微分中值定理及其應(yīng)用()

1、第3章微分中值定理及其應(yīng)用(第二講泰勒公式、函數(shù)極值等)23一.應(yīng)用麥克勞林公式，按X乘幕展開函數(shù)f(X)= (x - 3x 1)。解：打f (x)是6次多項(xiàng)式,f f 0 f Ox Ux22口 x3 亡 xax534!5計(jì)算出：f (0) = 1, f 0 = 3 x2 - 3x 1 2x - 3 x 4 9f (0) = 60, f 0i= -270, f 4 0 二 720, f 5 0= -1080, f 6 0 = 720故 f (x) = 1 _ 9x 30x2 - 45x3 30x4 - 9x5 x6二當(dāng)x。= -1時(shí)，求函數(shù)f (x) =1的n階泰勒公式。X解：f X = 1

2、= X1 , f X = - X2X,f k x 1 kk!xk 1二 f(T)1, f(T)= T, f(T)= 一2 f(1)=-3!,，fS1)=n! fn 1 n m r -n 2f x 12x3Rn Xn 1(X + 1 )n 1 !n 1 !_n 2 x 1 n 1,在- 1 和 X 之間)f (一1)2f -1 f -1x1X 12!nf g-1)f x =-Xx 1n R, x n!x 1 x 1 2X 1 n L 一1 n 1 n 2 x 1n 1x 三求函數(shù)f (x)二xe的n階麥克勞林公式。1 x f x 二 ex 2 x , f k X = ex k X解:f(x)二

3、xg, f x = exf(x) = xe= f 0 f 0x 1 f 0x2 丄 f(n) 0xnf(n1) xn1111蘆=0 1 xx2n xne n 1xn 12!n!(n + 1!=x x2 丄 x31 e n 1 xn 12!(n + 1!可表示為x 0 ： v ： 1兀2一.當(dāng) 0 ： x 時(shí)，證明x ： sinx。2兀一 ，sin x # i xcosx - sin x 證：設(shè)f X,則f X2，xx設(shè) g x 二 xcosx - sin x,I則 g x = cosx- xsinx - cosx= xsinx.n,當(dāng)0 w -時(shí),g x 0 ,故g x單調(diào)減少,g 0 = 0

4、, g x g 0 ,即 xcosx 一 sin x 031所以f x : 0在(0,3】上f x單調(diào)減少.JI2,當(dāng)0JlJI2 時(shí)，f xtJ )f-12 ，因此s i ix2T二即?x si ix.JI二、當(dāng)x 4時(shí)，證明2x x2。解：設(shè) f x = xln 2 一 2ln x, f 4 = 0,fx =ln2-2=鳴一2 用x 2 x 2即當(dāng)x 4時(shí),f x 0,所以f x為單調(diào)增加f x f 4 = 0 xln 2-21 n x 0 , 即 In2xlnx2； In x 為增函數(shù), 2xx2三.試證方程sinx二x僅有一個(gè)實(shí)根。解：顯然x二0為方程f x = x-sinx的一個(gè)根又

5、f x = V cosx - 0, x -,x -時(shí),fx 單調(diào)增加,fx=x-s inx在：，* 僅有一個(gè)零點(diǎn)即方程sinx二x僅有一個(gè)實(shí)根 五.f (x)、g (x)在a,b上存在二階導(dǎo)數(shù)且g (x) = 0, f (a)二 f (bp g(a)二 g(b) = 0 ,證明：(1)在(a,b)內(nèi)f (巴) f(巴)g(x)= 0。(2)(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得g(-) g C)分析:(1)要證g (X)在(a, b)上非零,用反證法更方便，若不然,至少有一 個(gè)零點(diǎn)c a,b，則由g (x)的三個(gè)零點(diǎn)，可推出g(x)有2個(gè)零點(diǎn),從 而g (x)有一個(gè)零點(diǎn)與已知矛盾.f ( ) f()(

6、2)要證,即證方程f x g x - g xfx二0有解，則g) g ()取 Fx 二 f xgx g x f x dx = fxgx- fxgxdx gxfx fxgxdx二f x g x - g x f x從而可以證明結(jié)論.證明：(1)反證法：若不然,則在(a,b)內(nèi)至少有一點(diǎn)C,使得g (c) 0, 于是由已知g x在a,cl, c,b1上均滿足羅爾定理?xiàng)l件, 因此必存在 0lim ex 0xln xlim晉x 01limx 0-2x1 lim x = 02 x 0In x limx _01xm ）=艸-1. x0而 f（0）T .所以!四+ f（M=哩_ f（x）= f（oi所以f （

7、x）在x二0處連續(xù)（2）設(shè)g x二xx二exlnxx 0 要使g x取得極值 則必須使xln x在x 0處取得極值.設(shè)h x = xln x,j1則h x = In x 1, h x =要使g x取得極值 x 1則有h x h x乞0,而x 0所以h x二; 0 ,1 1 因此h x - In x 1乞0,所以|n x遼-1 x e. 所以當(dāng)x等于exx時(shí)，x取得極值，由于（x 1）= 10即為單調(diào)增函數(shù) 所以只要x1 取得極值即可。所以當(dāng)x等于時(shí)f（X）取得極值。e三.利用函數(shù)的凹凸性，證明不等式x + yxln x yin y (x y) In(x 0, y 0)21解：設(shè) f(t)=tl

8、 nt, f (t)= i nt + 1,f(t)=，對(duì) t(0,+ h),1由f t = t 0知f t是上凹的,所以對(duì)任意x, r (0/ : ) (x = y)即：xln x yin y(x y)ln四.求函數(shù)x 二 t2, y = 3t t3 的拐點(diǎn)。解:yx二 2yt 3 3t2Xt2t仝1 tI!yx(yt)t3-！2 t23t2 - 13 t - 1 t 1xt2t4t34t3II1時(shí)，o時(shí)，yx不存在但注意到t= o時(shí)曲解：y3ax2 2bx, y 二 6ax 2b = 6ai x II，由于aIIX0的兩側(cè)變號(hào)，所以X。3ab3a的領(lǐng)域內(nèi)，b3a ，這時(shí)對(duì)應(yīng)的線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)（0

9、,0）為邊界點(diǎn)，因?yàn)榍€上的橫坐標(biāo)都大于等于0，所以點(diǎn)（0,0）不能是拐點(diǎn)，故曲線上可能是拐點(diǎn)的點(diǎn)為t = 1時(shí)的點(diǎn)1,4及t= -1時(shí)的點(diǎn)1廠4 ,經(jīng)過(guò)驗(yàn)證二者都是拐點(diǎn)。五問(wèn)a及b為何值時(shí)，點(diǎn)（1,3）為曲線ax3 bx2的拐點(diǎn)?2 32b33a3a 27a23a_解得：bd3 2要使1,3為拐點(diǎn)，則 b327af( x)六.設(shè) f(x)二階可導(dǎo)，若吧-二1, f (0)= 0, f“(x) 0,證明：f(X)- x。證明：由導(dǎo)數(shù)的定義：lim 他=limlim =f0 二x 0 x x 0x - 0應(yīng)用麥克勞林公式將 f(X)展開得:2!R2 x因?yàn)?f (0) = 0，f (x)0 f

10、0 - 1所以f (x)二x2!2!(2)設(shè)f (x)、g(x)互為反函數(shù)，f( x)f (- X)，且均在(-：，：)上存在二階導(dǎo)數(shù)，于是()A 若 x 0, f ( x) 0,則 xV0，f( x)V 0 ；B 若 x 0, f (x)0,則 xV0，f(x) 0 ；c 若 f (x) 0,則 g (x) 0 ;D 若 f (x) 0 則 g (x) v 0 ；分析：依題意，f (x)為奇函數(shù)，圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 對(duì)稱點(diǎn)處曲 線凸凹性相反，即二階導(dǎo)數(shù)異號(hào)，因此A正確，故取A，而 f (x)、g (x)互為反函數(shù)的條件，函數(shù)曲線y二f (x)與 y = (x)的凸性關(guān)系與其單調(diào)性相關(guān)，在不明

11、確單調(diào)性情況下，無(wú) 法對(duì)C, D做判斷。(5) f (x)在(1 -,，)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，(x)嚴(yán)格單調(diào)減少， 且 f O f(1 = 1 則()。A. 在(1 -和(1,內(nèi)均有f (x) Vx ；B. 在(1 -1)和(1,內(nèi)均有f (x) x ；C. 在(1-,內(nèi)，f (x) Vx ,在(1,1 )內(nèi)，f (x) x ；D在(1-,內(nèi)，f (x) x，在(1,，)內(nèi)，f( x) Vx o分析：由幾何直觀考慮，如圖，在 X = 1處，切線為y = X，且曲 線y = f x上凸，從而知切線在曲線 y二f x上方，即：X f x , 故取A(6) 設(shè)f (x)在其定義域內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，則在定義域內(nèi)()oA.若f( x) 0，也必有f (x)單調(diào)增加；B若f (x) 0，也必有曲線y = f (x)是凹的；C. 若f ( x) 0，也必有f (x)恒為常數(shù)