基于三次樣條插值方法的萬能拉拔機(jī)凸輪設(shè)計

1、基于三次樣條插值方法的萬能拉拔機(jī)凸輪設(shè)計【摘要】拉拔機(jī)是對金屬材料進(jìn)行拉拔的設(shè)備，通過拉拔使金屬材料的直徑發(fā)生改變，以達(dá)到所需的直徑要求.拉拔機(jī)的重要結(jié)構(gòu)是凸輪，凸輪機(jī)構(gòu)是典型的常用機(jī)構(gòu)之一，在工程中一般用于重復(fù)性機(jī)械動作.凸輪曲線多根據(jù)從動拉桿變化與需要進(jìn)行設(shè)計，具有光滑性、周期性等特殊的性質(zhì).在此基礎(chǔ)上，本文根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)，利用三次樣條插值方法，獲得凸輪曲線模型，即計算底圓周任意一點(diǎn)對應(yīng)的圓柱高度值函數(shù).為了達(dá)到這一目的，首先，將原數(shù)據(jù)以角度為自變量，高度為因變量，整合為二維散點(diǎn)圖；其次，考慮凸輪曲線的特殊性質(zhì)，利用三次樣條插值方法，獲得具有周期性、穩(wěn)定性和分段光滑性的插值函數(shù).此時已完

2、成了模型的建立.最后，通過循環(huán)函數(shù)，將樣條函數(shù)提取為全空間內(nèi)的分段函數(shù)，并實(shí)現(xiàn)對任意輸入的底圓周角度值，唯一輸出其所對應(yīng)的圓柱高度.本文放棄多次插值，而選擇了分段低次的樣條插值，有效地降低了計算的難度，提高了局部插值精度.但存在樣條函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù)，且局部數(shù)據(jù)修改對函數(shù)整體影響較大的問題.盡管如此，本文所得的樣條函數(shù)仍具有較高的擬合精度，提高了函數(shù)的整體光滑性，對工業(yè)生產(chǎn)有一定的指導(dǎo)作用.【關(guān)鍵詞】 拉拔機(jī)凸輪，三次樣條插值，函數(shù)整合，問題重述萬能拉拔機(jī)是工業(yè)生產(chǎn)中的重要工具，其原理為通過凸輪拉拔，使金屬材料直徑發(fā)生改變，獲得達(dá)到工業(yè)要求的原材料.拉拔機(jī)凸輪多為不規(guī)則圓柱體，由實(shí)際工作情

3、況可知，拉拔運(yùn)動需保證等速拉拔且快速返回，在高速運(yùn)轉(zhuǎn)情況下，凸輪動態(tài)特性要好，避免過大的震動和沖擊，因此要求整個凸輪曲線的位移、速度、加速度連續(xù)光滑.這要求凸輪曲線有較好的性質(zhì).現(xiàn)有某萬能拉撥機(jī)中圓柱形的凸輪，其底圓半徑R=300mm，凸輪的上端不是一個平面，它要根據(jù)從動拉桿變化的與需要進(jìn)行設(shè)計制造.現(xiàn)已知在底圓周的36等分點(diǎn)的圓柱的高度值（表3.8.3）.為了數(shù)控加工，需要知道圓周上任一點(diǎn)處的圓柱的高度值.試給出能計算這些數(shù)值的數(shù)學(xué)模型.表3.8.3 在底圓周的36等分點(diǎn)的圓柱的高度值502.75520.96525.00523.60514.30492.00451.00394.60326.50

4、259.70188.60132.1092.2068.9059.6058.2062.2480.45102.68124.90147.13169.36191.58213.81236.03258.26280.49302.71324.94347.17369.39391.62413.84436.07459.30480.52模型假設(shè)1. 假設(shè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計真實(shí)有效2. 假設(shè)凸輪曲線光滑符號說明符號含義Data底圓周36等分點(diǎn)的高度值R底圓半徑Alpha原題中各分點(diǎn)alpha1插值后各分點(diǎn)R原始弧長r1插值后弧長Ch插值后高度值問題分析題目給出了底圓周36等分點(diǎn)的圓柱高度值，由于凸輪曲線只有角度和高度兩個變量，因此

5、將三維圖像整合為以角度為自變量，高度為因變量的二維函數(shù).分析凸輪曲線為空間內(nèi)閉合曲線，因此函數(shù)應(yīng)具有周期性.凸輪曲線的位移、速度、加速度連續(xù)光滑，即函數(shù)本身，以及函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，綜上所述，選取三次樣條插值方法，對現(xiàn)有數(shù)據(jù)進(jìn)行插值分析.定義函數(shù)SxC2a,b,a=x0<x1<x2<xn=b為給定結(jié)點(diǎn)，S(x)在每個小區(qū)間xj,xj+1上是三次多項式，則稱Sx=S0x,xx0,x1S1x,xx1,x2Sn-1x,xxn-1,xn為a,b上的三次樣條函數(shù).利用三次樣條插值，得到角度與高度h的插值函數(shù)，即分段三次函數(shù)，為實(shí)現(xiàn)對任意輸入的0值，輸出唯一對應(yīng)的高度值，設(shè)計f

6、or循環(huán)，判斷出0所在的區(qū)間，進(jìn)而提取出0所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，完成全部模型的建立.模型的建立與求解根據(jù)上文的分析，模型的建立分為兩部分，第一步，將完成數(shù)據(jù)的三次樣條插值，獲得樣條函數(shù)；第二步，將所得函數(shù)的信息提取出來，建立模型，實(shí)現(xiàn)對任意輸入的0值，輸出其唯一對應(yīng)的高度值。1. 通過題中所給數(shù)據(jù)，首先做出凸輪三維立體圖像如下：由圖象可知，此時凸輪邊緣光滑性較差，呈鋸齒狀，為了得到符合題目要求的模型，將原始數(shù)據(jù)以圓心角為自變量，高度為因變量繪制散點(diǎn)圖如下：根據(jù)本文前半部分的分析，對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行三次樣條插值，獲得較為光滑的樣條函數(shù)，并繪制函數(shù)圖像：此時已獲得一個在各個區(qū)間內(nèi)分段連續(xù)函數(shù)，樣條函數(shù)的

7、全部參數(shù)信息保存在變量ch中。（具體matlab程序見附錄）2. 在三次樣條插值中，對于插值函數(shù)h=S(x)，可以得到S(k)= hk ,且在每個小區(qū)間k，k+1上是三次多項式函數(shù)。建立示性函數(shù)I(k，k+1）=1, &k，k+10, k，k+1，則函數(shù)表達(dá)式可寫成Sx=k=1nSk(x)Ik，k+1，具體表達(dá)式為Skx=（1+2-kk-1-k）-k-1k-k-12 k-1k（1+2-kk+1-k）-k+1k-k+12 kk+1 0 k-1,k+1，其中自變量為自原點(diǎn)起向某一方向旋轉(zhuǎn)的角度所轉(zhuǎn)化的弧度。這里我們使用了for循環(huán)，計算出當(dāng)自變量為時，各分段函數(shù)計算的高度值，并通過示性函數(shù)

8、判斷是否在各函數(shù)的自變量的取值范圍內(nèi)，若在示性函數(shù)取值為1，否則取值為0，最終再將計算結(jié)果求和，得到弧度制為時對應(yīng)的高度值，具體的計算方法我們由附錄的程序給出。模型評價與改進(jìn)由于本題所要研究的曲線為周期性的閉曲線，我們可以針對曲線具有可周期性延伸的特點(diǎn)，采用一種基于求解雙列帶陣線性方程組的三次B樣條完全閉曲線插值算法。將原數(shù)據(jù)以角度為自變量，高度為因變量，整合為二維散點(diǎn)圖；其次，考慮凸輪曲線的特殊性質(zhì)，利用三次B樣條插值方法，獲得具有幾何不變性、高階連續(xù)性和對稱性的插值函數(shù).此時已完成了模型的建立.最后，通過循環(huán)函數(shù)，將樣條函數(shù)提取為全空間內(nèi)的分段函數(shù)，并實(shí)現(xiàn)對任意輸入的底圓周角度值，唯一輸出

9、其所對應(yīng)的圓柱高度.這種方法選擇了分段低次的樣條插值，有效地降低了計算的難度，提高了局部插值精度，獲得光滑性相對較好的樣條函數(shù).但由于樣條插值所獲得的曲線不能做局部修改，且整體光滑性較差，因此本文選擇了三次B樣條插值.在一定程度上獲得更為合適的樣條曲線，對工業(yè)生產(chǎn)具有一定的指導(dǎo)作用.【附錄】附錄：三次樣條插值函數(shù)data = textread('wheel.txt');R = 300;%三次樣條插值，并計算插值后各點(diǎn)高度alpha = linspace(0,2*pi,36);alpha1 = linspace(0,2*pi,1000);r = alpha*R;r1 = alph

10、a1*R;ch = interp1(alpha,data,alpha1,'spline');%原始數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖figure(1);plot(alpha,data,'o');xlabel('圓心角');ylabel('高度');title('原始數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖');%一維三次樣條插值圖figure(2);plot(alpha,data,'o',alpha1,ch,'r');xlabel('圓心角');ylabel('高度');title('一維三次樣條

11、插值'); x = R+R*cos(alpha); y = R+R*sin(alpha);X = ones(100,1)*x; Y = ones(100,1)*y;z = linspace(0,1,100)' Z = z*data;%原始凸輪圖示figure(3);surf(X,Y,Z); shading flat;zlabel('高度'); title('原始凸輪圖示);%三次樣條插值cz = interp1(r,data,r1,'spline');x1 = R+R*cos(alpha1); y1 = R+R*sin(alpha1);

12、X1 = ones(100,1)*x1; Y1 = ones(100,1)*y1;z1 = linspace(0,1,100)' Z1 = z1*cz;%三次樣條插值后凸輪圖示figure(4); surf(X1,Y1,Z1); shading flat;zlabel('高度'); title('三次樣條插值后凸輪圖示');附錄：提取樣條函數(shù)function higth = fun_wheel( theta ) data = textread('wheel.txt');alpha = linspace(0,2*pi,36);alpha1

13、= linspace(0,2*pi,1000);%三次樣條插值ch = interp1(alpha,data,alpha1,'spline');pp = spline(alpha,data);%計算各區(qū)間內(nèi)函數(shù)值，并判斷自變量是否在取值范圍內(nèi)for tt=1:pp.pieces temp =(theta>=alpha(tt)&(theta<alpha(tt+1); thetas = (theta-alpha(tt)3 (theta-alpha(tt)2 (theta-alpha(tt) 1' h(tt) = temp*pp.coefs(tt,:)*thetas; end %求和higth = sum(h); 附錄：原始數(shù)據(jù)（圓周36等分點(diǎn)所對應(yīng)的高度值）50