利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)性質(zhì)（Word）

1、第二章 一元微分學(xué)第六節(jié) 利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)性質(zhì)本節(jié)內(nèi)容包括：利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)極值和極值點(diǎn)、最值和最值點(diǎn)及其應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)圖形的凹凸性、求曲線的拐點(diǎn)，求曲線切線、法線、漸近線及函數(shù)作圖等。這部分內(nèi)容很重要，事實(shí)上前面幾節(jié)的知識都用到了本節(jié)的內(nèi)容。在高等數(shù)學(xué)的各種考試中本節(jié)的知識都是重要部分，同學(xué)們一定要很熟練。但由于這部分內(nèi)容一般不要求很高的技巧（要求熟練、準(zhǔn)確及對概念的清楚），所以只簡單地舉幾個例子。最后舉二個例子介紹相關(guān)變化率的問題。例1 設(shè)二階可導(dǎo)，若曲線的一個拐點(diǎn)為，則分析：由題設(shè)知并且，而由，得注：本題的解決無需技巧，關(guān)鍵是清楚拐點(diǎn)的概念及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)例：求曲線

2、的漸近線解：先看是否有水平漸近線：易見 時(shí)，所以有，故有水平漸近線；再看是否有鉛直漸近線：易見 時(shí)，所以有，故有鉛直漸近線；再看是否有斜漸近線：易見，故無斜漸近線例求橢圓在第一象限中的切線，使它被兩坐標(biāo)軸所截的線段最短解法一：橢圓的參數(shù)方程為，設(shè)切點(diǎn)為- 1 - / 7，那么切線的斜率為，切線方程為切線在軸上的截距為，切線在軸上的截距為從所截線段長為求的最小值點(diǎn)等價(jià)于求的最小值點(diǎn)從而知在有唯一駐點(diǎn)，由本問題的實(shí)際背景我們可以判斷在內(nèi)取得最小值，因此時(shí)取得最小值此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為所求的切線方程為，化簡得解法二：設(shè)切點(diǎn)為，那么切線的斜率為，切線方程為切線在軸上的截距為，切線在軸上的截距為從所截線段長為

3、求的最小值點(diǎn)等價(jià)于求的最小值點(diǎn)又滿足聯(lián)立以上兩個方程得：從而知在有唯一駐點(diǎn)，由本問題的實(shí)際背景我們可以判斷在內(nèi)取得最小值，因此時(shí)取得最小值此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為所求的切線方程注：利用高等數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題（即所謂的應(yīng)用題）幾乎是必考的其中用微分學(xué)（一元或多元微分學(xué)）知識解決實(shí)際應(yīng)用中的最大值或最小值問題是其中很重要的一部分解決這種問題的關(guān)鍵是：根據(jù)實(shí)際背景和問題的要求選好自變量并求出目標(biāo)函數(shù)同時(shí)確定該目標(biāo)函數(shù)的定義域（一般情況下是一個區(qū)間，可以是開的、閉的或半開半閉，也可是有限的、無限的）求出目標(biāo)函數(shù)在內(nèi)的駐點(diǎn)，如果駐點(diǎn)是唯一的，那么可用下面兩種方式說明該駐點(diǎn)就是所求的最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)：（）根據(jù)實(shí)

4、際問題的背景，可以判定目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取得最大值（或最小值），且在內(nèi)的駐點(diǎn)又是唯一的，則該駐點(diǎn)就是最大值點(diǎn)（最小值點(diǎn)）（）若目標(biāo)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)，又通過一階導(dǎo)或二階導(dǎo)可以判定該駐點(diǎn)為極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)），則該駐點(diǎn)就是最大值點(diǎn)（最小值點(diǎn)）另外要注意：選擇不同的自變量，目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式會不一樣，計(jì)算量及復(fù)雜性可能有很大差別，因此選擇合適的自變量有時(shí)是很關(guān)鍵的有的問題既可用一元微分學(xué)去解決，也用二元微分學(xué)去解決，就看哪個更簡便事實(shí)上例用二元微分學(xué)知識去解可能更方便，實(shí)際就是求目函數(shù)在約束條件下的最小值問題，可用拉格朗日乘數(shù)法去解決例4一長度為的梯子鉛直地靠在鉛直的墻上，其下端沿地板以的速

5、度離開墻角而滑動，（） 當(dāng)其下端離開墻角時(shí)，梯子上端下滑的速度是多少？（） 何時(shí)梯子上、下端滑行的速度相同？解：（）梯子滑行秒時(shí)，上、下端距離墻角的距離分別為米和米，依題意有，本題欲求，對兩邊對時(shí)間求導(dǎo)得從而得，即上端下滑速度為（） 由，得，即梯子滑行秒后，其上、下端滑行的速度相同注：仔細(xì)體會本題的解答，本題中涉及三個變量，任一變量都是任一其它變量的函數(shù)，本題中己知 的函數(shù)關(guān)系，且己知對的導(dǎo)數(shù)，要求對的導(dǎo)數(shù)這種問題稱為相關(guān)變化率的問題在己知 的函數(shù)關(guān)系后，這種問題是簡單的，只須兩邊對求導(dǎo)可得，從而求出在具體問題中，難點(diǎn)可能是 的函數(shù)關(guān)系的建立例溶液自深頂直徑為的正圓錐漏斗中漏入一直徑為的圓柱形

6、容器中，開始時(shí)漏斗盛滿水，當(dāng)溶液在漏斗中深時(shí)，其水平面下落速度為，問此時(shí)圓柱形容器中水平面上升的速度為多少？分析：這里涉及三個變量：時(shí)刻，及時(shí)刻時(shí)漏斗水面深度、圓柱形容器中的水面高度，都是的函數(shù)，是的函數(shù)。已知，欲求。仿上面例題，如能建立的函數(shù)關(guān)系，問題就不難了。那么的函數(shù)關(guān)系的建立成為解決本題的關(guān)鍵，這種關(guān)系的建立是基于“漏斗漏出的水量和圓柱形容器中的水量相等”。解：設(shè)在時(shí)刻漏斗水的深度和圓柱形容器中水的深度分別為厘米和厘米，時(shí)刻漏斗的水面半徑為，此時(shí)漏斗漏出的水量為 ，此時(shí)圓柱形容器中的水量為，因此有 兩邊對求導(dǎo)得 ，又由，得。練習(xí)題:設(shè)為正整數(shù)），證明在內(nèi)有正的最小值 （先說明有最小值點(diǎn)

7、，記為，那么，再利用）比較與的大小（注意變形取對數(shù)變成為比較與的大小，它等價(jià)于比較與的大小，利用的單調(diào)性可解決問題）求數(shù)列中的最大項(xiàng) （數(shù)列也是函數(shù)，求其最大值（即最大項(xiàng)）的問題可用單調(diào)性解決這種函數(shù)的自變量是離散變量，不能對求導(dǎo)，于是把變成，通過討論的單調(diào)性進(jìn)而得到數(shù)列隨增加時(shí)（或減少時(shí)）的變化情況，再求出最大項(xiàng)本題中，但由于求導(dǎo)不是很方便，可考慮函數(shù)）求曲線的拐點(diǎn)（答案：） 設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿足，求的表達(dá)式并求曲線的漸近線（由，作換元得，即，再作換元得即，由以上三個式子可得的表達(dá)式，有了表達(dá)式后再求漸近線是容易的）將分成分（即），為多少且各是多少時(shí)，乘積最大。（對于固定的，時(shí)乘積最大，最大值為，問題轉(zhuǎn)化求，使最大）（1）求的最小值；（2）設(shè)正值序列滿足，證：收斂，并求其極限。8