均值不等式的4種變形及其應(yīng)用yqh

1、均值不等式的四種變形及其應(yīng)用定理：如果，那么當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)。這個(gè)定理至少有四種變式。例如一 第一種變式為 它是怎樣用定理“如果，那么當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，推導(dǎo)出來的呢？只要在么的兩邊同時(shí)加上可推出為它可以用中文數(shù)學(xué)語言表達(dá)成“兩個(gè)非負(fù)數(shù)的平方和的2倍不小于這兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和的平方。什么時(shí)候用這一均值不等式的變式呢？凡帶有根號(hào)形式的不等式證明題可用此第一種變式。例1設(shè)，求證：。證明： 所以證：。例2設(shè)x,y均為正數(shù),求證:x-2y1987年列寧格勒數(shù)學(xué)奧林匹克試題.證明：用均值不等式的變形公式移項(xiàng)得x-2y.例3 假設(shè)a,b,c且a+b+c=1,求證:.證明:用三元均值不等式的變形公式兩邊開方得出例4

2、假設(shè)a,b,c,d且a+b+c+d=1求證:證明: 用四個(gè)變量均值不等式的變形公式.兩邊開方得出所要證的結(jié)果.二 笫二種變形。這個(gè)變形公式是如何證明的？用中文的數(shù)學(xué)語言如何表達(dá)？何時(shí)用這一變形公式？只要在定理當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)的兩邊同除以再移項(xiàng)即可得形。表達(dá)“成一個(gè)數(shù)的平方除以第二個(gè)數(shù)不小于第一個(gè)數(shù)的二倍減去第二個(gè)數(shù)，證明分當(dāng)式且分子是平方形式時(shí)，用此不等式來證明。例1 假設(shè)a,b為正實(shí)數(shù),求證.證明1：；又因?yàn)閮墒较嗉拥每挛鞑坏仁?設(shè)那么有不等式成立;當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.證明從略證明2: (用柯西不等式)構(gòu)造兩組數(shù):代入柯西不等式之中(兩邊同除以推出。例2 :a,b,c為正數(shù),求證:證明1：以上

3、三式相加得證:證明2：用柯西不等式證明是很容易的.先構(gòu)造兩組數(shù)代入柯西不等式之中.不等式之兩邊同除以(a+b+c)推出:例6假設(shè)均為正數(shù),求證:(1984年省市自治區(qū)聯(lián)合數(shù)學(xué)競(jìng)賽題)證明1：以上個(gè)不等式邊邊相加得出證:。證明2:用柯西不等式法構(gòu)造兩組數(shù)代入哥西不等式兩邊同除以推出:三 用笫三種變形這個(gè)變形公式適用于“積定和最小 的類型。公式如何證明？注意如何中文數(shù)學(xué)語言表達(dá)？何時(shí)用這一公式？例7假設(shè)正數(shù)滿足求的最小值？解：= 。例8且求的最小值？解：由推導(dǎo)， 。例 求函數(shù)的最大值。解：因?yàn)樗詳?shù)=當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立故當(dāng)。例8求證:分析: 把拆成,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立, 此時(shí)取等號(hào).例求證:

4、 (x)分析: 把拆成便于使用均值不等式, 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí), 即時(shí)取等號(hào),X是不可能的. 這是“誤等的一個(gè)陷井, 只有尋求其它途徑, 才能徹底激活這種類型的數(shù)學(xué)題.從以上兩例進(jìn)行比擬, 發(fā)現(xiàn)一個(gè)矛盾: 例8用均值不等式所得答案是正確的, 而例用均值不等式所得答案是錯(cuò)誤的. 所謂比擬數(shù)學(xué)就是將兩道形式一樣, 解題方法也類似的數(shù)學(xué)題進(jìn)行比擬而發(fā)現(xiàn)異同的數(shù)學(xué). 比擬數(shù)學(xué)在教學(xué)中應(yīng)該有它的認(rèn)識(shí)論, 激活論的重要作用.。例的正確解法又怎樣呢？證法1：利用函數(shù)的 遞增性來證明設(shè)那么t2,y=取可見y=在(是增函數(shù), 故當(dāng)x=2時(shí),y有最小值5/2, 即y=的最小值是5/2.證法2: 因?yàn)閥=又可設(shè)因?yàn)樗约?

5、<sin2故函數(shù)y=的最小值是5/2. 與證法1得出的是殊途同歸的結(jié)論.例x>0,求證的最大值是2解法1:(均值不等式法).,所以,即的最大值是,什么時(shí)候取最大值呢?3x=時(shí), 的最大值是2。例9求函數(shù)y= 的最小值.解:(用均值不等式)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),y取得最小值.關(guān)于“積定和最小 的類型, 我們出示3道習(xí)題讓學(xué)生練習(xí):求的最小值；求的最小值；上兩題關(guān)鍵在于拆項(xiàng)的技巧求的最小值。提示：四 笫四種變形這個(gè)變形公式適用于“和定積最大 的類型例9求的最大值。分析：雖然這種拆項(xiàng)能保證“和一定的條件，但是卻出現(xiàn)了“誤等的錯(cuò)誤，事實(shí)上 同時(shí)成立是不可能的?？梢姟罢`拆與“誤等是一對(duì)“孿生兄弟， 用

6、“和定積最大 的方法是如下的正確解法。解：，推出。例 ，求的最值。分析：假設(shè)用以下方法作是錯(cuò)的，.，為什么錯(cuò)呢? 這是“誤等的錯(cuò)誤. 為了既不陷于“誤等的錯(cuò)誤; 又不陷于“誤正的錯(cuò)誤可用平方法.解: 推出當(dāng)且僅當(dāng)以上兩題形式不同思想方法同例10 且，求的最大值及相應(yīng)的的值。解：推出，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以取最大值為。最后指出定理：如果，那么當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)的應(yīng)用例112005年重慶理科5假設(shè)是正數(shù)，那么的最小值是解：又當(dāng)且僅當(dāng)成立，即時(shí)，那么的最小值是為4。綜上所述，用均值不等式求最值要有三個(gè)條件：“一正；二定；三相等 即各項(xiàng)或各因式非負(fù)；和或積為定值；當(dāng)且僅當(dāng)各項(xiàng)或各因式都能取相等值時(shí)，等號(hào)成立。與之相反的是存在三個(gè)陷井：“誤正、“誤定、“誤等。 除此之外還有兩個(gè)陷井：“誤拆 即錯(cuò)誤的拆項(xiàng)和“誤傳 即二次