化歸轉(zhuǎn)化思想提升數(shù)學(xué)解題能力思考看法

1、化歸轉(zhuǎn)化思想提升數(shù)學(xué)解題能力思考看法化歸轉(zhuǎn)化思想提升數(shù)學(xué)解題能力思考看法著名的數(shù)學(xué)家，莫斯科大學(xué)教授c.a.雅潔卡婭曾在一次向數(shù)學(xué)奧林匹克參賽者發(fā)表什么叫解題的演講時(shí)提出：“解題就是把要解的題化歸轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過的題”?；瘹w轉(zhuǎn)化就是把未知解的問題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可解問題的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)的解題過程，就是通過不斷的化歸轉(zhuǎn)化，從未知向已知、從不規(guī)范向規(guī)范、從復(fù)雜向簡(jiǎn)單的化歸轉(zhuǎn)化過程。歷年高考，化歸轉(zhuǎn)化思想無處不見，化歸方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中是普遍存在，到處可見，與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)密切相關(guān)。本文就教學(xué)實(shí)踐中如何強(qiáng)化化歸轉(zhuǎn)化思想,提高數(shù)學(xué)解題能力談一些粗淺的看法。一、化歸轉(zhuǎn)化的目標(biāo)和方向同一

2、個(gè)數(shù)學(xué)問題，由于觀察的角度不同，對(duì)問題的分析、理解的層次不同，可以導(dǎo)致轉(zhuǎn)化目標(biāo)的不同與解題方法的不同但目的只有一個(gè)，化歸轉(zhuǎn)化后所得出的問題，應(yīng)是已經(jīng)解決或是較為容易解決的問題。因此，化歸轉(zhuǎn)化的方向應(yīng)是盡量做到化繁為簡(jiǎn)、化隱為顯、化難為易、化未知為已知、化一般為特殊、化抽象為具體而化歸轉(zhuǎn)化的思想實(shí)質(zhì)就在于不應(yīng)以靜止的眼光，而應(yīng)以運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展以及事物間的相互聯(lián)系和制約的觀點(diǎn)去看待問題。即應(yīng)當(dāng)善于對(duì)所要解決的問題進(jìn)行變形和轉(zhuǎn)化，這實(shí)際上也是在數(shù)學(xué)教學(xué)中辨證唯物主義觀點(diǎn)的生動(dòng)體現(xiàn)。二、化歸轉(zhuǎn)化的等價(jià)性與不等價(jià)性化歸轉(zhuǎn)化包括等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化兩種等價(jià)轉(zhuǎn)化思想方法的特點(diǎn)是具有靈活性和多樣性。在應(yīng)用等

3、價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，沒有一個(gè)統(tǒng)一的模式去進(jìn)行。它可以在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換；它可以在宏觀上進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，如在分析和解決實(shí)際問題的過程中，普通語言向數(shù)學(xué)語言的翻譯；它可以在符號(hào)系統(tǒng)內(nèi)部實(shí)施轉(zhuǎn)換即恒等變形。等價(jià)轉(zhuǎn)化是將恒等變形在代數(shù)式方面的形變上升到保持命題的真假不變。等價(jià)轉(zhuǎn)化要求轉(zhuǎn)化過程中的前因后果是互相可逆推的但事實(shí)上并不是所有的轉(zhuǎn)化都是等價(jià)的，因此在轉(zhuǎn)化過程中，一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價(jià)性,如出現(xiàn)不等價(jià)轉(zhuǎn)化，則需附加約束條件，而在非等價(jià)轉(zhuǎn)化過程中常常會(huì)產(chǎn)生思維的閃光點(diǎn)，是找到解決問題的突破口在數(shù)學(xué)操作中實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)，我們要遵循熟悉化、簡(jiǎn)單化、直觀化、標(biāo)準(zhǔn)化的原則，

4、即把我們遇到的問題，通過轉(zhuǎn)化變成我們比較熟悉的問題來處理；或者將較為繁瑣復(fù)雜的問題變成比較簡(jiǎn)單的問題，比如從超越式到代數(shù)式、從無理式到有理式、從分式到整式等；或者比較抽象的問題，轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題，以便準(zhǔn)確把握問題的求解過程，比如數(shù)形結(jié)合法；或者從非標(biāo)準(zhǔn)型向標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)行轉(zhuǎn)化。按照這些原則進(jìn)行數(shù)學(xué)操作，轉(zhuǎn)化過程省時(shí)省力，有如順?biāo)浦?，?jīng)常滲透等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，可以提高解題的水平和能力。三、化歸轉(zhuǎn)化的方法化歸轉(zhuǎn)化方法有分割法、映射法、恒等變形法、換元法、函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法等等，(1) 分割法在幾何教學(xué)中，常常對(duì)復(fù)雜的幾何圖形或幾何體進(jìn)行分割，使之成為簡(jiǎn)單的幾何圖形或幾何體的組合。這是幾何中實(shí)現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)化

5、的常用方法。例1如圖三棱柱abca1b1c1中,若e,f分別為ab,ac的中點(diǎn),平面多面體befcb1c1是不規(guī)則幾何體，只有利用割補(bǔ)法用三棱柱abca1b1c1的體積減去三棱臺(tái)aefa1b1c1的體積才能解決，割補(bǔ)法是求解立體幾何問題的重要方法，在高考中也多次出現(xiàn)。eb1c1f將三棱柱分成體積為v1,v2兩部分,求v1:v2.(2)換元法：解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡(jiǎn)化，這叫換元法。換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理

6、。換元變形法用處很多，化簡(jiǎn)代數(shù)式如使用換元法可以簡(jiǎn)化計(jì)算過程，分解因式時(shí)使用換元法可以減少項(xiàng)數(shù)，便于發(fā)現(xiàn)關(guān)系，解方程時(shí)有些分式方程，指數(shù)方程和對(duì)數(shù)方程通過換元可以變成整式方程。有些高次方程通過換元可以達(dá)到降次的目的，有些無理方程通過換元可以去掉或減少根號(hào)。證明條件等式時(shí)，使用換元容易發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式之間的聯(lián)系。通過換元引進(jìn)新的變量，可以把分散的條件聯(lián)系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來?？傊畵Q元變形法用處十分廣泛，學(xué)生應(yīng)該熟練掌握在解題實(shí)踐中靈活地、創(chuàng)造性地去運(yùn)用。3 3)映射法：學(xué)習(xí)了集合與映射后用映射來定義函數(shù)，而把反函數(shù)的概念建立在一一映射的基礎(chǔ)上，而確定反函數(shù)y=

7、f(x)的映射是一個(gè)從原函數(shù)值域集合到定義域集合上的一個(gè)一一映射。映射法是實(shí)現(xiàn)化歸的一種重要方法，如由于建立了直角坐標(biāo)系，使平面上的點(diǎn)與有序?qū)崝?shù)對(duì)，曲線與方程建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。此外復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)、向量也建立起一一對(duì)應(yīng)化歸轉(zhuǎn)化思想提升數(shù)學(xué)解題能力思考看法第2頁關(guān)系，把向量引進(jìn)了代數(shù)，使復(fù)數(shù)的代表運(yùn)算可用向量的幾何運(yùn)算來進(jìn)行。例:已知f(x)=10x-1-2，則f-1(8)等于()a2b.4c.8d.12解析:原式即求反函數(shù)式y(tǒng)=f-1(x)中當(dāng)自變量取8時(shí)的函數(shù)值.根據(jù)互為反函數(shù)之間的關(guān)系,只須求原函數(shù)式中函數(shù)值y=8時(shí)的x值即可.故8=10x-1-2得x=2.故選(a

8、)4 )恒等變形法無論在代數(shù)還是三角教材中，恒等變形都占有十分重要的位置，特別是在求解代數(shù)方程和三角方程時(shí)，利用恒等變形以實(shí)現(xiàn)未知向已知的化歸，使我們能比較容易求得方程的解。例略5 5）函數(shù)法幾何問題、方程問題、不等式問題和某些代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問題。例:實(shí)數(shù)q在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，方程cos2x+sinx=q有實(shí)數(shù)解？解:原題就是求函數(shù)q=f（x）=cos2x+sinx的值域,由q=cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1易解.可見將參數(shù)的問題化歸轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來處理使問題變得淺顯易解.（6）數(shù)形結(jié)合法例已知方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b

9、的取值范圍?！痉治觥咳绻麑o理方程轉(zhuǎn)化為有理方程則會(huì)產(chǎn)生增根，宜將之轉(zhuǎn)化為y=和y=x+b結(jié)合圖形解之四、強(qiáng)化化歸轉(zhuǎn)化思想,提高數(shù)學(xué)解題能力（1）指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化的思想方法，提高學(xué)生思維能力數(shù)學(xué)本身具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫿Y(jié)構(gòu)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力有著很大的作用，它能養(yǎng)成學(xué)生從事確定的，有順序的，有依據(jù)的思維習(xí)慣，學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和技能的同時(shí)就可以發(fā)展邏輯思維能力。上面舉的化歸轉(zhuǎn)化方法和例題，在教學(xué)教材中是普遍存在的。因此在教學(xué)中如何體現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)化思想，如何運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化方法，提高學(xué)生思維能力是很重要的。在教學(xué)中我采用講練結(jié)合，練為主線的方法有意識(shí)地引導(dǎo)和培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)識(shí)化歸轉(zhuǎn)化思想，強(qiáng)化解決數(shù)學(xué)

10、問題中的應(yīng)變能力，從而提高學(xué)生思維能力和技能、技巧。（2）掌握化歸轉(zhuǎn)化基本方法，提高學(xué)生的認(rèn)知活動(dòng)能力化歸轉(zhuǎn)化思想在教學(xué)中乃至社會(huì)實(shí)踐中都是一個(gè)重要的思想方法，化歸轉(zhuǎn)化思想的形成需要教師在教學(xué)中有意識(shí)地引導(dǎo)和培養(yǎng)。例如把二元二次方程組通過降次消元化歸轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；將無理方程化歸轉(zhuǎn)化為有理方程求解；又如平面幾何中解一般三角形的實(shí)際問題化歸轉(zhuǎn)化為解直角三角形；把弓形的有關(guān)計(jì)算化歸轉(zhuǎn)化為解直角三角形；在立體幾何中求二面角的度數(shù)可將問題化歸轉(zhuǎn)化到平面幾何的角（平面角）來求，又如證明面面平行問題化歸轉(zhuǎn)化為線面平行或線線平行，再如求四邊形的內(nèi)角和只要作一條對(duì)角線，就把問題化歸轉(zhuǎn)化到求三角形內(nèi)角和。（3）掌握化歸轉(zhuǎn)化實(shí)質(zhì)，提高學(xué)生的解題能力化歸轉(zhuǎn)化的實(shí)質(zhì)是不斷變更問題，因此可以從改變問題的成分這方面去考慮，也可以從實(shí)現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)化的常用方法去考慮。在實(shí)際解題過程中，這兩個(gè)方面是互相滲透，互相補(bǔ)充的。另外，利用數(shù)式的運(yùn)算另辟捷徑來提高解題能力。例如銳角a,B,丫滿足C0S2a+C0S20+C0S2丫=1,求證tgatg0tg丫>2,證明時(shí)可借助已知條件構(gòu)作一長(zhǎng)方體，