常用邏輯用語、函數(shù)（1）

1、高三數(shù)學備課資料常用邏輯用語、函數(shù)（1）一、考綱要求：內(nèi) 容 要 求ABC2.函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I函數(shù)的概念11常用邏輯用語命題的四種形式充分條件、必要條件、充分必要條件簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞全稱量詞與存在量詞二基本概念與相關(guān)知識1. 常用邏輯用語 知識點一四種命題間的關(guān)系命題是能夠判斷真假、用文字或符號表述的語句一個命題與它的逆命題、否命題之間的關(guān)系是不確定的，與它的逆否命題的真假性相同，兩個命題是等價的；原命題的逆命題和否命題也是互為逆否命題知識點二充要條件及其應(yīng)用充分條件和必要條件的判定是高中數(shù)學的重點內(nèi)容，綜合考察數(shù)學各部分知識，是高考的熱點，判斷方法有以下幾種：(1)定義法(2)傳遞法

2、：對于較復雜的關(guān)系，常用推出符號進行傳遞，根據(jù)這些符號所組成的圖示就可以得出結(jié)論互為逆否的兩個命題具有等價性，運用這一原理，可將不易直接判斷的命題化為其逆否命題加以判斷(3)等價命題法：對于含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”的充分條件、必要條件的判斷，往往利用原命題與其逆否命題是等價命題的結(jié)論進行轉(zhuǎn)化(4)集合法：與邏輯有關(guān)的許多數(shù)學問題可以用范圍解兩個命題之間的關(guān)系，這時如果能運用數(shù)形結(jié)合的思想(如數(shù)軸或Venn圖等)就能更加直觀、形象地判斷出它們之間的關(guān)系知識點三邏輯聯(lián)結(jié)詞的應(yīng)用對于含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題，根據(jù)邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，利用真值表判定真假利用含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題的真假，判定字母的取值范圍是各類考試的熱點

3、之一(1)命題中的“且”“或”“非”叫做邏輯聯(lián)結(jié)詞(2)簡單復合命題的真值表：pqpqpq¬p真真真真假假真假真真真假假真假假假假假真知識點四全稱命題與特稱命題全稱命題與特稱命題的判斷以及含一個量詞的命題的否定是高考的一個重點，多以客觀題出現(xiàn)全稱命題要對一個范圍內(nèi)的所有對象成立，要否定一個全稱命題，只要找到一個反例就行特稱命題只要在給定范圍內(nèi)找到一個滿足條件的對象即可全稱命題的否定是特稱命題，應(yīng)含存在量詞特稱命題的否定是全稱命題，應(yīng)含全稱量詞邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合的關(guān)系“或、且、非”三個邏輯聯(lián)結(jié)詞，對應(yīng)著集合運算中的“并、交、補”，因此，常常借助集合的“并、交、補”的意義來解答由“或、且、

4、非”三個聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題問題含有一個量詞的命題的否定(1)全稱命題的否定是特稱命題全稱命題p：xM，p(x)，它的否定¬p：x0M，¬p(x0)(2)特稱命題的否定是全稱命題特稱命題p：x0M，p(x0)，它的否定¬p：xM，¬p(x)三條規(guī)律(1)對于“pq”命題：一假則假；(2)對“pq”命題：一真則真；(3)對“¬p”命題：與“p”命題真假相反2.函數(shù)的定義、定義域、值域、解析式（1）函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為

5、從集合A到集合B的一個函數(shù)。記作：y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)| xA 叫做函數(shù)的值域注意： “y=f(x)”是函數(shù)符號，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；函數(shù)符號“y=f(x)”中的f(x)表示與x對應(yīng)的函數(shù)值，一個數(shù)，而不是f乘x（2）函數(shù)定義域有兩類：具體函數(shù)與抽象函數(shù)具體函數(shù)：只要函數(shù)式有意義就行解不等式組；(1)分式函數(shù)中分母不等于零(2)偶次根式函數(shù)被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.(4)yax，ysin x，ycos x，定義域均為R.(5)ytan

6、x的定義域為.(6)函數(shù)f(x)x0的定義域為x|x0(7)實際問題中的函數(shù)定義域，除了使函數(shù)的解析式有意義外，還要考慮實際問題對函數(shù)自變量的制約抽象函數(shù)：若已知函數(shù)f(x)的定義域為a，b，則函數(shù)f(g(x)的定義域由不等式ag(x)b求出；若已知函數(shù)f(g(x)的定義域為a，b，則f(x)的定義域為g(x)在xa，b時的值域（3）函數(shù)值域（最值）的求法有：直觀法：圖象在軸上的“投影”的范圍就是值域的范圍；配方法：適合一元二次函數(shù)反解法：有界量用來表示。如，等等。如，。換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，特別注意新變量的范圍。注意三角換元的應(yīng)用。如求的值域。單調(diào)性：特別適合于指、對數(shù)函

7、數(shù)的復合函數(shù)。如求值域。 注意函數(shù)的單調(diào)性。基本不等式：要注意“一正、二定、三相等”，判別式：適合于可轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程的函數(shù)求值域。如。反之：方程有解也可轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值域。如方程有解，求的范圍。數(shù)形結(jié)合：要注意代數(shù)式的幾何意義。如的值域。（幾何意義斜率）（4）求函數(shù)解析式的題型有：1.已知函數(shù)類型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法；2.已知求或已知求：換元法、配湊法；3.已知函數(shù)圖像，求函數(shù)解析式；4.滿足某個等式，這個等式除外還有其他未知量，需構(gòu)造另個等式解方程組法；5.應(yīng)用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等三、經(jīng)典例題，深度解析【例1】已知命題p：方程x2mx10有兩個不等的負實數(shù)根；

8、命題q：方程4x24(m2)x10無實數(shù)根若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求m的取值范圍解由p得：則m2.由q得：216(m2)21616(m24m3)0，則1m3.又“p或q”為真，“p且q”為假，p與q一真一假當p真q假時，解得m3；當p假q真時，解得1m2.m的取值范圍為m3或1m2.【例2】已知c0，且c1，設(shè)p：函數(shù)ycx在R上單調(diào)遞減；q：函數(shù)f(x)x22cx1在上為增函數(shù)，若“pq”為假，“pq”為真，求實數(shù)c的取值范圍 解答示范 函數(shù)ycx在R上單調(diào)遞減，0c1.即p：0c1.c0且c1，¬p：c1.又f(x)x22cx1在上為增函數(shù)，c.即q：0c.c0

9、且c1，¬q：c且c1.又“pq”為真，“pq”為假，p真q假或p假q真當p真，q假時，c|0c1；當p假，q真時，c|c1.綜上所述，實數(shù)c的取值范圍是.【例3】求下列函數(shù)的定義域：(1)y(x1)0；(2)ylg cos x；(3)ylg(axk·2x)(a0)(4)已知f(x)的定義域為(0,2，求f(x2)的定義域；(5)已知f(x2)的定義域為(0,2，求f(x)的定義域；(6)已知f(x2)的定義域為(0,2，求f(2x)的定義域解：(1)由得所以3x2且x1，故所求函數(shù)的定義域為x|3x2，且x1(2)由得所以5x，或x，或x5，故函數(shù)的定義域為(3)由axk

10、·2x0xk(a0)若k0，x0，xR.若k0，則當1，即a2時，函數(shù)的定義域為x|x；當01，即0a2時，函數(shù)的定義域為x|x；當1，即a2時，則有1xk，若0k1，則函數(shù)的定義域為R；若k1，則x，即原函數(shù)無意義 (4)f(x)的定義域為(0,2，欲使f(x2)有意義，需使0x22，得x0或0x，故f(x2)的定義域為，0)(0，(5)f(x2)的定義域為(0,2，知0x2，0x24，故f(x)的定義域為(0,4(6)f(x2)的定義域為(0,2，0x2，故0x24.由02x4，得x2，故f(2x)的定義域為(，2【例4】(1)已知y的定義域為(，1，求a的值；(2)已知函數(shù)yl

11、g(a21)x2(a1)x1的定義域為R，求a的取值范圍解：(1)欲使原函數(shù)有意義，需13xa0，又y的定義域為(，1，13xa0的解集為(，1即：13xa0的根為1，13a0，a.(2)當a1時，函數(shù)化為ylg 1有意義，定義域為R.當a1時，函數(shù)化為ylg(2x1)顯然不合題意當a1且a1時，由題意得得即a或a1.綜上得a的取值范圍是(，1.【例5】求下列函數(shù)的值域(1)yx22x(x0,3)；(2)y；(3)yx(x<0)；(4)f(x)x.自主解答(1)(配方法)yx22x(x1)21，y(x1)21在0,3上為增函數(shù)，0y15，即函數(shù)yx22x(x0,3)的值域為0,15(2)

12、y1，1x21，0<2.1<11.即y(1,1函數(shù)的值域為(1,1(3)x<0，x4，當且僅當x2時等號成立y(，4函數(shù)的值域為(，4(4)法一：(換元法)令t，則t0且x，于是yt(t1)21，由于t0，所以y，故函數(shù)的值域是.法二：(單調(diào)性法)f(x)的定義域為容易判斷f(x)為增函數(shù)，所以f(x)f，即函數(shù)的值域是.【例6】已知函數(shù)g(x)1, h(x)，x(3，a，其中a為常數(shù)且a>0，令函數(shù)f(x)g(x)·h(x)(1)求函數(shù)f(x)的表達式，并求其定義域；(2)當a時，求函數(shù)f(x)的值域解：(1)f(x)，x0，a(a>0)(2)函數(shù)f(

13、x)的定義域為，令1t，則x(t1)2，t，f(x)F(t)，當t時，t±2，又t時，t單調(diào)遞減，F(xiàn)(t)單調(diào)遞增，F(xiàn)(t).即函數(shù)f(x)的值域為.四、高考回放（08江蘇）17某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A，B，及CD的中點P處，已知km, ,為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且A，B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道AO，BO，OP，設(shè)排污管道的總長為ykm。（I）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式： 設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式； 設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式。（II）請你選用（I）中的一個函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排水管道總長度最短。（09江蘇）20(本小題滿分16分)設(shè)為實數(shù)，函數(shù).(1) 若，求的取值范圍；(2) 求的最小值；(3) 設(shè)函數(shù)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集.（2012年江蘇）函數(shù)的定義域為 （2012年江