曲線曲面積分附場論初步

1、r6 3z+y計(jì)算j其中 L 為過(0, 0), (0,1), (1,2)三點(diǎn)的一.設(shè)茁心內(nèi)有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),求I=J 1+戸/（砂）必+4紐（矽）-11妙11 y y（3,-）其中L為從點(diǎn)A _到點(diǎn)B（1,2）的直線段.dp _）+（勸 - 1% 7（功 + 矽丫 （卩）- 1解.Y:,.dp Sq=亍亂,于是積分與路徑無關(guān)/ = L1 +皿砂）dx+$/（功-1為=知/）-脅 + J； 1+烏 dx偽）妙-雋妙+ f如+ （2枷= J- .+ 討；+加心-3 1 = -4圓周.dq _丿 空二包去 .和刖,于是積分與路徑無關(guān)-(U)咖)(H + x)dx+(訶 一 2y)dy=.：(1 +

2、Q必 + f (ey-2y)dy=e -|%一ar_（孚-密必妙- ；辦妙Jc4仙片+切+a； ）dx + 如 + b2y+帕亦三計(jì)算, L（AMB是上半圓周.A B的坐標(biāo)分別為（1,0）和億0）.I -(他 y+ 3丿)必+ 0 ty-li)dy解.+ cosy-7x)y$ xr y兀 3135怒ye C0S7- i-e cosy-)axay= ID2 2四計(jì)算遊（時(shí)+吵+勺）必+（如+切訥,其中譏“吆兀為常2 2 2數(shù) D（oncuo） ,AB為孟十A = 1上的一段弧,BC為丿=1 一 *上的一段弧解.仆憶+勺A +巧）必+ （站+糾/ +幼莎ACfff-1-I (-adxdy- (a2

3、x + ar)dx1rl rl-躍 2嚴(yán) + (a十對兒 U dydx + 2a3 =(勺-對)(孑 + # + 2a五.計(jì)算其中L為連結(jié) 1dp2xx Fx=-yCGSHSill 9yyy yy的曲線弧段.da2xxFx=-y cos + =- sin 解.必yy yydq _3pdx 砂,于是該積分等于沿直線 AR X二囂）由1到2的積分. cosayA.卩W . X X X, . X.：1 (sin + _匚os Wa- -costiy =- 曲 尹尹 y ?2711 yCOS (i一 sin兀）二充加.託= sin y y計(jì)算| (x-c)dydyh(x-M+療其中AB是沿橢圓的正向從

4、Aa, 0),B(0, b)的一段弧.解.對于函數(shù)-1du _ x-cdu _y(x-cdx+ydy所以于是=：；冊(3)= u(f)rb)-u(afi)t 7= lim 曲 憶3y）必+（嚴(yán)* sin 2xy-b2）dyu七.計(jì)算（b 0）, 其中牝（M（昇）（o,勺0（訓(xùn)1%=迄）L是依次連結(jié)”l!的有向折線（已知一解.-cos2xy-3y)dx+(sin 2矽-護(hù))妙rr dq dpJJ (喬 一 cos 2xy - 3y)dx + (/新 sin 2xy- F )dy(3 (-2x) sin 2心+諾2y cos 2xy -討2y cos 2xyra.jD業(yè) idx2xsin 2矽+

5、3)d砂 - Q dx - 30 dxdy- e * 二 3jt - 八所以I - fan cos 2xy - 3y)dx+ (s sin 2xy - b2)dy + 竺1八.設(shè)平面 1:與橢圓柱面 L 1 相截，求其在-.- 及xoy平面之間 的橢圓柱面的側(cè)面積X- 75 cos/ y = 3 sin/丄 * 2解.橢圓的參數(shù)方程為所求側(cè)面積dl 二 J/(zfV”)出二 J%inL+9co%f3sin iV5sin2 / + 9cos2 tdt =3 3sin f j5 + 4coJfdf-3V5+4 cos2 id cos/ cosZ = n - 3 Jf+4/曲-6 J5 + 4加也J

6、oJiJo+ 尹(y +9+尹兒計(jì)算Ll:r- -,其中匚一為連續(xù)函數(shù),AnB為連結(jié)點(diǎn)一凡；打；的任何路徑，但與直線段AB圍成的圖形AnBA 有定面積S.解./ -鴨必+-mfy=- ddy-斷X0-砂的+用妙 趴扳砂丿 M=JJ O妙一0）滬+in）dxdy-閡次+ （粗 一用妙+ J憐必 /MM的/)mS-E孔)1）訐陸0常-呦+耐訥-%）八嗣舄+百沙-加+3如=:二.C - Li -eK zosy+a)dxdy jj(a-b)dxdy= (a嗎=Q&十一.計(jì)算正向看去，這個(gè)圓周取逆時(shí)針方向.r“，其中L是圓周若從z軸解.方法一：曲線L的參數(shù)方程為x = 2cosfiy = 2sin ff

7、2=2.所以-| 3ydx - 虺妙 + ydz - j3 2 sin 5 (-2 sin fl) - 4 cos fl 2 cos SJfS-f(12sin1fi+3cos1 =12匕竺空+匕4空2 2dG=-20方法二:由斯托克斯定理dzdxf 二3ydx - xzdy+ yz2dz = jjdydzd_ d_dx _即dy-xzdxdyd_dz+ iC)dydz - Odzdx + (-z - 3)dxdy = |j(0,0,1) ; zZ2 Off-1| (z + 3)dxdy = -5| dxdy-DL十二計(jì)算T 如:”+y 解.設(shè)表示上半球面： ;i - J_表示下半球面：-?所以

8、X3 dxdyfl+%空V=0./二JJ :2妙也：錐面-丿止- /二0及平x二l,x二2十三計(jì)算所圍立體的外側(cè).解.方法一：匕=： -=其中V為錐面的外側(cè)，二為平面丄【的外側(cè),為平面1的外側(cè).=dydz- J+ 2怡住3 +請普H* / dydz = _2 感=dydz+/=.7 -. -7. -：方法二：使用奧一高公式(使用先做y, z的二重積分再做x的積+ 2-? = 25 十四 求啦 =災(zāi)丿=r +/ - 2 在P(3,4,5) 處沿曲線：二/在產(chǎn)處的切線方向的方向?qū)?shù).f2?+2-? = 25(F)dFdF砂dz3GS) I FdFdFdza7dGdGPD |P-2z 4x=48dF d(FrG) _ aT d(xfy)P= SG dxP4x2x所以方向矢量；：-：-.l.方向余弦