三角形四心與向量典型問題分析

1、三角形四心與的典型問題分析是結(jié)合的載體，有方向，大小，雙重性，不能比較大小。在高中數(shù)學“平面”（必修 4 第二章）的學習中，一方面通過結(jié)合來研究的概念和運算；另一方面，我們又以為工具，運用結(jié)合的思想解決數(shù)學問題和物理的相關(guān)問題。在平面的應用中，用平面解決平面幾何問題時，首先將幾何問題中的幾何元素和幾何用表示，然后選擇適當?shù)幕?，將相關(guān)表示為基的線性組合，把問題轉(zhuǎn)化為基的運算問題，最后將運算的結(jié)果再還原為幾何。下面就以三角形的四心為出發(fā)點，應用相關(guān)知識，巧妙的解決了三角形四心所具備的一些特定的性質(zhì)。既學習了三角形四心的一些特定性質(zhì)，又體會了帶來的巧妙獨特的數(shù)學美感。一、“重心”的風采【命題 1】

2、 已知G 是ABC 所在平面上的一點，若GA + GB + GC = 0 ，則G 是ABC 的重心如圖.CPA'BMGACABO圖圖已知 O 是平面上一定點， A，B，C 是平面上不共線的三個點， 動點 P 滿足【命題 2 】OP = OA + l(AB + AC) ， l Î(0，+ ¥) ，則 P 的軌跡一定通過ABC 的重心.由題意 AP = l(AB + AC) ，當l Î(0，+ ¥) 時，由于l(AB + AC) 表示 BC 邊上的中線【】所在直線的，所以動點 P 的軌跡一定通過ABC 的重心，如圖.二、“垂心”的風采【命題 3】 P

3、 是ABC 所在平面上一點，若 PA × PB = PB × PC = PC × PA，則 P 是ABC 的垂心】 由 PA× PB = PB × PC ，得 PB ×(PA - PC) = 0 ，即 PB ×CA = 0 ，所以 PB CA 同理【可證 PC AB ， PA BC P 是ABC 的垂心如圖.- 1 -CAEMHCPBPBAFO圖圖【命題 4 】已知 O 是平面上一定點， A，B，C 是平面上不共線的三個點， 動點 P 滿足æöABACOP = OA + l ç+÷ ，

4、l Î(0，+ ¥) ，則動點 P 的軌跡一定通過ABC 的垂心çAC cos C ÷AB cos BèøæöæöABACABAC【】由題意 AP = l ç+÷ ，由于ç+÷ × BC = 0 ，çAC cos C ÷çAC cos C ÷AB cos BAB cos BèøèøAB × BCAC × BC+=- CB= 0 ,所以 AP 表示垂

5、直于 BC 的，即 P 點在過點BC即AB cos BAC cos CA 且垂直于 BC 的直線上，所以動點 P 的軌跡一定通過ABC 的垂心，如圖.三、“內(nèi)心”的風采【命題 5 】已知 I 為 ABC 所在平面上的一點， 且 AB = c ， AC = b ， BC = a若aIA + bIB + cIC = 0 ，則 I 是ABC 的內(nèi)心BCOacIPBACAb圖圖】 IB = IA + AB ， IC = IA + AC ，則由題意得(a + b + c)IA + bAB + c AC = 0 ，【æöABACAB × ç+÷， b AB

6、 + c AC =AC × AB +AB × AC =AC ×ç÷èø- 2 -ACABæöbcABACABABACACç+÷ AI =分別為 AB 和 AC 方向上的與，a + b + c ç÷èø AI 與BAC 平分線共線，即 AI 平分ÐBAC 同理可證： BI 平分ÐABC ， CI 平分ÐACB 從而 I 是ABC 的內(nèi)心，如圖.【命題 6 】已知 O 是平面上一定點， A，B，C 是平面上不共線的三個點

7、， 動點 P 滿足æöABACOP = OA + l ç+÷， l Î(0，+ ¥) ，則動點 P 的軌跡一定通過ABC 的內(nèi)心ç÷èøæöABAC】 由題意得 AP = l ç+÷ ，當l Î(0，+ ¥) 時， AP 表示ÐBAC 的平分線所在【ç÷èø直線方向的，故動點 P 的軌跡一定通過ABC 的內(nèi)心，如圖.四、“外心”的風采已知O 是ABC 所在平面上一點，若OA2 = OB2

8、 = OC2 ，則O 是ABC 的外心【命題 7】CBMPBAOOCA圖圖222222】 若OA = OB = OC ，則= OB= OC= OCOA， OAOB，則O 是ABC【的外心，如圖?！久} 7 】已知 O 是平面上的一定點， A，B，C 是平面上不共線的三個點， 動點 P 滿足æöOB + OCABAC+ l ç+÷ ， l Î(0，+ ¥) ，則動點 P 的軌跡一定通過ABCOP =çAC cos C ÷2AB cos Bèø的外心。æöOB + OCABAC過 BC 的中點，當l Î(0，+ ¥) 時， l ç +÷ 表示垂【】 由于çAC cos C ÷2AB