. 1B. 2C. 3D. 46. 如圖，在菱形 ABCD中，對角線 AC=6 BD=8點E、F分別是邊 AB BC的 中點，點P在AC上運動，在運動過程中，存在 PE+PF的最小值，那么這個最小值是【】A. 3B. 4

20、C. 5 D. 67. 如圖，在梯形 ABCD中, AB/ CD / BAD=90 , AB=6 對角線 AC平分 / BAD點E在AB上，且 AE=2 AEv AD點P是AC上的動點，那么 PE+PB的最小值是.四、應用二次函數(shù)求最值：典型例題: 例1.正方形ABCD的邊長為1cm, M N分別是BC. CD上兩個動點，且始終保持 AML MN當BM=cmfl寸，四 邊形ABCN的面積最大，最大面積為 ent例2.如圖，線段AB的長為2, C為AB上一個動點，分別以 AC BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個等腰直角三 角形 ACD和厶BCE那么DE長的最小值是.例3.在矩形 ABCD中, AB=2

21、, AD=3,P是BC上的任意一點P與B、C不 重合，過點P作APLPE垂足為 P, PE交CD于點E.(1)連接AE當厶APE與厶ADE全等時，求 BP的長； 假設設BP為x, CE為y,試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式。當 x取何值時，y的值最大？最大值是多少?假設PE/ BD試求出此時 BP的長.例4.如圖，在平行四邊形 ABCD中 , AB=5 BC=10, F為AD的中點，CEL AB于E,設/ ABCa 60°Sv 90°.1當a =60°時，求 CE的長；k的值；假設不存2當 60°VaV 90° 時，是否存在正整數(shù) k,使得/ EFD=

22、MAEF?假設存在，求出 在，請說明理由.連接CF,當cE- cF取最大值時，求tan / DCF的值.例5.等邊 ABC的邊長為2, P是BC邊上的任一點與 B C不重合，連接AP,以AP為邊向兩側(cè)作等邊 APD和等邊 APE分別與邊 AB AC交于點M N如圖1。1求證：AM=AN2設 BP=x>假設，BM=3，求x的值;8 記四邊形ADPA ABC重疊局部的面積為 S, 求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以與 S的最小值； 連接DE分別與邊 AB AC交于點G H如圖 2，當x取何值時，/ BAD=150?并判斷此時以DG GH HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形，請說明理由。例

23、6.如圖，半徑為2的OO與直線I相切于點A,點P是直徑AB左側(cè)半圓上的動點， 過點P作直線I的垂 線，垂足為 C, PC與OO交于點D,連接PA PB,設PC的長為x 2< x< 4 .當x=5時，求弦PA PB的長度；2當x為何值時，PD PC的值最大？最大值是多少？例7.如下列圖，現(xiàn)有一邊長為 4的正方形紙片 ABCD點P為正方形AD邊上的一點不與點 A、點D重合 將正方形紙片折疊，使點 B落在P處，點C落在G處，PG交DC于H,折痕為EF,連接BP、BH1求證：/ APB=/ BPH2當點P在邊AD上移動時， PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；3設AP為x,四邊形EF

24、GP的面積為S,求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？假設存在， 求出這個最小值；假設不存在，請說明理由.例8.如圖，正三角形 ABC的邊長為3+ . 3 .1如圖，正方形EFPN勺頂點E、F在邊AB上，頂點 N在邊AC上.在正三角形 ABC與其部，以 A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E'F'P'N',且使正方形E'F'P'N'的面積最大不要求寫作法2求1中作出的正方形 E'F'P'N'的邊長;3如圖，在正三角形 ABC中放入正方形 DEMN和正方形EFPH使得D EF在邊AB上，

25、點P、N分別在邊CB CA上，求這兩個正方形面積和的最大值與最小值，并說明理由.I例 9.如圖，在 ABC 中，/ C=90 , BC=5米, AC=12米.M點在線段CA上，從C向A運動，速度為1米/秒；同時N點在線段AB上，從A向B運動，速度為2米/秒.運 動時間為t秒.1當t為何值時，/ AMNMANM2當t為何值時， AMN的面積最大？并求出這個最大值.例10.如圖，A、B兩點的坐標分別是8, 0、 0, 6，點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A作勻速直線運動,100v t v 10丨秒.解答如下問題:速度為每秒3個單位長度，點 Q由A出發(fā)沿AOO為坐標原點方向向點 O作勻速直線運動，速度為

26、每秒 2個單位長度，連接 PQ假設設運動時間為1當t為何值時，PQ/ BO2設厶AQP的面積為S, 求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出 S的最大值;假設我們規(guī)定：點P、Q的坐標分別為X1,yj,X2, y2，那么新坐標X2- X1,y2-yd稱為"向量PQ'的坐標.當S取最大值時，求“向量 PQ的坐標./ /a田：" $c圖2例11.如圖， ABC中，AB=10cm AC=8cm BC=6cm如果點P由B出發(fā)沿BA方向點A勻速運動，同時點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為2cm/s 連接PQ設運動的時間為t單位：s0< t < 4.解答以下

27、問題：1當t為何值時，PQ/ BC2設厶AQP面積為S單位：cm?，當t為何值時，S取得最大值，并求出最大值.3是否存在某時刻t，使線段PQ恰好把 ABC的面積平分？假設存在，求出此時t的值；假設不存在,請說明理由.4如圖2，把 AQP沿AP翻折，得到四邊形AQPQ.那么是否存在某時刻 t，使四邊形AQPQ為菱形? 假設存在，求出此時菱形的面積；假設不存在，請說明理由.例12.如圖，矩形 ABCD勺兩邊長AB=18cm AD=4cm點P、Q分別從A B同時出發(fā)，P在邊AB上沿AB方向以每秒2cm的速度勻速運動，Q在邊BC上沿BC方向以每秒1cm的速度勻速運動.設運動時間為x秒,2 PBQ的面積

28、為ycm.1求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 x的取值圍；2求厶PBQ的面積的最大值.例13.如圖，在 ABC中，AB=AC=5 BC=6且厶ABCA DEF將厶DEF與厶ABC重合在一起， ABC不動， ABC不動， DEF運動，并滿足：點 E在邊BC上沿B到C的方向運動，且 DE始終經(jīng)過點 A, EF與AC 交于M點.1求證： ABEA ECM2探究：在厶DEF運動過程中，重疊局部能否構(gòu)成等腰三角形？假設能，求出BE的長；假設不能，請說明理由；3當線段AM最短時，求重疊局部的面積._ 2.0.45 元 /cm 和 0.06 元/cm2，當O1的半徑為多少時，該玩具本錢最小?例14.在Rt P

29、OQ中，OP=OQ=4,M是PQ中點，把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)三角尺，三角尺的兩直角邊與厶POQ的兩直角邊分別交于點 A、B,(1) 求證：MA=MB(2) 連接AB探究：在旋轉(zhuǎn)三角尺的過程中， AOB的周長是否存在最小值，假設存在，求出最小值，假 設不存在。請說明理由。例15.某玩具由一個圓形區(qū)域和一個扇形區(qū)域組成，如圖， 在o和扇形O2CD中，O與o2c、o2d 分別相切于 A B， CO2D 60，E、F事直線O1O2與oO,、扇形O2CD的兩個交點，EF=24cm設。O,的半徑為x cm，用含x的代數(shù)式表示扇形 O2CD的半徑;假設OO1和扇形O2CD兩個區(qū)

30、域的制作本錢分別為例16.如圖，在 ABC中，AB=AC / B=30°, BC=8, D在邊BC上，E在線段 DC上, DE=4 DEF是等邊三 角形，邊 DF交邊AB于點M邊EF交邊AC于點N.1求證： BMOA CNE2當BD為何值時，以 M為圓心，以 MF為半徑的圓與 BC相切？3設BD=x五邊形ANED啲面積為y，求y與x之間的函數(shù)解析式要求寫出自變量x的取值圍；當x為何值時，y有最大值？并求y的最大值.練習題：1. 在等腰 ABC中，AB=AC=5 BC=6.動點 M N分別在兩腰 AB AC上 C M不與A、B重合，N不與 A C重 合，且MN/ BC將厶AMN沿MN所

31、在的直線折疊，使點 A的對應點為P.1當MN為何值時，點 P恰好落在BC上?2當MN=x MNP與等腰 ABC重疊局部的面積為 y,試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式.當 x為何值時，y 的值最大，最大值是多少？2. 如圖，在直角梯形 ABCD中，/ D=Z BCD=90，/ B=60°, AB=6 AD=9點E是CD上的一個動點(E不與 D重合)，過點E作EF/ AC,交 AD于點F(當E運動到C時，EF與AC重合).把 DEF沿EF對折，點 D的 對應點是點 G設DE=x GEF與梯形ABCD1疊局部的面積為 y。(1) 求CD的長與/I的度數(shù)；(2) 假設點G恰好在BC上，求此時x的值；

32、(3) 求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式。 并求x為何值時，y的值最大？最大值是多少？3. 圖形既關(guān)于點 0中心對稱，又關(guān)于直線 AC, BD對稱，AC=10 BD=6點E, M是線段AB上的動點不與端點重合，點0到EF，MN的距離分別為 h1，h2， OEA OG組成的圖形稱為蝶形。1求蝶形面積S的最大值；2當以EH為直徑的圓與以 MQ為直徑的圓重合時，求 0與h2滿足的關(guān)系式，并求 h2的取值圍。4.如圖，在邊長為 2的正方形ABCD中, P為AB的中點，Q為邊CD上一動點,設DQAPt 秒t > 0，正以EF為邊作正方形EFGH使它與 ABC在線段AB的同側(cè)，設E、F運動的時間為=t 0&

33、lt; t < 2，線段PQ的垂直平分線分別交邊 AD BC于點M N,過Q作QEL AB于點E,過M作MFL BC于點F.1當 t 工1 時，求證： PEQA NFM2順次連接P、M Q N,設四邊形PMQN勺面積為S,求出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求 S的最小值.5. 如圖，在 Rt ABC中，/ C= 90°, AC= 8, BC= 6,點 P在 AB上,=2。點E、F同時從點P出發(fā)，分別沿PA PB以每秒1個單位長度的速度向點A、B勻速運動，點E到達點A后立即以原速度沿 AB向點B運動，點F運動到點B時停止，點E也隨之停止在點E、F運動過程中，方形EFGHW AB

34、C重疊局部面積為 S.CABE1當t = 1時，正方形EFGH的邊長是；當t = 3時，正方形 EFGH的邊長是；2當0V t W2時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；3直接答出：在整個運動過程中 ，當t為何值時，S最大？最大面積是多少?6. 如圖圖1,圖2，四邊形 ABCD是邊長為4的正方形，點 E在線段BC上，/ AEF=90，且 EF交正方形外角平分線 CP于點F,交BC的延長線于點 N FNL BC1假設點E是BC的中點如圖1，AE與EF相等嗎？2點E在BC間運動時如圖2，設BE=x,A ECF的面積為y.12 求y與x的函數(shù)關(guān)系式； 當x取何值時，y有最大值，并求出這個最大值.五、應用其它知識

35、求最值：典型例題：例1.如圖.在 ABC 中，/ B= 90°,/ A= 30°,AC= 4cm,將厶ABC繞頂點C順時針方向旋轉(zhuǎn)至 A'B'C的位置，且A、C B'三點在同一條直線上，那么點A所經(jīng)過的最短路線的長為【A、4 3cmB、 8cm 8cm163cmD、8 cm3例2.如圖，線段OA交OO于點B,且OB=AB點P是OO的最大值是【A. 30°B . 45° C.60°D.90°例 3.如圖， ABC 中，/ C=90 ,AC=3, / B=30°么AP長不可能是【】A、3.5B、4.2、5

36、.8上的一個動點，那么/OAP，點P是BC邊上的動點，那5 例 4.如圖 1 和 2，在 ABC中，AB=13, BC=14, cos/ABC=?.13探究：如圖1, AHLBC于點H,那么AH= , AC= ABC的面積Smbc=;拓展：如圖2,點D在AC上可與點A，C重合，分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足為E，F(xiàn)，設BD=x,AE=m CF=n當點D與點A重合時，我們認為 Saabd=01用含x，m n的代數(shù)式表示 Saabd與 Sacbd；2求m+r與x的函數(shù)關(guān)系式，并求m+n的最大值和最小值；3對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D,指出這樣的x的取值圍.發(fā)現(xiàn)：請你確定一條直線，

37、使得A、B、C三點到這條直線的距離之和最小不必寫出過程，并寫出這個最小值.例5.如圖1至圖4中，兩平行線 AB CD間的距離均為6，點M為AB上一定點.思考如圖1，圓心為0的半圓形紙片在 AB, CD之間包括 AB, CD，其直徑MN在AB上, MN=8點P為半 圓上一點，設/ MOP=.當a =度時，點P到CD的距離最小，最小值為.探究一在圖1的根底上，以點 M為旋轉(zhuǎn)中心，在 AB CD之間順時針旋轉(zhuǎn)該半圓形紙片，直到不能再轉(zhuǎn)動為 止，如圖2,得到最大旋轉(zhuǎn)角/ BMO度，此時點 N到CD的距離是.探究二AA將如圖1中的扇形紙片NOF按下面對a的要求剪掉，使扇形紙片MOP繞點M在AB CD之間

38、順時針旋轉(zhuǎn).1如圖3，當a =60°時，求在旋轉(zhuǎn)過程中，點 P到CD的最小距'離，并請指出旋轉(zhuǎn)角/ BMO的最大值；2如圖4，在扇形紙片 MOP旋轉(zhuǎn)過程中，要保證點 P能落在直線CD上，請確定a的取值圍.參考數(shù)據(jù)：sin49 ° = 3 , cos41° = 3 , tan37 ° = 3 .444例6.在三角形紙片 ABC中，/ ABC=90 , AB=6, BC=8過點A作直線I平行于BC,折疊三角形紙片 ABC, 使直角頂點B落在直線I上的T處，折痕為MN當點T在直線I上移動時，折痕的端點 MN也隨之移動.假 設限定端點 M N分別在AB

39、BC邊上移動，那么線段 AT長度的最大值與最小值之和為 計算結(jié)果不取近似值.例7.如圖，在矩形 ABCD中，將矩形折疊，使 B落在邊AD含端點上，落點記為 E,這時折痕與邊 BC 或者邊CD含端點交于F,然后展開鋪平，那么以 B、E、F為頂點的三角形厶BEF稱為矩形ABCD的“折 痕三角形"1由“折痕三角形'的定義可知，矩形ABCD的任意一個“折痕厶BEF是一個三角形2如圖、在矩形 ABCD中, AB=2, BC=4,當它的“折痕 BEF的頂點 E位于AD的中點時，畫出這 個“折痕厶BEF，并求出點 F的坐標；3如圖，在矩形 ABCD中，AB=2 BC=4該矩形是否存在面積最大的“折痕 BEF