數學廣角──植樹問題教材分析

1、數學廣角植樹問題教材分析 湖北省武漢市華中師范大學附屬小學董艷（初稿）湖北省武漢市教育科學研究院馬青山（統(tǒng)稿）和前面幾冊教材一樣，本冊也專門安排了“數學廣角”單元，向學生滲透了一些重要的數學思想方法。本冊的“數學廣角植樹問題”包含三個例題，主要是滲透有關植樹問題的一些思想方法，通過現實生活中一些常見的實際問題，讓學生從中發(fā)現一些規(guī)律，抽取出其中的數學模型，然后再用發(fā)現的規(guī)律來解決生活中的一些簡單實際問題。解決植樹問題的思想方法是實際生活中應用比較廣泛的數學思想方法。植樹問題通常是指沿一定的路線植樹，這條路線的總長度被樹平均分成若干段（間隔），由于路線的不同、植樹要求的不同，路線被分成的段數（間

2、隔數）和植樹的棵數之間的關系就不同。在現實生活中類似的問題還有很多，比如公路兩旁安裝路燈、花壇擺花、廣場敲鐘等，這些問題情境中都隱藏著總數和間隔數之間的關系問題，我們就把這類問題統(tǒng)稱為植樹問題。在植樹問題中，“植樹”的路線可以是一條線段，也可以是一條首尾相接的封閉曲線（如正方形、長方形或圓形等）。即使是關于一條線段的植樹問題，也可能有不同的情形（如兩端都要栽，只在一端栽另一端不栽，或是兩端都不栽）。義務教育數學課程標準（2011年版）強調：“要從學生已有的生活經驗出發(fā)，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多

3、方面得到進步和發(fā)展”。教材在編排上，注重引導學生進行觀察、猜測、驗證、推理等數學活動，使學生初步體會解決植樹問題的思想方法（模型思想），培養(yǎng)學生從實際問題中探索解決問題的有效方法的能力。在教學植樹問題時，教師要引導學生根據實際問題情境，從簡單的情況入手，在解決問題的分析、思考過程中，逐步發(fā)現隱含的規(guī)律，經歷建立數學模型的過程，幫助學生積累數學活動的經驗，提高學生解決實際問題的能力。下面就教材中安排的三個典型例題進行分析。一、經歷解決問題的過程教材第106頁例1通過學生熟悉的植樹情境，引導學生借助線段圖，經歷猜想、實驗、抽象等數學活動過程，探索間隔與點之間的數量關系，建立植樹問題的數學模型，再運

4、用模型解決實際問題。讓學生經歷分析、思考、解決問題的全過程。教材用幾個小朋友的對話和圖片來呈現學生探索解決問題的過程。首先由一個男孩說出學生們可能會想到的答案：“100÷5=20（棵）”，接著一個女孩問：“對嗎？檢驗一下”，來引發(fā)學生思考。接下來由小精靈提出了解決問題的常用方法從簡單的情況入手解決復雜的問題。這里先呈現直觀的圖示法，讓學生看到把一條線段平均分成4段，加上兩個端點，一共有5個點，也就是要栽5棵樹。使學生發(fā)現植樹時確定樹苗數量的問題并不能簡單地用除法來解決。緊接著一個小男孩提出“25 m可以栽幾棵？”這次用畫線段圖的方式解決問題，不僅在研究方法上從直觀轉為抽象，更是向學生

5、滲透歸納思想一個特例不足以說明問題，多個不同的事物才能揭示規(guī)律。然后向學生提問：“你發(fā)現了什么規(guī)律？”啟發(fā)學生透過現象發(fā)現規(guī)律，也就是栽樹的棵數要比間隔數多1。同時教材進一步提出“不畫圖，你知道30 m、35 m要栽幾棵樹嗎？”讓學生利用發(fā)現的規(guī)律先解決簡單的問題。最后教材要求應用發(fā)現的規(guī)律來解決前面的植樹問題：100 m長的小路共有20個間隔，兩端都要栽，所以一共要栽21棵樹。這樣就把分析、思考、解決問題的整個全過程展示出來，讓學生經歷這個過程并從中學習一些解決問題的方法和策略。即遇到問題時，可以先給出一個猜測，要判斷這個猜測對不對，可以用比較簡單的例子來檢驗，并且可以從簡單的事例中發(fā)現規(guī)律

6、，然后應用找到的規(guī)律來解決原來的問題。對于例2（兩端不栽的情況）以及第107頁“做一做”第2題（一端栽一端不栽的情況），由于學生前面有了探索的經驗，這里可以放手讓學生去探索，用自己的方法去發(fā)現這兩種情況的植樹問題中隱含的規(guī)律。二、體會基本的數學思想本單元通過一些生活中的事例，讓學生根據不同的情況總結出規(guī)律，并利用這些規(guī)律解決問題。但是，本單元的教學最終目的并不只是讓學生明白規(guī)律，而是要引領學生進一步探究規(guī)律的產生原因，幫助其建立“一一對應”的思維方式，形成解決問題的策略，從而體驗數學思想方法在解決實際問題中的應用。在“植樹問題”中最重要的數學思想就是模型思想，而如何讓學生理解從實際問題中抽象出

7、數學模型的過程是教學“植樹問題”的難點。為了突破這一難點，教材突出了線段圖的教學，通過幾何直觀幫助學生理解“植樹問題”的數學模型。例1是探討關于一條線段、并且兩端都要栽的植樹問題，讓學生通過畫線段圖來發(fā)現栽樹的棵數和間隔數之間的關系。通過這兩幅圖，讓學生把“點”（樹）與“線”（間隔）一一對應起來，結果發(fā)現還多出一個“點”（樹），所以“栽樹棵數=間隔數+1”。例2通過遷移呈現出兩端都不栽的線段圖，“做一做”的第2題讓學生通過遷移畫出一端栽另一端不栽的線段圖。例3則讓學生理解在封閉曲線上植樹的線段圖的畫法以及溝通它和一條線段上植樹中的一端栽另一端不栽的聯(lián)系。整個單元教材通過線段圖的教學，突出“一一

8、對應”的思想，并以此為基礎分析植樹問題三種不同的情況，即“兩端都栽”“只栽一端”與“兩端都不栽”。無論哪種情形，都能用“一一對應”的思想統(tǒng)領。教材通過選取生活中不同的事例，讓學生體會一種在數學學習、研究問題上都很重要的數學思想方法化歸思想，使學生感悟到應用數學模型解決問題所帶來的便利。同時培養(yǎng)學生在解決實際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效方法的能力，初步培養(yǎng)學生抽取數學模型的能力。在練習中，教材以“植樹問題”為背景幫助學生清楚地認識到路燈問題、敲鐘問題、鋸木問題等都與“植樹問題”有著相同的數學結構，讓學生建構相應的數學模型。三、感受轉化的研究方法，積累基本的活動經驗教材第108頁例3討論的是

9、在封閉圖形周圍栽樹的情形。學生學習了例1、例2后，掌握了直線段中的植樹問題（在線段的兩端都栽、兩端都不栽或只栽一端的情況下，栽的棵數與間隔數的關系）。教材這樣的編排意圖很顯然是要用植樹問題的思考方法來解決封閉圖形中的植樹問題。面對封閉圖形中的植樹問題，教材首先提示研究方法：“先畫圖試試看。假設周長是40 m”，引導學生根據前面例1、例2的研究經驗直觀作圖、化繁為簡來嘗試解決問題。當學生直觀看出能栽4棵后，教材并不急于讓學生探索出封閉圖形植樹問題中的規(guī)律（即間隔數等于棵數），而是請小精靈進一步提出問題：“如果把圓拉直成線段，你能發(fā)現什么？”從而把學生的思維引向深處。讓學生通過觀察、思考發(fā)現，化曲

10、為直后，封閉圖形上植樹其實可以轉化成“一端栽另一端不栽”的情形。接下來，教材通過兩位學生的對話“我發(fā)現間隔數與樹一一對應”“相當于一端栽，一端不栽”，不僅揭示了封閉圖形上植樹的規(guī)律，更是為學生溝通了例3與前面的例1、例2間的聯(lián)系。本單元注重讓學生經歷觀察、猜測、驗證、推理與交流等活動，使學生既學會一些解決問題的一般方法與策略，又積累基本的數學活動經驗。例如，例1通過“對嗎？檢驗一下”“100 m太長了，可以先用簡單的數試試”“你發(fā)現了什么規(guī)律”等，滲透了“猜測探索歸納應用”的解決問題的策略和化繁為簡的解決問題的方法數學廣角植樹問題重難點突破 湖北省武漢市華中師范大學附屬小學董艷（初稿）湖北省武

11、漢市教育科學研究院馬青山（統(tǒng)稿）一、建構數學模型，探尋規(guī)律突破建議：本單元是讓學生通過生活中的簡單事例，初步體會解決植樹問題的思想方法，同時培養(yǎng)學生在解決實際問題中探索規(guī)律，找出解決問題的有效方法的能力，初步培養(yǎng)學生抽取數學模型的能力。教師教學時，應從實際問題入手，引導學生在解決問題的分析、思考過程中逐步發(fā)現隱含于不同的情形中的規(guī)律，經歷抽取出數學模型的過程，體驗數學思想方法在解決實際問題中的應用。二、初步體會植樹問題的數學思想方法突破建議：“數學廣角”的教學目的主要是讓學生體驗知識的形成過程和感悟數學思想方法。本單元并非讓學生記熟規(guī)律、熟練解決與植樹問題相類似的實際問題，而是把解決植樹問題作

12、為滲透數學思想和方法的一個學習支點。在教學中教師不妨讓學生先猜測，再動手操作、實踐驗證。怎樣檢驗這個結果是否正確？初步向學生滲透用比較簡單的例子來驗證較為復雜的問題，即化繁為簡的思想。例1教學中，假設路長只有20米，要栽幾棵樹呢？提示學生用畫線段圖或者示意圖的方式來輔助思考，從中滲透“數形結合”的思想。這樣學生就很容易地發(fā)現直接用除法20÷5=4算出的結果和通過直觀圖看出的5棵樹有沖突，引發(fā)學生的思考。還要結合教材中“對嗎？檢驗一下”“可以畫線段圖來驗證”等線索，向學生滲透簡單的化歸、數形結合、一一對應、模型、推理等數學思想，激發(fā)學生對數學的興趣。三、應用畫圖策略，有效地解決生活中的

13、植樹問題突破建議：在日常教學中，在指導學生學習數學的過程中，幫助學生養(yǎng)成畫圖的習慣是非常重要的。因此，教師在教學中要重視畫線段圖的方法，并通過多媒體直觀演示輔助教學，突出“一一對應”思想，把間隔點數和栽樹的棵數對應起來。之后讓學生再用“25 m”或者自己列舉的數據進一步探究，教師可以出示統(tǒng)計表，學生將研究結果記錄下來，利用統(tǒng)計表發(fā)現栽樹的棵數和間隔數之間的規(guī)律。四、用發(fā)現的規(guī)律解決生活中的一些簡單實際問題突破建議：植樹問題的模型是現實世界中一類相近問題的拓展，它源于現實，又高于生活。所以，在現實中有著廣泛的應用價值。為了讓學生理解這一建模的意義，在教學中把植樹問題推廣到與植樹問題相近的一些問題

14、中，以圖片、文字等形式讓學生了解生活中與植樹問題相似的現象，讓學生進一步體會現實生活中的許多不同事件（如隊列問題、公交站問題、敲鐘問題等），這些問題都含有與植樹問題相同的數量關系，它們都可以利用植樹問題的模型來解決，使學生感悟到數學建模的重要意義。從而引導學生靈活運用所學知識解決生活中的一些實際問題，體驗生活中的數學，充分感受到數學知識來源于生活，又回歸于生活。但是，也要注意不要對例題進行過多的變式，提高問題的難度，造成教學要求過高。數學廣角植樹問題課標解讀 湖北省武漢市華中師范大學附屬小學董艷（初稿）湖北省武漢市教育科學研究院馬青山（統(tǒng)稿）    一、課標要求義

15、務教育數學課程標準（2011年版）在“總目標”中提出了“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達自己的想法”“學會獨立思考，體會數學的基本思想和思維方式”。義務教育數學課程標準（2011年版）在“學段目標”的“第二學段”中提出“嘗試從日常生活中發(fā)現并提出簡單的數學問題，并運用一些知識加以解決”“能探索分析和解決簡單問題的有效方法，了解解決問題方法的多樣性”。義務教育數學課程標準（2011年版）在“課程內容”的“第二學段”中提出“通過應用和反思，進一步理解所用的知識和方法，了解所學知識之間的聯(lián)系，獲得數學活動經驗”。  

16、60; 二、課標解讀教材中設置“數學廣角”單元教學內容的目的不是教會學生機械的公式和抽象的模型，而是讓學生體驗探索建立模型的過程和數學思想方法。在本冊的“數學廣角植樹問題”的教學中，教師要引導學生通過觀察、猜測、試驗、推理等活動，初步體會解決植樹問題的思想方法（模型思想），培養(yǎng)學生從實際問題中探索解決問題有效方法的能力。在教學植樹問題時，教師要引導學生根據實際問題情境，從簡單的情況入手，在解決問題的分析、思考過程中，逐步發(fā)現隱含的規(guī)律，經歷建立數學模型的過程，幫助學生積累數學活動的經驗，提高學生解決實際問題的能力。（一）在觀察、猜測、試驗、推理等活動中體會解決基本的思想方法小學數學教學體系貫穿

17、著兩條主線：數學知識和數學思想方法。數學知識是一條明線，直接呈現在教材上；而數學思想方法則是一條暗線，隱藏在知識的背后?！皵祵W廣角”中的“植樹問題”，承載了基本的數學思想方法“化繁為簡”“數形結合”“一一對應”和“數學建模”等，使學生從中發(fā)現規(guī)律，抽取出其中的數學模型（點段關系），然后再用發(fā)現的規(guī)律來解決生活中的一些簡單實際問題。1在困頓中感悟“化歸”的思想人們在面對數學問題時，如果直接應用已有知識不能或不易解決該問題時，往往將需要解決的問題不斷轉化形式，把它歸結為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決，這種思想方法稱為化歸（轉化）思想。在教學例1中，教師引導學生對“100米一共要

18、栽多少棵樹”進行驗證，在畫圖時引發(fā)困惑，數字太大，不可能全部畫下來，或是太麻煩、太浪費時間了。在學生有所體驗的基礎上，就此向學生滲透復雜問題簡單化的思想，讓學生選擇短距離（20米），用畫圖的方式得出結果。在這個過程中，學生通過猜想、實驗、推理、交流等活動，既培養(yǎng)了數學思想能力，學會了一些解決問題的方法，又逐步形成實事求是的科學態(tài)度和精神。2在探究中滲透“數形結合”的思想數形結合是小學數學中常用的、重要的一種數學思想方法。數形結合思想的實質即通過數形之間的相互轉化，把抽象的數量關系，通過形象化的方法轉化為適當的圖形，從圖形的結構直觀地發(fā)現數量之間存在的內在聯(lián)系，解決數量關系的數學問題，這是數形結

19、合思想。本冊的“數學廣角植樹問題”把從直觀圖形支持下得到的模型應用到現實生活中，溝通圖形、表格及具體數量之間的聯(lián)系，強化對題意的理解。教師可以組織學生在課堂上“模擬植樹”。用 “_”代表一段路，用“”代表一棵樹，畫“”就表示種了一棵樹。關于在20米長的路可以栽多少棵樹的問題，讓學生自己動手畫一畫。學生根據圖示，很容易發(fā)現規(guī)律。再從個別的、簡單的幾個例子出發(fā)，逐步過渡到復雜的、更一般的情境中，是數學中常用的推理方法。這個過程中，學生借助數形結合將文字信息與學習基礎結合起來，使得學習得以繼續(xù)，使得學生思維發(fā)展有了基礎，也使得數學學習的思想方法真正得以滲透。因此，數形結合能不失時機地為學生提供恰當的

20、形象材料，可以將抽象的數量關系具體化，把無形的解題思路形象化。3在抽象中明晰“一一對應”思想本冊“數學廣角植樹問題”的教學，通常有兩種教學思路：一種思路是通過教材主題圖中得三組實例歸納出規(guī)律，利用畫圖、小棒或圓片的排列來驗證規(guī)律，進而結合生活實際應用規(guī)律。這種教學邏輯性強，規(guī)律揭示很順暢，但是從教學效果看，學生雖然能夠“熟記”規(guī)律，卻不能靈活解決諸如“封閉、不封閉”“兩端都栽、只栽一端、兩端都不栽”這類問題，更不能用數學觀點統(tǒng)領“間隔排列”的現象。另一種思路是在深入鉆研教材的基礎上，真正把握“間隔排列”的實質：兩種物體間隔排列，這兩種物體的排列一一對應。對應，是間隔排列的本質。課堂教學中，通過

21、“感知對應現象激活對應思想建構對應思想升華對應思想”層層深入的教學行為，抓住蘊含在教材中得一一對應思想，有效統(tǒng)領種種紛繁復雜的現象，使學生真正感知了一一間隔排列的特點，掃清了思維上的障礙，層層推進認識的完善和引申。4在運用中體驗“模型思想”義務教育數學課程標準（2011年版）中提出：在數學教學中應當引導學生感悟建模過程，發(fā)展“模型思想”。“數學模型”是數學符號、數學式子以及數量關系對現實原型簡化的本質的描述。模型思想的教學，不是作為像具體數學知識點那樣可以單獨作為一個數學內容來進行專門教學，而是融入到具體數學知識的教學過程中，讓學生在經歷“問題情境建立模型解決問題拓展運用”的學習過程中逐漸領悟

22、的。在本冊“數學廣角植樹問題”的教學中，教材以“猜想試誤合作探究發(fā)現規(guī)律（建立模型）深化規(guī)律（再次建模）解釋運用”為主線，滲透數形結合的思想，建立數學模型，發(fā)現問題實質，為后面解決問題奠定了堅實的基礎。在這樣的學習活動中，學生在經歷了實物操作、圖示表達、抽象概括等程序，逐層提升，拾級而上，一步一步地從生活向數學的內核逼近。在數學抽象時，引導學生逐層深入地進行推理研究，從“20米、30米、35米、100米”，讓學生聯(lián)想到“點數比段數多1”，從而建立起“點線”間關系模型。舉一反三，觸類旁通。最后，引導學生用發(fā)現的規(guī)律去解決更多的實際問題（兩端都不栽的情況和只栽一端的情況）。這樣的教學，也正體現了“

23、數學教學應從學生已有的生活經驗出發(fā)，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與運用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展”的要求。（二）在觀察、猜測、試驗、推理等活動中積累基本的數學活動經驗義務教育數學課程標準（2011年版）中提出：數學活動經驗的積累是提高學生數學素養(yǎng)的重要標志。幫助學生積累數學活動經驗是數學教學的重要目標，是學生不斷經歷、體驗各種數學活動過程的結果。數學學習是在“學生主動地從事觀察、實驗、猜測、驗證、推理與交流”等數學活動中進行的。數學活動經驗產生于數學學習中，既是數學學習的產物，也是學生認識和實踐的基礎。1經歷觀

24、察、操作過程，積累體驗性經驗    在教學“數學廣角”時，教師要引導學生觀察、實驗、猜想、驗證，進行動手操作（如擺、畫、做等），讓學生逐漸地意會、體驗、感悟。為了讓學生“動”起來，在“動”的過程中體驗知識的形成過程，教材不斷地提出問題，抓住數量關系做重點分析。放手讓學生想一想、畫一畫、說一說，既滿足了學生的表現欲望，又培養(yǎng)了學生自主探究的能力，充分調動了學生的積極性，把學習的主動權交給了學生。學生對植樹棵數和段數的關系有了初步的感性認識后，讓學生再任意畫一畫、種一種，更豐富了學生的感性材料，為學生順利發(fā)現并總結規(guī)律打下了基礎。在這個過程中，學生慢慢積累分析和解決問

25、題的一些經驗，然后將這些經驗遷移運用到后面的數學活動中。而這些經驗是我們老師沒法“教”給學生的，必須由學生經歷大量的數學活動逐步獲得，也就是我們以前常說的“做中學”之后所留下的，有關數學活動的直接感受、體驗和個人感悟。2經歷探究、思考過程，積累方法性經驗這里的“探究”指的是融行為操作與思維操作于一體的活動。本冊的“數學廣角植樹問題”教材編者意圖是讓學生初步認識“化繁為簡”的思想，并通過各種活動，借助直觀圖理解“間隔數與棵數”之間的數量關系。如“100米太長了，怎么辦？”“如果小路長度不是20米了，樹的棵數又發(fā)生了什么變化呢？”“25米、30呢？”“不畫了，你發(fā)現了什么？”不斷提出新的要求，產生

26、新的矛盾，使學生的思維處于碰撞之中，掌握解決問題的有效方法。3經歷概括、反思過程，積累“數學地思考”的經驗概括是形成和掌握概念的直接前提。如果沒有概括，就無法進行邏輯推理，思維的深刻性和批判性就無從談起；沒有概括，就不可能產生靈活的遷移，思維的靈活性和創(chuàng)造性就無法形成；沒有概括，就無法實現思維的“縮減”與“濃縮”，思維的敏捷性也就無從體現，學生掌握概念，直接受思維概括水平的制約。教師教學時可以在課堂中讓學生根據自己的體驗，用自己的思維方式去探究，去發(fā)現，再反饋結果，根據不同的結果進行交流、討論。通過學生的觀察、思考、交流，在獲得直接經驗的基礎上感受“一一對應”的思想方法是教學活動重中之重。經過

27、學生的探討之后，教師再引導學生抽象出數學模型（棵數與間隔數的關系），接著再用抽象出來的模型解決一般性的問題，最后再遷移、變通。在一條線段上植樹（兩端都栽）教學設計 浙江省諸暨市璜山鎮(zhèn)化泉小學張垚杰（初稿）浙江省諸暨市實驗小學教育集團陳菊娣（修改）浙江省諸暨市教育局教研室湯驥（統(tǒng)稿）教學內容：人教版小學數學教材五年級上冊第106頁例1及相關內容。教學目標：    1建立并理解在線段上植樹（兩端都栽）的情況中“棵數=間隔數+1”的數學模型。    2利用線段圖理解“點數=間隔數+1”“總長=間隔數×間距”等間隔數與點數、總長、間

28、距之間的關系，解決生活中的實際問題。教學重點：建立并理解“點數=間隔數+1”的數學模型。教學難點：培養(yǎng)用畫線段圖的方法解決問題的意識，并能熟練掌握這種方法。教學準備：課件。教學過程：一、情境出示，設疑激趣    教師：哪位同學知道我們國家設立的植樹節(jié)是在哪一天？（3月12日）在這一天的植樹活動中，遇到了這樣一個問題。（課件出示問題）    例1：同學們在全長100 m的小路一邊植樹，每隔5 m栽一棵（兩端要栽）。一共要栽多少棵樹？    教師：你能利用所學的知識解決問題嗎？  

29、0; 預設1：20棵。（教師追問：你是怎么想的？）每隔5 m栽一棵，共栽100÷5=20（棵）。    預設2：我認為是21棵，因為題目中寫著“兩端要栽”，所以要再加1棵。    教師：你認為哪一個結果是正確的？（指名回答）    【設計意圖】直接出示例題的情境，通過學生的嘗試解答，既是對教學起點的了解，又利用兩種不同的結果設置疑問，激發(fā)了學生探求新知的熱情。二、經歷過程，感受方法    教師：可以用怎樣的方法進行檢驗呢？（畫線段圖）那我們可以在草稿本上試一試。遇到

30、了什么困難？    預設：100 m太長了，不太好畫。（追問：那我們可以怎么辦？）    學生：可以先用簡單的數試一試。（課件出示）    【設計意圖】使學生經歷分析思考的整個過程，感受“猜測驗證”的學習方法。在實際操作中發(fā)現問題有助于激發(fā)學生的思考，從而深刻地體會“從簡單事例中發(fā)現規(guī)律，并利用此規(guī)律解決較復雜問題”的數學思想。三、探索實踐，建立模型    教師：先看看20 m的距離，在兩端都栽的情況下可以栽幾棵樹，在草稿本上畫一畫。    實物

31、投影或課件出示：    教師：說說你是怎么想的？    預設：20÷5=4，20 m被平均分成4段，因為兩端要栽，所以要栽5棵樹。    教師：再畫一畫，25 m可以栽幾棵樹？（學生操作）誰來說說你的想法？    預設：25÷5=5，就是把25 m平均分成了5段，因為兩端都要栽，所以要栽6棵樹。    還可以這樣畫：這里的藍色線段表示什么？（間隔數）紅色線段呢？（植樹棵數）教師：不畫圖，你能把下面的表格填寫完整嗎？ 

32、   （根據學生回答，教師在課件上輸入數據）你發(fā)現了什么規(guī)律？    預設：棵數要比間隔數多1。（追問：可以用怎樣的一個式子表示？）棵數=間隔數+1。    教師：誰能說說為什么要“+1”？（因為兩端都要栽，所以栽樹的棵樹比間隔數多1。）你能用發(fā)現的規(guī)律解決開頭的問題嗎？（指名回答，分析講解）    教師：回顧這個問題的解答過程，說說你的想法。    歸納小結：在解決較復雜或數據較大的問題時，可以先從簡單數據出發(fā)得出規(guī)律，然后將規(guī)律運用于復雜問題進行解決。

33、    【設計意圖】“畫示意圖抽象出線段圖不畫圖”的教學過程，體現了從具體到抽象、從特殊到一般的設計理念，也正是在這一進程中，通過積極有效的教學活動，使學生建立起“一條線段兩端都栽”這類植樹問題的數學模型。四、利用新知，解決問題    教師：根據剛才學到的知識，還可以解決許多生活中的問題。（課件出示問題）    1在一條全長2 km的街道兩旁安裝路燈（兩端也要安裝），每隔50 m安一盞。一共要安裝多少盞路燈？    教師：讀完這個題目，你覺得有哪些地方需要特別引起注意？    預設1：單位不統(tǒng)一，要先進行轉化再計算。    預設2：兩旁。（追問：表示什么？）就是兩邊。你能通過畫圖的方法表示出“兩旁”嗎？在計算時該怎樣體現？（先算出一邊的路燈的數量，再乘以2。）    學生練習，指名回答。2 km=2000 m    （2000÷50+1）×2=82（盞）答：一共要安裝82盞路燈。    教師：2000÷50算的是什么？（間隔數）“+1”說明了什么？（兩端都要安裝）&