折疊問題中相似三角形的識別

1、折疊問題中相似三角折疊問題中相似三角形的識別形的識別初三數學初三數學主講教師主講教師:張華云張華云相似三角形的識別法相似三角形的識別法識別法一：兩角對應相等，兩三角形相似識別法二：兩邊對應成比例，且夾角相等， 兩三角形相似識別法三：三邊對應成比例，兩三角形相似特別地： 一對銳角對應相等，兩直角三角形相似識別法如下：應用的較多！從幾何變換的角度看三角形中的相似三角形從幾何變換的角度看三角形中的相似三角形：ADECBADECBAEC(D)BAEDCBAEDCB例例1.任給一張矩形（非正方形）的紙片任給一張矩形（非正方形）的紙片ABCD，把它，把它的頂點的頂點B 沿沿AF 對折，使點對折，使點B 恰

2、好落在恰好落在CD 邊上的邊上的E 處處.CBADEF(1)觀察矩形ABCD被分成了幾個互不重合的三角形？它們分別是什么三角形？ 從圖上易知矩形ABCD被分成了4個互不重 合的三角形，它們都是直角三角形EAFBAF（且全等） DAECFE 例例1.任給一張矩形（非正方形）的紙片任給一張矩形（非正方形）的紙片ABCD，把它，把它的頂點的頂點B沿沿AF對折，使點對折，使點B恰好落在恰好落在CD邊上的邊上的E處處 C CB BA AD DE EF F(2) 請找出圖中的相似三角形； RtDAE和RtEAF中， DEA+DAE=90 DEA+CEF=90 所以DAE=CEF，從而DAECFE不一定不一

3、定 例例1 1任給一張矩形（非正方形）的紙片任給一張矩形（非正方形）的紙片ABCDABCD，把它的，把它的頂點頂點B B沿沿AFAF對折，使點對折，使點B B恰好落在恰好落在CDCD邊上的邊上的E E處處 C CB BA AD DE EF F(3) 想一想：這4個三角形是兩兩相似的嗎？EAFBAF（且全等） ； DAECFE DAE 相似于EAF？由(2)知：例例1.任給一張矩形（非正方形）的紙片任給一張矩形（非正方形）的紙片ABCD，把它，把它的頂點的頂點B沿沿AF對折，使點對折，使點B恰好落在恰好落在CD邊上的邊上的E處處CBADEF(4)做一做：你能分析出要使這 4 個三角形兩兩相似，

4、對于4個直角三角形中的銳角有何要求嗎？CBA ADEF若DAEEAF若DEAEAF？因為DEA=EAB所以不可能！需要DAE=EAF又EAF=FAB DAE+EAF+FAB=90所以DAE=EAF=FAB=30所以要使這 4 個三角形兩兩相似，則 4 個直角三角形中均有一個銳角為 30 ，另一個銳角為60 需要DEA=EAF又EAB=2EAF例例1.任給一張矩形（非正方形）的紙片任給一張矩形（非正方形）的紙片ABCD，把它，把它的的 頂點頂點B沿沿AF對折，使點對折，使點B 恰好落在恰好落在CD 邊上的邊上的E 處處 (5)做一做：由(4)知，存在這樣的矩形（如圖）按題 中的方法對折后，形成的

5、4個三角形是兩兩相似的， 需要的條件是DAE=EAF=FAB=30現在請大 家動手，把頂點D沿AE對折，把頂點C沿EF對折， 看一看， D、C落在了何處？D DA AB BF FC CE E邊邊AFAF上上E 為CD的中點E點在CD上的位置有何特點？為什么？ (6)試一試：給你若干張長方形的紙片、一副三角試一試：給你若干張長方形的紙片、一副三角板、剪刀和膠水，你能否剪拼出一個矩形，按題板、剪刀和膠水，你能否剪拼出一個矩形，按題中的方法對折后，形成的中的方法對折后，形成的4個三角形是兩兩相似的？個三角形是兩兩相似的？E(B)D(C)由(5)知，把下圖滿足條件的矩形ABCD的頂點B沿AF對折，使點

6、B恰好落在CD邊上的E處后，再把頂點D沿AE對折，把頂點C沿EF對折，D、C均落在了邊AF上，且這兩點重合，如右下圖所示DABFCE先用30的三角板作出RtAEF和斜邊AF上的高ED，再分別剪出三個分別和AED 、EFD、 AEF全等的三角形，然后用膠水拼一下即可這就給了我們一個啟示！FA練一練練一練(7)練一練：你能分析出如果一個矩形按題練一練：你能分析出如果一個矩形按題中的方法對折后，形成的中的方法對折后，形成的4個三角形是個三角形是兩兩相似的話，那么這個矩形的長和寬兩兩相似的話，那么這個矩形的長和寬的比是多少呢？的比是多少呢？注：請學過尺規(guī)作圖的同學，思考一下如何用尺規(guī) 作圖的方法畫出一

7、個這樣的矩形所以AB: BC= :(x+2x) = :3x3232DABFCEx2x4x2x3x2 3xRtCEF中， CEF=30，設CF=x，則EF=2x， CE=x3RtEAF中， EAF=30，則AF=4x， AB=x32練習練習. 如圖所示，以如圖所示，以DE為軸，折疊等邊為軸，折疊等邊 ABC，頂，頂點點A恰好落在恰好落在BC邊上的邊上的F處處A AB BC CF FE ED D3 31 1 2 2(1) 觀察ABC被分成了幾個互不重合的三角形？易知ABC被分成了4個互不重合的三角形(2) 請找出圖中的相似三角形；ADEFDE（且全等） BDFCFE 又DEF由折疊得到，所以DFE

8、=A=60， 1+2=120 1+3=120所以2=3所以BDFCFE 因為等邊ABC，所以B=C=60練習練習練習練習. 如圖所示，以如圖所示，以DE為軸，折疊等邊為軸，折疊等邊 ABC，頂點，頂點A恰好落在恰好落在BC邊上的邊上的F處處A AB BC CF FE ED D3 31 12 2A AB BC CFE ED D312(3) 做一做：如果這4個三角形是兩兩相似的，那么對軸DE有何要求？由(2)知：ADEFDE（且全等） BDFCFE 不一定 BDF相似于FDE？若BDFFDE？需要BDF=FDE又ADE=FDE ADE+FDE+BDF=180所以ADE=FDE=FDB=60已知B=DFE=60若BDFFED？需要BDF=FED從而需要DE平行于BC且DE為等邊ABC的中位線又BDF=CFE，類似可得上述對DE的要求思考題思考題1： 如圖所示，如圖所示，AB是等腰直角是等腰直角 ABC的斜的斜邊，若點邊，若點 M在在AC邊上，點邊上，點N在在BC邊上，設邊上，設 MCN沿