高中數(shù)學-1.1.2-余弦定理課件2-新人教a版必修5講課教案

1、高中數(shù)學-1.1.2-余弦定理課件2-新人教A版必修5(3) 正弦定理的變形：正弦定理的變形：CRcBRbARasin2,sin2,sin2RcCRbBRaA2sin,2sin,2sincbaCBA:sin:sin:sin(2) 三角形面積公式：三角形面積公式：111sinsinsin222ABCSbcAcaBabC2sinsinsinabcRABC 如果已知一個三角形的如果已知一個三角形的兩條邊及其兩條邊及其夾角夾角，根據(jù)三角形全等的定理，該三角，根據(jù)三角形全等的定理，該三角形大小形狀完全確定，那么如何解出這形大小形狀完全確定，那么如何解出這個三角形呢？個三角形呢？思考：思考：CBAcab思

2、考思考： 在在ABCABC中，已知中，已知CB=CB=a,CA=b,CA=b，CBCB與與CA CA 的夾角為的夾角為CC， 求邊求邊c.c.cABbCAaCB,設(shè)設(shè))()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量減法的三角形法則得由向量減法的三角形法則得Cbabacos222bac2.余弦定理余弦定理（1 1）向量法）向量法CBAcabAbccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量減法的三角形法則得由向量減法的三角形法則得Cbabacos222bac思考思考： 若若ABCABC

3、為任意三角形，已知角為任意三角形，已知角C C， BC=BC=a,CA=b,CA=b,求求AB AB 邊邊 c.c.cABbCAaCB,設(shè)設(shè)CBAcabBaccabcos2222余弦定理余弦定理Abccbacos2222)()(babaccc2babbaa2Cabbacos222Cabbaccos2222由向量減法的三角形法則得由向量減法的三角形法則得Cbabacos222思考思考： 若若ABCABC為任意三角形，已知角為任意三角形，已知角C C， BC=BC=a,CA=b,CA=b,求求AB AB 邊邊 c.c.cABbCAaCB,設(shè)設(shè)bacCabbaccos2222Abccbacos222

4、2Baccabcos2222余余 弦弦 定定 理理 三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍。倍。C CB BA Ab bac cbAacCB證明：以證明：以CB所在的直線為所在的直線為x軸，過軸，過C點垂直于點垂直于CB的直線的直線為為y軸，建立如圖所示的坐標軸，建立如圖所示的坐標系，則系，則A、B、C三點的坐標三點的坐標分別為：分別為：( cos, sin)A bC bCxy( ,0)B a(0,0)C（2）解析法）解析法222)0sin()cos(CbaCbABCbaCabCb2

5、2222sincos2cosCabbacos2222222coscababC ABCabcD當角當角C為銳角時為銳角時（3）幾何法）幾何法bAacCBD當角當角C為鈍角時為鈍角時CBAabc 余弦定理作為勾股定理的推余弦定理作為勾股定理的推廣，考慮借助勾股定理來證明廣，考慮借助勾股定理來證明余弦定理。余弦定理。證明：在三角形證明：在三角形ABC中，已知中，已知AB=c,AC=b和和A, 作作CDAB，則，則CD=bsinA,BD=c-bcosAABCcba222CDBDa22( sin )(cos )bAc bA222222coscossinAAbcAcbb222cosbcAcb同理有：同理有

6、：2222cosacBacb2222cosabCcabDCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推論：推論：（1 1）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；他兩個角；3.3.余弦定理的應用余弦定理的應用練習練習01.=262,135 ,ABCacB 在中，已知 ，解此三角形002 2,30 ,15bAC2222cosbcaacB解：022260cos8287cc31021362121 BacSBacSABCABCsinsin或或22 32

7、02sin30a bxxA BA BCcABC 3 3. .銳銳角角三三角角形形中中，邊邊 、 是是方方程程 的的兩兩根根，角角 、 滿滿足足（），求求角角 的的度度數(shù)數(shù)，邊邊 的的長長度度及及的的面面積積2si32n3si0nAABB解：（），（為銳角三角形為銳角三角形ABC oBA120 60oC22 320abxx邊 、 是方程 的兩根232 abba，Cabbaccos2222 abba32 ）（6612 2323221sin21 CabSABC6 c（2 2）已知三邊，求三個角。）已知三邊，求三個角。練習練習4.4.在在ABCABC中，已知中，已知a= ,b=2,= ,b=2,c=

8、,c= ,解三角形解三角形. .解：由余弦定理得解：由余弦定理得22222223 161222 23 1()()cos()bcaAbc 60A22222263122222631acbBac()()cos()45B180180604755CAB6312 21a 00060 ,45 ,75ABC（3 3）判斷三角形的形狀）判斷三角形的形狀例例5 5 在在ABC中，中， 那么那么是（）是（）222cba. 鈍角鈍角. 直角直角. 銳角銳角. 不能確定不能確定提煉：設(shè)提煉：設(shè)a是最長的邊是最長的邊，則，則ABC是鈍角三角形是鈍角三角形222cbaABC是銳角三角形是銳角三角形222cbaABC是直角三

9、角形是直角三角形222cba7. 在在ABC中，已知中，已知a=7,b=10,c=6, 判定判定ABC的形狀的形狀分析：分析： ABC的形狀是由大邊的形狀是由大邊b所對的大角所對的大角 B決定的。決定的。222(,)90 180cBba若已知三邊的比是若已知三邊的比是7:10:6，怎么求解 練習：練習：8.一鈍角三角形的邊長為連續(xù)自然數(shù)，則這一鈍角三角形的邊長為連續(xù)自然數(shù)，則這三邊長為（三邊長為（ ） 分析：分析： 要看哪一組符合要求，只需檢驗要看哪一組符合要求，只需檢驗哪一個選項中的最大角是鈍角，即該角哪一個選項中的最大角是鈍角，即該角的余弦值的余弦值小于小于0。BA. 1，2，3 B. 2

10、，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，69.9.在在ABCABC中，已知中，已知a=7,b=8,cosC= , =7,b=8,cosC= , 求最大角的余弦值求最大角的余弦值1314分析：求最大角的余弦值，最主要的是判斷分析：求最大角的余弦值，最主要的是判斷哪個角是最大角。由大哪個角是最大角。由大邊對大角邊對大角，已知兩邊，已知兩邊可求出第三邊可求出第三邊,找到最大角。找到最大角。2222cosabCbca221314278987 解：解：3c 則有：則有：b是最大邊，那么是最大邊，那么B 是最大角是最大角22222273822 3 71cos7acbacB 4.4.小結(jié)小結(jié): :222co s2bcaAb c222cos2cabBca222cos2abcCabCabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222（1 1）余弦定理：）余弦定理：（2 2）推論）推論: : （3 3）余弦定理可以解決的有關(guān)三角形）余弦定理可以解決的有關(guān)三角形的問題：的