勾股定理練習(xí)題集與答案解析共套

1、1. 在直角三角形ABC中，斜邊AB=1，則AB的值是（ ）2.如圖1824所示,有一個形狀為直角梯形的零件ABCD，ADBC，斜腰DC的長為10 cm，D=120°，則該零件另一腰AB的長是_ cm（結(jié)果不取近似值）.3. 直角三角形兩直角邊長分別為5和12，則它斜邊上的高為_處斷裂，猶如裝有鉸鏈那樣倒向地面，旗桿頂落于離旗桿地步16，旗桿在斷裂之前高多少？第2題圖5.如圖，如下圖，今年的冰雪災(zāi)害中，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是米.第5題圖6. 飛機(jī)在空中水平飛行,某一時刻剛好飛到一個男孩子頭頂正上方4000米處,過了20秒,

2、飛機(jī)距離這個男孩頭頂5000米,求飛機(jī)每小時飛行多少千米?第7題圖7. 如圖所示，無蓋玻璃容器，高18，底面周長為60，在外側(cè)距下底1的點C處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的容器的上口外側(cè)距開口1的F處有一蒼蠅，試求急于撲貨蒼蠅充饑的蜘蛛，所走的最短路線的長度.8. 一個零件的形狀如圖所示，已知AC=3，AB=4，BD=12。求CD的長.第8題圖第9題圖9. 如圖，在四邊形ABCD 中，A=60°，B=D=90°，BC=2，CD=3，求AB的長.10. 如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成

3、這件事情所走的最短路程是多少？ 5m13m第11題圖11如圖，某會展中心在會展期間準(zhǔn)備將高5m,長13m，寬2m的樓道上鋪地毯,已知地毯平方米18元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要多少元錢?12. 甲、乙兩位探險者到沙漠進(jìn)行探險，沒有了水，需要尋找水源為了不致于走散，他們用兩部對話機(jī)聯(lián)系，已知對話機(jī)的有效距離為15千米早晨8：00甲先出發(fā)，他以6千米/時的速度向東行走，1小時后乙出發(fā)，他以5千米/時的速度向北行進(jìn)，上午10：00，甲、乙二人相距多遠(yuǎn)？還能保持聯(lián)系嗎？第一課時答案：1.A，提示：根據(jù)勾股定理得，所以AB=1+1=2；2.4，提示：由勾股定理可得斜邊的長為5，而3+4-5=

4、2，所以他們少走了4步.3. ，提示：設(shè)斜邊的高為，根據(jù)勾股定理求斜邊為 ，再利用面積法得，；4.解：依題意，AB=16，AC=12，在直角三角形ABC中,由勾股定理,所以BC=20,20+12=32(),故旗桿在斷裂之前有32高.5.8 6.解:如圖,由題意得,AC=4000米,C=90°,AB=5000米,由勾股定理得BC=(米),所以飛機(jī)飛行的速度為(千米/小時)7. 解：將曲線沿AB展開，如圖所示，過點C作CEAB于E.在R，EF=18-1-1=16（），CE=，由勾股定理，得CF=8. 解：在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理，得在直角三角形CBD中，根據(jù)勾股定理，得CD2=

5、BC2+BD2=25+122=169，所以CD=13.9.解：延長BC、AD交于點E.（如圖所示）B=90°，A=60°，E=30°又CD=3，CE=6，BE=8，設(shè)AB=，則AE=2，由勾股定理。得ABDPNAM第10題圖10. 如圖，作出A點關(guān)于MN的對稱點A，連接AB交MN于點P，則AB就是最短路線. 在RtADB中，由勾股定理求得AB=17km11.解：根據(jù)勾股定理求得水平長為，地毯的總長 為12+5=17（m），地毯的面積為17×2=34（，鋪完這個樓道至少需要花為：34×18=612（元）12.OAB解：如圖，甲從上午8：00到上午

6、10：00一共走了2小時，走了12千米，即OA=12乙從上午9：00到上午10：00一共走了1小時，走了5千米，即OB=5在RtOAB中，AB2=122十52169，AB=13，因此，上午10：00時，甲、乙兩人相距13千米1513， 甲、乙兩人還能保持聯(lián)系勾股定理的逆定理（2）一、 選擇題1.下列各組數(shù)據(jù)中，不能作為直角三角形三邊長的是（ ）A.9，12，15 B. C.0.2，0.3，0.4 D.40，41，92.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）21 22D. 三個內(nèi)角比為1233.已知三角形兩邊長為2和6，要使這個三角形為直角三角形，則第三邊的長為（ ）A. B. C.4

7、. 五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個直角三角形，其中正確的是（ ）A B C D二、填空題5.ABC的三邊分別是7、24、25，則三角形的最大內(nèi)角的度數(shù)是.6.三邊為9、12、15的三角形，其面積為.滿足，則此三角形為三角形.8.在三角形ABC中，AB=12，AC=5，BC=13，則BC邊上的高為AD=.三、解答題9. 如圖，已知四邊形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積.第9題圖10. 如圖，E、F分別是正方形ABCD中BC和CD邊上的點，且AB=4，CE=BC，F(xiàn)為CD的中點，連接AF、AE

8、，問AEF是什么三角形？請說明理由. FEACBD第10題圖11. 如圖，AB為一棵大樹，在樹上距地面10m的D處有兩只猴子，它們同時發(fā)現(xiàn)地面上的C處有一筐水果，一只猴子從D處上爬到樹頂A處，利用拉在A處的滑繩AC，滑到C處，另一只猴子從D處滑到地面B，再由B跑到C，已知兩猴子所經(jīng)路程都是15m，求樹高AB.BACD.第11題圖12.如圖，為修通鐵路鑿?fù)ㄋ淼繟C，量出A=40°B50°，AB5公里，BC4公里，若每天鑿隧道0.3公里，問幾天才能把隧道AB鑿?fù)ǎ?8.2勾股定理的逆定理答案：一、1.C；2.C；3.C，提示：當(dāng)已經(jīng)給出的兩邊分別為直角邊時，第三邊為斜邊=當(dāng)6為

9、斜邊時，第三邊為直角邊=；4. C；°提示：根據(jù)勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的內(nèi)角為90°.6.54，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面積為7.直角，提示：；8.，提示：先根據(jù)勾股定理逆定理判斷三角形是直角三角形，再利用面積法求得；三、9.解：連接AC，在RtABC中，AC2=AB2BC2=3242=25， AC=5.在ACD中，AC2CD2=25122=169，而 AB2=132=169，AC2CD2=AB2，ACD=90°故S四邊形ABCD=SABCSACD=AB·BCAC·CD=×3×4

10、×5×12=630=36.10. 解：由勾股定理得AE2=25，EF2=5，AF2=20，AE2=EF2+AF2，AEF是直角三角形11. 設(shè)AD=x米，則AB為（10+x）米，AC為（15-x）米，BC為5米，(x+10)2+52=(15-x)2，解得x=2，10+x=12（米）12. 解：第七組，第組，勾股定理的逆定理 （3）一、基礎(chǔ)·鞏固1.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三內(nèi)角之比為123B.三邊長的平方之比為123C.三邊長之比為345D.三內(nèi)角之比為3452.如圖1824所示,有一個形狀為直角梯形的零件ABCD，ADBC，斜腰DC的

11、長為10 cm，D=120°，則該零件另一腰AB的長是_ cm（結(jié)果不取近似值）.圖18圖1825 圖18263.如圖1825，以RtABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，則AB的長為_.4.如圖1826，已知正方形ABCD的邊長為4，E為AB中點，F(xiàn)為AD上的一點，且AF=AD，試判斷EFC的形狀.5.一個零件的形狀如圖1827，按規(guī)定這個零件中A與BDC都應(yīng)為直角，工人師傅量得零件各邊尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，這個零件符合要求嗎？圖18276.已知ABC的三邊分別為k21，2k，k2+1（k1），求

12、證：ABC是直角三角形.二、綜合·應(yīng)用7.已知a、b、c是RtABC的三邊長，A1B1C1的三邊長分別是2a、2b、2c，那么A1B1C1是直角三角形嗎？為什么？8.已知：如圖1828，在ABC中，CD是AB邊上的高，且CD2=AD·BD.求證：ABC是直角三角形. 圖18289.如圖1829所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B的坐標(biāo)分別為A（3，1），B（2，4），OAB是直角三角形嗎？借助于網(wǎng)格，證明你的結(jié)論.圖182910.已知：在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c，滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.試判斷ABC的形狀.12.已知：如圖182

13、10，四邊形ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四邊形ABCD的面積.圖18210參考答案一、基礎(chǔ)·鞏固1.滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A.三內(nèi)角之比為123B.三邊長的平方之比為123C.三邊長之比為345D.三內(nèi)角之比為345思路分析：判斷一個三角形是否是直角三角形有以下方法：有一個角是直角或兩銳角互余；兩邊的平方和等于第三邊的平方；一邊的中線等于這條邊的一半.由A得有一個角是直角；B、C滿足勾股定理的逆定理，所以應(yīng)選D.答案：D2.如圖1824所示,有一個形狀為直角梯形的零件ABCD，ADBC，斜腰DC的長為10 cm，D=120

14、°，則該零件另一腰AB的長是_ cm（結(jié)果不取近似值）.圖1824解：過D點作DEAB交BC于E,則DEC是直角三角形.四邊形ABED是矩形，AB=DE.D=120°，CDE=30°.又在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半，CE=5 cm.根據(jù)勾股定理的逆定理得，DE= cm.AB= cm.3.如圖1825，以RtABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，則AB的長為_.圖1825 圖1826思路分析：因為ABC是Rt，所以BC2+AC2=AB2,即S1+S2=S3，所以S3=12，因為S3=AB2,所

15、以AB=.答案：4.如圖1826，已知正方形ABCD的邊長為4，E為AB中點，F(xiàn)為AD上的一點，且AF=AD，試判斷EFC的形狀.思路分析：分別計算EF、CE、CF的長度，再利用勾股定理的逆定理判斷即可.解：E為AB中點，BE=2.CE2=BE2+BC2=22+42=20.同理可求得,EF2=AE2+AF2=22+12=5,CF2=DF2+CD2=32+42=25.CE2+EF2=CF2,EFC是以CEF為直角的直角三角形.5.一個零件的形狀如圖1827，按規(guī)定這個零件中A與BDC都應(yīng)為直角，工人師傅量得零件各邊尺寸：AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13，這個零件符合要求嗎

16、？圖1827思路分析：要檢驗這個零件是否符合要求，只要判斷ADB和DBC是否為直角三角形即可，這樣勾股定理的逆定理就可派上用場了.解：在ABD中，AB2+AD2=32+42=9+16=25=BD2，所以ABD為直角三角形，A =90°.在BDC中,BD2+DC2=52+122=25+144=169=132=BC2.所以BDC是直角三角形，CDB =90°.因此這個零件符合要求.6.已知ABC的三邊分別為k21，2k，k2+1（k1），求證：ABC是直角三角形.思路分析：根據(jù)題意，只要判斷三邊之間的關(guān)系符合勾股定理的逆定理即可.證明：k2+1>k21,k2+12k=(k

17、1)2>0,即k2+1>2k，k2+1是最長邊.(k21)2+(2k)2=k42k2+1+4k2=k4+2k2+1=(k2+1)2,ABC是直角三角形.二、綜合·應(yīng)用7.已知a、b、c是RtABC的三邊長，A1B1C1的三邊長分別是2a、2b、2c，那么A1B1C1是直角三角形嗎？為什么？思路分析：如果將直角三角形的三條邊長同時擴(kuò)大一個相同的倍數(shù)，得到的三角形還是直角三角形（例2已證）.解：略8.已知：如圖1828，在ABC中，CD是AB邊上的高，且CD2=AD·BD.求證：ABC是直角三角形. 圖1828思路分析：根據(jù)題意，只要判斷三邊符合勾股定理的逆定理即可

18、.證明：AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2，AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2.ABC是直角三角形.9.如圖1829所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B的坐標(biāo)分別為A（3，1），B（2，4），OAB是直角三角形嗎？借助于網(wǎng)格，證明你的結(jié)論.圖1829思路分析：借助于網(wǎng)格，利用勾股定理分別計算OA、AB、OB的長度，再利用勾股定理的逆定理判斷OAB是否是直角三角形即可.解： OA2=OA12+A1A2=32+12=10,OB2=OB12+B1B2=22+42=20,AB2=AC2+BC2=12+32=10,OA2+

19、AB2=OB2.OAB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形.10.閱讀下列解題過程：已知a、b、c為ABC的三邊，且滿足a2c2b2c2=a4b4，試判斷ABC的形狀.解：a2c2b2c2=a4b4，(A)c2(a2b2)=(a2+b2)(a2b2)，(B)c2=a2+b2，（C)ABC是直角三角形.問：上述解題過程是從哪一步開始出現(xiàn)錯誤的？請寫出該步的代號_；錯誤的原因是_；本題的正確結(jié)論是_.思路分析：做這種類型的題目，首先要認(rèn)真審題，特別是題目中隱含的條件，本題錯在忽視了a有可能等于b這一條件，從而得出的結(jié)論不全面.答案：(B) 沒有考慮a=b這種可能，當(dāng)a=b時ABC是等腰三角形；ABC是等

20、腰三角形或直角三角形.11.已知：在ABC中，A、B、C的對邊分別是a、b、c，滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.試判斷ABC的形狀.思路分析：（1）移項，配成三個完全平方；(2)三個非負(fù)數(shù)的和為0，則都為0；(3)已知a、b、c，利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀為直角三角形.解：由已知可得a210a+25+b224b+144+c226c+169=0,配方并化簡得,(a5)2+(b12)2+(c13)2=0.(a5)20,(b12)20,(c13)20.a5=0,b12=0,c13=0.解得a=5,b=12,c=13.又a2+b2=169=c2,ABC是直角三角形.12

21、.已知：如圖18210，四邊形ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3.求：四邊形ABCD的面積.圖18210思路分析：（1）作DEAB，連結(jié)BD，則可以證明ABDEDB（ASA）；(2)DE=AB=4，BE=AD=3，EC=EB=3；(3)在DEC中，3、4、5為勾股數(shù)，DEC為直角三角形，DEBC；(4)利用梯形面積公式，或利用三角形的面積可解.解：作DEAB，連結(jié)BD，則可以證明ABDEDB（ASA）,DE=AB=4，BE=AD=3.BC=6,EC=EB=3.DE2+CE2=32+42=25=CD2,DEC為直角三角形.又EC=EB=3,DBC為等腰三角形，DB=DC=

22、5. 在BDA中AD2+AB2=32+42=25=BD2,BDA是直角三角形.它們的面積分別為SBDA=×3×4=6;SDBC=×6×4=12.S四邊形ABCD=SBDA+SDBC=6+12=18.勾股定理的應(yīng)用（4）1，S2=8，S3，把三個半圓拼成如圖所示的圖形，則ABC一定是直角三角形嗎？說明理由。2.求知中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD，如下圖所示，學(xué)校計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200天，問學(xué)校需要投入多少資金買草皮？3.（12分）如圖所示，折疊矩形的一邊

23、AD，使點D落在BC邊上的點F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的長。4.如圖，一個牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？AB小河?xùn)|北牧童小屋5.（8分）觀察下列各式，你有什么發(fā)現(xiàn)？32=4+5，52=12+13，72=24+25 92=40+41這到底是巧合，還是有什么規(guī)律蘊(yùn)涵其中呢？（1）填空：132=+（2）請寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。（3）結(jié)合勾股定理有關(guān)知識，說明你的結(jié)論的正確性。6.如圖，在RtABC中，ACB=90°，CDAB，BC=6，AC=8， 求AB

24、、CD的長的點（不寫作法，但要保留畫圖痕跡）8.已知如圖，四邊形ABCD中，B=90°，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求這個四邊形的面積_A_B_C_D9.如圖，每個小方格的邊長都為1求圖中格點四邊形ABCD的面積。勾股定理復(fù)習(xí)題（5）一、填空、選擇題題：3.有一個邊長為5米的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住這個洞口，圓的直徑至少為（ ）米。4、一旗桿離地面6米處折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部8米處，則旗桿折斷之前的高度是（ ）米。6、 在ABC中，C=90°,AB=10。 (1)若A=30°,則BC=，AC=。(2)若A=45°,則BC=，A

25、C=。8、在ABC中，C=90°，AC=0.9cm,BC=1.2cm.則斜邊上的高CD=m11、三角形的三邊a b c，滿足，則此三角形是三角形。12、小明向東走80米后，沿另一方向又走了60米，再沿第三個方向走100米回到原地。小明向東走80米后又向方向走的。13、中，AB=13cm ,BC=10cm ，BC邊上的中線AD=12cm則 AC的長為 cm14、兩人從同一地點同時出發(fā)，一人以3米/秒的速度向北直行，一人以4米/秒的速度向東直行，5秒鐘后他們相距米.15、寫出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？兩直線平行，內(nèi)錯角相等。（ ）如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等。（

26、）若 ，則a=b（ ）全等三角形的對應(yīng)角相等。（ ）角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。（ ）16、下列各組線段組成的三角形不是直角三角形的是（ ）(A)a=15 b=8 c=17 (B) a:b:c=1: 2(C) a=2 b= c= (D) a=13 b=14 c=1517、若一個三角形的三邊長為6,8,x,則使此三角形是直角三角形的x的值是( ). A.8 B.10 C.18、下列各命題的逆命題不成立的是( ) A.兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ) B.若兩個數(shù)的絕對值相等,則這兩個數(shù)相等C.對頂角相等 D.如果a=b或a+b=0,那么二、解答題：19、有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺。如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達(dá)池邊的水面。水的深度與這根蘆葦?shù)拈L度分別是多少？20、一根竹子高1丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處.折斷處離地面的高度是多少? (其中丈、尺是長度單位,1丈=10尺)21、某港口位于東西方向的海岸線上?！斑h(yuǎn)航”號、“海天”號輪船