數(shù)列教材分析與教學(xué)建議

1、 房山區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 張吉一、課標(biāo)要求（1）數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法通過(guò)日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)。（2）等差數(shù)列、等比數(shù)列通過(guò)實(shí)例，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式。能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題。體會(huì)等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。二、高考說(shuō)明要求（1）數(shù)列的概念和表示法（要求層次B）（2）等差數(shù)列的概念（要求層次B）（3）等比數(shù)列的概念（要求層次B）（4）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式（要求層次C）（5

2、）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式（要求層次C）三、基本特色1.  用函數(shù)的觀點(diǎn)和遞推的觀點(diǎn)理解數(shù)列，加強(qiáng)數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系。2.  應(yīng)用代數(shù)的基本方法和技能解數(shù)列問(wèn)題。  3.  數(shù)列的相關(guān)計(jì)算，貫徹算法思想。四、值得研討的問(wèn)題1數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中的教育價(jià)值是什么？（1）世界觀的形成客觀性數(shù)列雖然是人類思維的產(chǎn)物，屬于主觀范疇。人們可以發(fā)揮自由想象，去創(chuàng)造各種數(shù)列。但是數(shù)列又有“理性的內(nèi)涵”，它又具備了客觀性。這種兩重性，是數(shù)學(xué)學(xué)科特有的，其它學(xué)科是不具有的，因此數(shù)列是人類思維與自然界之間的一座橋梁，通過(guò)數(shù)列的學(xué)習(xí)，學(xué)生會(huì)更加貼近自然。普遍聯(lián)系數(shù)列是最講究事

3、物間普遍聯(lián)系的。它是廣泛存在于眾多事物之間的結(jié)果，如天體距離的研究、放射性物質(zhì)的衰變可用數(shù)列來(lái)討論、國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值GDP數(shù)據(jù)可以用數(shù)列來(lái)排序、居民住房消費(fèi)貸款的還款利息可以用數(shù)列來(lái)計(jì)算。數(shù)列本身與其它數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著廣泛的聯(lián)系。如函數(shù)、方程、不等式、幾何、三角等之間的聯(lián)系：數(shù)列是特殊的函數(shù)，它的解決與函數(shù)、方程、不等式有關(guān)；同時(shí)，幾何、三角中也存在著數(shù)列。同時(shí)數(shù)列內(nèi)部各部分之間也存在著聯(lián)系：比如通項(xiàng)與前項(xiàng)和之間的關(guān)系，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的關(guān)系：若是等差數(shù)列，則數(shù)列是等比數(shù)列；若是等比數(shù)列，則是等差數(shù)列。運(yùn)動(dòng)變化數(shù)列研究的是一列數(shù)的排列規(guī)律，即變化規(guī)律。它強(qiáng)有力地表現(xiàn)著變化。并且我們?cè)谘芯繑?shù)

4、列的排序時(shí)，正是研究數(shù)列在“變化中的不變性”，即數(shù)列的性質(zhì)。以等差數(shù)列為例，當(dāng)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，無(wú)論序號(hào)如何變化，但總成立；當(dāng)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，無(wú)論序號(hào)如何變化，但總成立。指導(dǎo)實(shí)踐數(shù)列與小行星的發(fā)現(xiàn)中，就從科學(xué)史上的一個(gè)真實(shí)故事出發(fā)，引出了與本章內(nèi)容相關(guān)的問(wèn)題，使學(xué)生體會(huì)了科學(xué)家探索真理的精神（如：大膽的假設(shè)，小心的求證），感悟數(shù)學(xué)在人類社會(huì)發(fā)展中的重要作用；等差數(shù)列求和中的高斯思想，又可引出數(shù)學(xué)史上的一段佳話；北京天壇圓丘地面問(wèn)題是中國(guó)傳統(tǒng)文化與數(shù)學(xué)的完美結(jié)合；等差數(shù)列中數(shù)與形的交融反映的是一種數(shù)學(xué)美；儲(chǔ)蓄問(wèn)題則反映了數(shù)學(xué)的社會(huì)需求   。（2）思維的訓(xùn)練“公理

5、化”體系數(shù)列的整章內(nèi)容，以從數(shù)列的原始概念“按一定順序排成的一列數(shù)，叫數(shù)列”出發(fā)。以此為基礎(chǔ)，并由此作為出發(fā)點(diǎn)，再引出數(shù)列的項(xiàng)、首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、通項(xiàng)、前項(xiàng)和、有窮數(shù)列、無(wú)究數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列、等推公式等一系列概念、公式、性質(zhì)，由此形成了“數(shù)列”一章的“公理化”體系，成為解決數(shù)列問(wèn)題的工具。歸納的完全性初學(xué)數(shù)列的同學(xué)經(jīng)常用不完全歸納法得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論，當(dāng)老師指出方法不正確時(shí)，學(xué)生很難理解和接受。從數(shù)學(xué)的角度來(lái)分析，不完全歸納法得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論不具有普遍意義，因?yàn)檫@種做法可能有例外的情況發(fā)生。因引數(shù)學(xué)中要求的是完全歸納法。例如：利用等差列的定義：，求通項(xiàng)公式。解：，歸納得到：這種做法是不完

6、全歸納法，得到的結(jié)果是不可靠的，是需要證明的。當(dāng)歸納是完全的，那就是明確的邏輯要求了。演繹思維對(duì)于上面同樣一個(gè)問(wèn)題，如果學(xué)生作這樣處理：(1)(2)(3)()()將上述個(gè)式子相加得這種處理過(guò)程是演繹推理，以等差數(shù)列的定義為基礎(chǔ)，通過(guò)大家認(rèn)可的嚴(yán)格的變換過(guò)程，得到等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。但作為學(xué)生來(lái)說(shuō)，不好區(qū)分這兩種方法，往往會(huì)把不完全歸納法當(dāng)作完全歸納法，需要老師在平時(shí)訓(xùn)練中形成學(xué)生對(duì)這兩種方法的認(rèn)識(shí)。一門學(xué)科是否形成了演繹思維體系，是用來(lái)判斷這處學(xué)科是否成熟的標(biāo)志，所以演繹思維體是邏輯思維的代表。（3）數(shù)學(xué)思想的滲透函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一條主線貫穿于整體中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。數(shù)列是一種特殊的函數(shù)

7、，學(xué)習(xí)數(shù)列有助于學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)和理解函數(shù)思想。函數(shù)思想貫穿于高中數(shù)學(xué)的始終，在其他必修內(nèi)容中出現(xiàn)的函數(shù)基本上是連續(xù)函數(shù)，但數(shù)列作為函數(shù)，它的定義域是離散的正整數(shù)。對(duì)數(shù)列內(nèi)容的處理，突出了函數(shù)思想、數(shù)學(xué)模型思想以及離散與連續(xù)的關(guān)系。（4）體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的美科學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)美的追求，往往體反映在簡(jiǎn)潔性與統(tǒng)一性上?！昂?jiǎn)潔性”即“簡(jiǎn)潔美”，“統(tǒng)一性”主要體現(xiàn)在“對(duì)稱美”。數(shù)列教學(xué)中，簡(jiǎn)潔美和對(duì)稱美都體現(xiàn)得比較充分。比如：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9是被公認(rèn)的“絕妙”的符號(hào)，所有數(shù)列是由它們構(gòu)成的；表示數(shù)列的第項(xiàng)；表示一個(gè)數(shù)列；表示數(shù)列的前項(xiàng)和；表示等差數(shù)列的定義；表示等比數(shù)列的定義；表示數(shù)列若干項(xiàng)的

8、和；表示數(shù)列若干項(xiàng)的積。這些符號(hào)，在數(shù)列學(xué)習(xí)中要廣泛應(yīng)用，與其它符號(hào)一起構(gòu)成了數(shù)學(xué)中的符號(hào)語(yǔ)言。不公具有簡(jiǎn)潔美，而且還是普通文字語(yǔ)言無(wú)法取代的。（2）對(duì)稱美概念的對(duì)稱：數(shù)列的首項(xiàng)與數(shù)列的末項(xiàng)；等差與等比；有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列；遞增數(shù)列與遞減數(shù)列；等差數(shù)列與等比數(shù)列；等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)。性質(zhì)的對(duì)稱：在項(xiàng)數(shù)有限的等差數(shù)列中，到首末兩端等距離的項(xiàng)的和相等，即在項(xiàng)數(shù)有限的等比數(shù)列中，到首末兩端等距離的項(xiàng)的積相等，即；在項(xiàng)數(shù)有限的等差數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，首項(xiàng)與末項(xiàng)的和等于中間一項(xiàng)的二倍，即在項(xiàng)數(shù)有限的等比數(shù)列中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，首項(xiàng)與末項(xiàng)的積等于中間一項(xiàng)的平方，即命題的對(duì)稱性當(dāng)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，則數(shù)列

9、也是等差數(shù)列；當(dāng)數(shù)列是比差數(shù)列時(shí)，則數(shù)列（）也是等比數(shù)列；當(dāng)數(shù)列是等差數(shù)列時(shí)，則數(shù)列也是等差數(shù)列；第一、三個(gè)命題都與第二個(gè)命題對(duì)稱。2在數(shù)列的教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算、推理能力？（1）運(yùn)算能力的培養(yǎng)運(yùn)算能力是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種必備能力，它與記憶能力、理解能力、推理能力、表達(dá)能力以及思維能力等諸多因素相互滲透、協(xié)調(diào)發(fā)展。培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，有助于學(xué)生的分析能力、推理能力的提高，同時(shí)能把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，可以減少計(jì)算的步驟，提高解題速度，使學(xué)生解題和運(yùn)算過(guò)程更加科學(xué)化、合理化。數(shù)列教學(xué)內(nèi)容是訓(xùn)練和培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力的良好素材。熟練基本運(yùn)算方法，抓基本概念和公式對(duì)于等差數(shù)列與等比數(shù)列，抓基本概念和公式，

10、從首項(xiàng)和公差(比)人手，是解決等差(比)數(shù)列問(wèn)題的基本途徑和方法。優(yōu)化運(yùn)算思維過(guò)程，抓觀點(diǎn)與性質(zhì)運(yùn)算是一種綜合能力，它不可能孤立存在。而且與觀察力、注意力、記憶力、理解力、推理能力、表達(dá)能力等相互滲透、相互影響，優(yōu)化運(yùn)算思維過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生正確、簡(jiǎn)潔、富有創(chuàng)造性的運(yùn)算能力和品質(zhì)，從而逐步形成解決實(shí)際問(wèn)題的能力。第一， 用函數(shù)的觀點(diǎn)審視數(shù)列問(wèn)題數(shù)列是特殊的函數(shù)，利用函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)列問(wèn)題，有時(shí)顯得既簡(jiǎn)潔，又方便。例1已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則它的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)是第_項(xiàng)，最小項(xiàng)是第_項(xiàng).例2已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,則數(shù)列最大項(xiàng)是第_項(xiàng).第二， 用等差（比）數(shù)列的性質(zhì)在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，利用等差數(shù)列與等比

11、數(shù)列的性質(zhì)，可以使運(yùn)算得到簡(jiǎn)化。等差數(shù)列前n項(xiàng)和為。已知+-=0，=38,則m=_.等比數(shù)列中,且=81,則=_.培養(yǎng)綜合運(yùn)算能力，抓聯(lián)系與滲透運(yùn)算能力是具有層次性的，這就要求老師在教學(xué)中按由單一運(yùn)算到復(fù)習(xí)雜運(yùn)算，再到綜合運(yùn)算的步驟來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。第一， 等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前項(xiàng)公式的基本運(yùn)算等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式是解決所有數(shù)列問(wèn)題的基礎(chǔ)，絕大多數(shù)的數(shù)列問(wèn)題經(jīng)過(guò)化歸、轉(zhuǎn)化之后，可以用等差、等比數(shù)列解決，所以，等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式、前項(xiàng)公式的運(yùn)算對(duì)數(shù)列運(yùn)算是非常重要的。例1等差數(shù)列、中,已知其前項(xiàng)和分別為和,且,則=_.例2等比數(shù)列的公比, 已知=1，則的前

12、4項(xiàng)和= .例3設(shè)是定義在上不為零的函數(shù)，對(duì)任意，都有，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和的取值范圍是.第二，數(shù)列通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和之間的關(guān)系運(yùn)算例1已知數(shù)列數(shù)列滿足:。則通項(xiàng)公式是_.例2數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1=1，n=1，2，3，求（1）a2，a3，a4的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）的值.解：（1）由a1=1，n=1，2，3，得，由（n2），得（n2），又a2=，所以an=(n2),數(shù)列an的通項(xiàng)公式為；（2）由（1）可知是首項(xiàng)為，公比為項(xiàng)數(shù)為n的等比數(shù)列，=第三，等差（比）數(shù)列與其它知識(shí)之間的綜合運(yùn)算例1數(shù)列的前項(xiàng)和為，第項(xiàng)滿足，則_.例2在直角坐標(biāo)平面上有一點(diǎn)列，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)位于函數(shù)的圖

13、象上，且的橫坐標(biāo)構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列（I）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（II）設(shè)拋物線列,中的每一條的對(duì)稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點(diǎn)為，且過(guò)點(diǎn)，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：；（III）設(shè)，等差數(shù)列的任一項(xiàng)，其中是中的最大數(shù)，求的通項(xiàng)公式解：（I）（II）的對(duì)稱軸垂直于軸，且頂點(diǎn)為.設(shè)的方程為：把代入上式，得，的方程為：.當(dāng)時(shí)，=（III），T中最大數(shù).設(shè)公差為，則，由此得培養(yǎng)中學(xué)生的運(yùn)算能力要加強(qiáng)運(yùn)算練習(xí)。任何能力都是在一定的實(shí)踐活動(dòng)中形成和發(fā)展起來(lái)的，為了有效的提高學(xué)生的運(yùn)算能力就必須加強(qiáng)練習(xí)，其中練習(xí)要有目的性、系統(tǒng)性、典型性。通過(guò)一題多變、一題多改、一題多解、一法多用，培養(yǎng)運(yùn)算的熟

14、練性、準(zhǔn)確性、迅速性、靈活性、合理性。教師還應(yīng)把握好數(shù)學(xué)課堂對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力培養(yǎng)的積極作用，課后并以題組訓(xùn)練的形式培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算過(guò)程中思維的深刻性，并注重題目難度系數(shù)的合理安排，使學(xué)生在提高運(yùn)算能力的同時(shí)又不失學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。（2）推理能力的培養(yǎng)推理包括合情推理與演繹推理兩類。其中合情推理的實(shí)質(zhì)是“發(fā)現(xiàn)-猜想”，牛頓早就說(shuō)過(guò)：“沒有大膽的猜想就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)”，合情推理能力往往與創(chuàng)新能力緊密相關(guān)。例如海王星的發(fā)現(xiàn)，就是利用類比推理，借助數(shù)學(xué)運(yùn)算而發(fā)現(xiàn)的。中學(xué)階段是學(xué)生思維發(fā)展的關(guān)鍵期，培養(yǎng)該階段學(xué)生的合情推理能力具有重要意義。而演繹推理是數(shù)學(xué)中基本的推理方法。重視運(yùn)算過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。高

15、中數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)之一是提高學(xué)生的運(yùn)算能力，運(yùn)算能力是高中生的基本數(shù)學(xué)能力，也是高考重點(diǎn)考查的能力之一，但是對(duì)于現(xiàn)在的學(xué)生，卻對(duì)運(yùn)算有種恐懼的感覺，為什么？運(yùn)算中有推理，對(duì)于代數(shù)運(yùn)算不僅要求會(huì)計(jì)算，而且要求明白算理，能說(shuō)出運(yùn)算中每一步所涉及的運(yùn)算律和法則。因此在運(yùn)算過(guò)程中，要充分展現(xiàn)推理和推理過(guò)程，逐步培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力。例1 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推理：方法1：（合情推理：不完全歸納法）根據(jù)等比數(shù)列的定義： ，,由此歸納，方法2：（演繹推理）根據(jù)等比數(shù)列的定義： (1)(2)(3)(n-1)將以上n-1個(gè)式子相乘，得例2等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法1：錯(cuò)位相減法當(dāng)時(shí)(1)(2)(1)-(2)得

16、當(dāng)時(shí)，方法2：提取公比方法3：利用等比定理當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，方法4：遞推法當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，方法5：解方程組法當(dāng)時(shí)（1）-（2）得當(dāng)時(shí)，方法6：合情推理歸納推理當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)，不同的推導(dǎo)方法，代表了不同思維方式，反映不同的數(shù)學(xué)思想，教學(xué)中抓住了這些方法，著力在這些地方做文章，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力、推理能力、辯證思維都有很大好處，同時(shí)，滲透著化歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，加深學(xué)生對(duì)等比數(shù)列的再認(rèn)識(shí)。例3等差數(shù)列前項(xiàng)和公式方法1：倒序相加法（1）（2）（1）+（2）得方法2：對(duì)項(xiàng)數(shù)分類討論當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，方法3：合情推理歸納推理引導(dǎo)學(xué)生觀察，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力合情推理并非盲目的、漫無(wú)邊際的胡亂猜想。它是以數(shù)學(xué)中某些已

17、知事實(shí)為基礎(chǔ)，通過(guò)選擇恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察。觀察是人們認(rèn)識(shí)客觀世界的門戶。觀察可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的各種感官，在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生聯(lián)想，通過(guò)觀察還可以減少猜想的盲目性。同時(shí)觀察力也是人的一種重要能力。所以在教學(xué)中要給學(xué)生必要的時(shí)間和空間進(jìn)行觀察，培養(yǎng)良好的觀察習(xí)慣，提高觀察力，發(fā)展合理推理能力。例1設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，成等差數(shù)列類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，_，_成等比數(shù)列（）例2已知數(shù)列數(shù)列滿足:則通項(xiàng)公式是_。利用數(shù)學(xué)歸納，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力歸納推理是思維過(guò)程中從特殊到一般的推理，也是合情推理的主要形式之一。在解決一些數(shù)列問(wèn)題時(shí)，往往讓學(xué)生們先大膽的歸納猜測(cè)，再

18、進(jìn)行推理證明。而現(xiàn)實(shí)生活中一些數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)、信息采集、產(chǎn)品檢驗(yàn)等都是采用歸納推理。例1由數(shù)列的前四項(xiàng)：，1 ，歸納出通項(xiàng)公式an =_(nN)（）例2在各項(xiàng)為正的數(shù)列中，數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足（1） 求；（2） 由（1）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3） 求。（解：（1）；（2）；（3）.）借助類比探討，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力類比推理是思維過(guò)程中由特殊到特殊的推理，是合情推理的主要形式之一，對(duì)于相互有聯(lián)系的命題進(jìn)行類比分析，有利于學(xué)生對(duì)問(wèn)題的更深層次的認(rèn)識(shí)，更有利于學(xué)生對(duì)問(wèn)題規(guī)律的探尋。如等比數(shù)列與等差數(shù)列的類比，有利于學(xué)生弄清楚二者的區(qū)別與聯(lián)系，事半功倍。例1若數(shù)列，(nN)是等差數(shù)列,則有數(shù)列b=(nN)

19、也是等差數(shù)列，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：若數(shù)列c是等比數(shù)列,且c0(nN)，則有d=(nN)也是等比數(shù)列（）例2等差數(shù)列的定義：一個(gè)數(shù)列，從第二起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列叫等差數(shù)列。類比等差數(shù)列的定義，等和數(shù)列可以這樣定義：；首項(xiàng)為2 ，公和為3 的等和數(shù)的前項(xiàng)的和=。（一個(gè)數(shù)列，從第二起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的和等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列叫等和數(shù)列。）五、地位與作用數(shù)列是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題，也是近代數(shù)學(xué)研究的重要對(duì)象。在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，數(shù)列處于一個(gè)知識(shí)匯合點(diǎn)的地位，很多知識(shí)都與數(shù)列有著密切聯(lián)系，數(shù)、式、方程、函數(shù)、不等式、簡(jiǎn)易邏輯等知識(shí)在這些章均得到了較為充分的應(yīng)用，數(shù)列

20、正是在將各知識(shí)溝通方面發(fā)揮了重要作用，由于不少關(guān)于恒等變形、解方程(組)以及一些帶有綜合性的數(shù)學(xué)問(wèn)題都與等差數(shù)列、等比數(shù)列有關(guān)，學(xué)習(xí)這一章便于對(duì)學(xué)生進(jìn)行綜合訓(xùn)練，從而有助于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，學(xué)習(xí)數(shù)列有助于培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納、猜想以及分析和解決問(wèn)題的綜合能力，數(shù)列與函數(shù)、三角、不等式、數(shù)學(xué)歸納法、解析幾何、應(yīng)用問(wèn)題等有著廣泛的聯(lián)系，有很強(qiáng)的綜合性，是高中代數(shù)中培養(yǎng)學(xué)生綜合能力的良好素材。六、本章重點(diǎn)、難點(diǎn)1重點(diǎn)：（1）數(shù)列的概念；（2）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式；（3）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式。2難點(diǎn)：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及應(yīng)用；（2）等比

21、數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及應(yīng)用。七、教學(xué)內(nèi)容安排 本章共有三大節(jié)，教學(xué)約需12課時(shí)，具體分配如下：節(jié)次內(nèi)容課時(shí)2.1數(shù)列2課時(shí)2.11等差數(shù)列1課時(shí)2.12數(shù)列的遞推公式1課時(shí)2.2等差數(shù)列4課時(shí)2.21等差數(shù)列2課時(shí)222等差數(shù)列的前項(xiàng)和2課時(shí)23等比數(shù)列4課時(shí)231等比數(shù)列2課時(shí)232等比數(shù)列的前項(xiàng)和2課時(shí)小結(jié)與復(fù)習(xí)2課時(shí)八、教學(xué)建議    (一)把握好本章的教學(xué)要求由于本章聯(lián)系的知識(shí)面廣，具有知識(shí)交匯點(diǎn)的特點(diǎn)，在應(yīng)試教育的“一步到位”的教育思想的影響下，本章的教學(xué)要求很容易拔高，過(guò)早地進(jìn)行針對(duì)“高考” 的綜合性訓(xùn)練，從而影響了基本

22、內(nèi)容的學(xué)習(xí)和加重了學(xué)生負(fù)擔(dān)事實(shí)上，學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷深化的過(guò)程。作為在高一(上)學(xué)習(xí)的這一章，應(yīng)致力于打好基礎(chǔ)并進(jìn)行初步的綜合訓(xùn)練，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中通過(guò)對(duì)本章內(nèi)容的不斷應(yīng)用來(lái)獲得鞏固和提高。最后在高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)時(shí)，通過(guò)知識(shí)的系統(tǒng)梳理和進(jìn)一步的綜合訓(xùn)練使對(duì)本章內(nèi)容的掌握上升到一個(gè)新的檔次。為此，本章教學(xué)中應(yīng)特別注意一些容易膨脹的地方。例如在學(xué)習(xí)數(shù)列的遞推公式時(shí)，不要去搞涉及遞推公式變形的論證、計(jì)算問(wèn)題，只要會(huì)根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)就行了；在研究數(shù)列求和問(wèn)題時(shí)，不要涉及過(guò)多的技巧.(二)有意識(shí)地復(fù)習(xí)和深化初中所學(xué)內(nèi)容    對(duì)于初中學(xué)過(guò)的多數(shù)知識(shí)在高中沒有系

23、統(tǒng)深入學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)。而初中內(nèi)容是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的必要基礎(chǔ)，因而在學(xué)習(xí)高中內(nèi)容時(shí)有意識(shí)地復(fù)習(xí)、深化初中內(nèi)容顯得特別重要。本章是高中數(shù)學(xué)的第三章，距離初中數(shù)學(xué)較近，與初中數(shù)學(xué)的聯(lián)系最廣，因而教學(xué)中應(yīng)在溝通初、高中數(shù)學(xué)方面盡可能多地作一些努力。   (三)適當(dāng)加強(qiáng)本章內(nèi)容與函數(shù)的聯(lián)系    適當(dāng)加強(qiáng)這種聯(lián)系，不僅有利于知識(shí)的融匯貫通，加深對(duì)數(shù)列的理解，運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)和方法解決有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，而且反過(guò)來(lái)可使學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)深化一步比如，學(xué)生在此之前接觸的函數(shù)一般是自變量連續(xù)變化的函數(shù)，而到本章接觸到數(shù)列這種自變量離散變化的函數(shù)之后，就能

24、進(jìn)一步理解函數(shù)的一般定義，防止了前面內(nèi)容安排可能產(chǎn)生的學(xué)生認(rèn)識(shí)上的負(fù)遷移；    本章內(nèi)容與函數(shù)的聯(lián)系涉及以下幾個(gè)方面：    1數(shù)列概念與函數(shù)概念的聯(lián)系。    相應(yīng)于數(shù)列是一種定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的前n個(gè)數(shù)組成的有限子集)的函數(shù)，它是一種自變量“等距離”地離散取值的函數(shù)，從這個(gè)意義上看，它豐富了學(xué)生所接觸的函數(shù)概念的范圍。但數(shù)列與函數(shù)并不能劃等號(hào)，數(shù)列是相應(yīng)函數(shù)的一系列函數(shù)值?；谝陨下?lián)系，數(shù)列也可用圖象表示，從而可利用圖象的直觀性來(lái)研究數(shù)列的性質(zhì)。數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上

25、是相應(yīng)因數(shù)的解析表達(dá)式。而數(shù)列的遞推公式也是表示相應(yīng)函數(shù)的一種方式，因?yàn)橹灰o定一個(gè)自變量的值n，就可以通過(guò)遞推公式確定相應(yīng)的f(n)。這也反過(guò)來(lái)說(shuō)明作為一個(gè)函數(shù)并不一定存在直接表示因變量與自變量關(guān)系的解析式。     2等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的聯(lián)系。    從等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道，公差不為零的等差數(shù)列的每一項(xiàng)a是關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的一次函數(shù)式于是可以利用一次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)認(rèn)識(shí)等差數(shù)列。例如，根據(jù)一次函數(shù)的圖象是一條直線和直線由兩個(gè)點(diǎn)唯一確定的性質(zhì)，就容易理解為什么兩項(xiàng)可以確定一個(gè)等差數(shù)列。  

26、; 此外，首項(xiàng)為、公差為d的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式可以寫為：=An2+Bn(A=,B=)    即當(dāng)時(shí)，是n的二次函數(shù)式，于是可以運(yùn)用二次函數(shù)的觀點(diǎn)和方法來(lái)認(rèn)識(shí)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的問(wèn)題如可以根據(jù)二次函數(shù)的圖象了解的增減變化、極值等情況。    3等比數(shù)列與指數(shù)型函數(shù)的聯(lián)系。    由于首項(xiàng)為、公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以寫成=kqn-k,(k=),它與指數(shù)函數(shù)y=有著密切聯(lián)系，從而可利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)研究等比數(shù)列。    

27、;(四)注意等差數(shù)列與等比數(shù)列的對(duì)比，突出兩類數(shù)列的基本特征    等差數(shù)列與等比數(shù)列在內(nèi)容上是完全平行的，包括：定義、性質(zhì)(等差還是等比)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式、兩個(gè)數(shù)的等差(等比)中項(xiàng)。具體問(wèn)題里成等差(等比)數(shù)列的三個(gè)數(shù)的設(shè)法等。因此在教學(xué)與復(fù)習(xí)時(shí)可采用對(duì)比方法，以便于弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別。順便指出，一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的充要條件是它是非零的常數(shù)列。    教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)，等差數(shù)列的基本性質(zhì)是“等差”，等比數(shù)列的基本性質(zhì)是“等比”，這是我們研究有關(guān)兩類數(shù)列的主要出發(fā)點(diǎn)，是判斷、證明一個(gè)數(shù)列是

28、否為等差 (等比)數(shù)列和解決其他問(wèn)題的一種基本方法。要讓學(xué)生注意，這里的“等差”(“等比”)，是對(duì)任意相鄰兩項(xiàng)來(lái)說(shuō)的。    上述基本性質(zhì)，引申出兩類數(shù)列的一種對(duì)稱性：即與數(shù)列中的任一項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和(之積)等于該項(xiàng)的2倍(平方).    利用上述性質(zhì)，常使一些問(wèn)題變得簡(jiǎn)便。對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，還可指出等差數(shù)列與等比數(shù)列描述了兩種最簡(jiǎn)單、最重要的變化：等差數(shù)列描述的是一種絕對(duì)均勻變化，等比數(shù)列描述的是一種相對(duì)均勻變化，非均勻變化通常要轉(zhuǎn)化或近似成均勻變化來(lái)進(jìn)行研究，這就成為教材之所以重點(diǎn)研究等差數(shù)列與等比數(shù)列

29、的主要原因所在。    (五)注意培養(yǎng)學(xué)生初步綜合運(yùn)用觀察、分析、歸納、猜想、證明、數(shù)學(xué)建模等方法及應(yīng)用能力，突出學(xué)生的數(shù)據(jù)處理、轉(zhuǎn)化化歸、代數(shù)推理和數(shù)學(xué)思想方法的提煉和運(yùn)用能力    綜合運(yùn)用觀察、歸納、猜想、證明等方法研究數(shù)學(xué)，是一種非常重要的學(xué)習(xí)能力事實(shí)上，在問(wèn)題探索求解中，常常是先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的特點(diǎn)，形成解決問(wèn)題的初步思路；然后用歸納方法進(jìn)行試探，提出猜想；最后采用證明方法(或舉反例)來(lái)檢驗(yàn)所提出的猜想應(yīng)該指出，能夠充分進(jìn)行上述研究方法訓(xùn)練的素材在高中數(shù)學(xué)里并非很多，而在本章里卻多次提供了這種訓(xùn)練機(jī)

30、會(huì)，因而在教學(xué)中應(yīng)該充分利用，不要輕易放過(guò)。  (六)注意在啟發(fā)學(xué)生思維上下功夫    本章內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、啟發(fā)學(xué)生思考問(wèn)題的好素材，使學(xué)生在獲得知識(shí)的基礎(chǔ)上，觀察和思維能力得到提高。比如，等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法比公式本身重要。推導(dǎo)這些公式，能突出數(shù)學(xué)方法，提高學(xué)生思維能力。        （七)加強(qiáng)推理論證和計(jì)算能力的培養(yǎng)    考慮到新課標(biāo)更加重視對(duì)學(xué)生邏輯思維能力和計(jì)算能力的培養(yǎng)，在前面

31、兩個(gè)模塊中已經(jīng)滲透了一部分，因此本章在推理論證方面有所加強(qiáng)。  (八)注意滲透一些重要的數(shù)學(xué)思想方法    由于本章處在知識(shí)交匯點(diǎn)的地位，所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法較為豐富，教材在這方面也力求充分挖掘。教材注意從函數(shù)的觀點(diǎn)去看數(shù)列，在這種整體的、動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)之下使數(shù)列的一些性質(zhì)顯現(xiàn)得更加清楚，某些問(wèn)題也能得到更好的解決，不少的例、習(xí)題均屬這種模式：已知數(shù)列滿足某某條件，求這個(gè)數(shù)列。這類問(wèn)題一般都要通過(guò)列出方程或方程組，然后求解，利用的是函數(shù)與方程的思想；關(guān)于遞推的思想方法，不僅在數(shù)列的遞推公式里有所體現(xiàn)觀察、歸納、猜想、證明等思想方法的組合運(yùn)

32、用在本章里得到了充分展示為學(xué)生了解它們各自的作用、相互間的關(guān)系并進(jìn)行初步運(yùn)用提供了條件。推導(dǎo)等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的方法也很重要，要高度重視。九、分節(jié)分析（一）21數(shù)列（2課時(shí)） 教材對(duì)一般數(shù)列的概念，要求較高。建議安排兩節(jié)課。這一節(jié)學(xué)好了，下面兩節(jié)，就可引導(dǎo)學(xué)生自主探索學(xué)習(xí)。211數(shù)列（概念）1教學(xué)要求 （1）理解數(shù)列、數(shù)列通項(xiàng)及其相關(guān)概念； （2）理解通項(xiàng)公式是函數(shù)關(guān)系，能用函數(shù)和映射的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)數(shù)列，了解遞增和遞減數(shù)列的概念。2內(nèi)容分析（1）數(shù)列的概念：按昭一定次序排成的一列數(shù)。每一個(gè)數(shù)叫數(shù)列的項(xiàng)。（2）數(shù)列的表示：，,;通項(xiàng)公式表示；遞推公式表示。（3）通項(xiàng)

33、公式：數(shù)列的第項(xiàng)與序號(hào)之間的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式。（4）數(shù)列的分類：按項(xiàng)數(shù)：有窮數(shù)列與無(wú)窮數(shù)列；類比函數(shù)的單調(diào)性：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列；擺動(dòng)數(shù)列。3本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)（1）重點(diǎn)：（1）數(shù)列的概念；（2）數(shù)列的通項(xiàng)公式。（2）難點(diǎn)：求數(shù)列的通項(xiàng)公式。4教學(xué)建議（1）引導(dǎo)學(xué)生從集合與映射的角度認(rèn)識(shí)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，特殊在定義域不連續(xù)，故圖象是一引起孤立的點(diǎn)。（2）舉例引出數(shù)列的概念。書中7個(gè)例子，數(shù)的排列都是有規(guī)律的，其實(shí)數(shù)列的各項(xiàng)也可能是隨機(jī)的，沒有什么規(guī)律。（3）可先寫出幾個(gè)通項(xiàng)公式的例子，再給出一般通項(xiàng)公式的函數(shù)表示：an=f(n)。對(duì)應(yīng)法則f可用公式、列表或圖象給出，定義域?yàn)榉橇阕匀粩?shù)或其

34、子集。教學(xué)時(shí)，要注意函數(shù)定義域的表述。符號(hào)N+與N*表示正整數(shù)或非0自然數(shù)。（4）例1可由學(xué)生自己完成。例2中的3個(gè)小題，都要通過(guò)觀察，并分析數(shù)的性質(zhì)，有一定的難度。教學(xué)時(shí)可由教師引導(dǎo)，由學(xué)生完成。設(shè)計(jì)例3和思考與討論是為了加強(qiáng)數(shù)列與函數(shù)的聯(lián)系。用研究函數(shù)性質(zhì)的方法研究數(shù)列的性質(zhì)。對(duì)例3的教學(xué)要給予重視。（5）引導(dǎo)學(xué)生明白已知幾項(xiàng)，如何歸納數(shù)列的通項(xiàng)公式。5例題分析212 數(shù)列的遞推公式 課標(biāo)對(duì)遞推公式?jīng)]有明確要求，考慮到它在認(rèn)識(shí)數(shù)列中的作用，課本把它單列一節(jié)作為選學(xué)。建議大家還是把它作為必學(xué)內(nèi)容。 1教學(xué)要求： （1）理解用遞推公式定義數(shù)列的方法； （

35、2）能用數(shù)列的遞推公式和首項(xiàng)，寫出數(shù)列的后續(xù)各項(xiàng)。2內(nèi)容分析（1）數(shù)列的遞推公式：已知數(shù)列的第一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且從第二項(xiàng)（或某一項(xiàng)）開始的任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，則這個(gè)公式叫這個(gè)數(shù)列的遞推公式。（2）數(shù)列的遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。3本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)（1）重點(diǎn)：理解數(shù)列遞推公式的意義。（2）難點(diǎn)：數(shù)列遞推公式的應(yīng)用。4教學(xué)建議： （1）通過(guò)實(shí)例引入數(shù)列的遞推公式。數(shù)列的遞推公式應(yīng)包括數(shù)列的首項(xiàng)值和公式本身。讓學(xué)生體會(huì)，給出首項(xiàng)和遞推公式，就可唯一確定一個(gè)數(shù)列。 （2）通過(guò)例1及其邊注中的提問(wèn)，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)，數(shù)列兩種表示方法的特色

36、。用遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)后，引導(dǎo)學(xué)生觀察、歸納并猜想該數(shù)列的通項(xiàng)公式，雖有一定的難度，但學(xué)生應(yīng)有這個(gè)能力。 （3）也可以不代入a1的值，由依次計(jì)算的結(jié)果，可能更容易看到an與n的函數(shù)關(guān)系：  （4）例2的難度更大些，要求學(xué)生有較堅(jiān)實(shí)的數(shù)形結(jié)合基礎(chǔ)和解題能力。這種解題的綜合能力，要努力去訓(xùn)練，學(xué)生才能掌握。其實(shí)，學(xué)生只須掌握點(diǎn)的坐標(biāo)概念、會(huì)求兩個(gè)已知函數(shù)的函數(shù)值，就能夠理解此題的解法。具體講解時(shí)，可把P1、P2、P3的坐標(biāo)都寫出來(lái)讓學(xué)生觀察，發(fā)現(xiàn)an與an+1間的關(guān)系。  （5）練習(xí)A、B全做。習(xí)題2-1B選做。探索與研究留給學(xué)有余力的學(xué)生做。（6）引

37、導(dǎo)學(xué)生重視本節(jié)課的教學(xué)。（二）22 等差數(shù)列（4課時(shí)）221等差數(shù)列（2課時(shí)）1教學(xué)要求： （1）掌握等差數(shù)列的遞推定義：an-an-1=d或an=an-1+d，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）掌握等差中項(xiàng)的概念，用等差中項(xiàng)的概念，進(jìn)一步理解等差數(shù)列的特征性質(zhì)：從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都是前后項(xiàng)的等差中項(xiàng)； （3）理解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系：等差數(shù)列是一次函數(shù)在非零自然數(shù)集（或其子集）上的限定。（4）要求學(xué)生能按算法的思路，解與等差數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題。2內(nèi)容分析（1）定義：；（2）通項(xiàng)公式：，；（3）等差中項(xiàng)：若成等差數(shù)列，則A叫，的等差中項(xiàng)，且A=；（4）證明數(shù)列為等差數(shù)列的方法：

38、定義法：；中項(xiàng)法：；（5）等差數(shù)列的性質(zhì)若，則；若，則；=奇數(shù)項(xiàng)也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為，公差為；偶數(shù)項(xiàng)也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)為，公差為；，也是等差數(shù)列；,也是等差數(shù)列。3本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)（1）重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。（2）難點(diǎn)：對(duì)等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的理解。4教學(xué)建議（1）引導(dǎo)學(xué)理解等差數(shù)列的概念：，讓學(xué)生體會(huì)兩點(diǎn)：第一，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差均可以寫成；第二，差等于同一個(gè)常數(shù)。（2）先用歸納的方法猜想等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用迭加法加以證明，歸納猜想和迭加都很重要，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真領(lǐng)會(huì)和應(yīng)用。（3）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可改寫成：，再聯(lián)想一次函數(shù)（是常數(shù)），可以得到：數(shù)列是

39、等差數(shù)列的充要條件是：（是常數(shù)）兩個(gè)獨(dú)立的條件可以確定等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；表示等差數(shù)列圖象的點(diǎn)均在一條直線上，這條直線的斜率為。（4）用實(shí)例給出等差數(shù)列的遞推公式，先用語(yǔ)言敘述，再用公式an-an-1=d或an=an-1+d，表達(dá)。（5）講解例1，鞏固定義。（6）引導(dǎo)學(xué)生用歸納法，推導(dǎo)通項(xiàng)公式。（7）例2到例5，都是等差數(shù)列通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用。在數(shù)列問(wèn)題中，最好明確解方程的思路。如例1，依題意可列方程組 然后解方程組求d。這樣，可培養(yǎng)學(xué)生按算法步驟解問(wèn)題的良好習(xí)慣。（8）練習(xí)A、B全做。練習(xí)B第2題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步深入思考等差數(shù)列的一些常用性質(zhì)。學(xué)生完成作業(yè)后，最好課上討論一下，擴(kuò)展

40、學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的理解。（9）關(guān)于等差中項(xiàng)常見的有：，還有。（10）本節(jié)教材突出數(shù)學(xué)建模、類比、歸納猜想、迭加法等數(shù)學(xué)方法，注意滲透和強(qiáng)化。5例題分析222 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（2課時(shí)）1教學(xué)要求：（1）熟練掌握求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式；（2）掌握求和公式的推導(dǎo)的方法。2內(nèi)容分析（1）等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式：前n項(xiàng)和公式：；（從第項(xiàng)到第項(xiàng)的和）（2）公式的變形，= =，是關(guān)于的二次函數(shù)，沒有常數(shù)項(xiàng)。（3）已知，利用關(guān)系式求通項(xiàng)。3本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)（1）重點(diǎn)：等差數(shù)列前項(xiàng)和公式。（2）難點(diǎn)：等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。4教學(xué)建議（1）教材引入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是通過(guò)一個(gè)實(shí)例引入的，通過(guò)實(shí)例，使

41、學(xué)生理解等差數(shù)列前項(xiàng)和的意義，并了解倒序相加法求和，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)等差數(shù)列的求和公式，體現(xiàn)了由具體到抽象的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)了知識(shí)的形成過(guò)程，要高度重視。（2）在講求和公式推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)指出其運(yùn)算的依據(jù)是等式性質(zhì)和數(shù)運(yùn)算的通性(交換律與結(jié)合律)。養(yǎng)成學(xué)生邏輯思維的習(xí)慣。（3）通過(guò)思考與討論，分析通項(xiàng)公式與求和公式之間的關(guān)系。一個(gè)為n的一次函數(shù)，一個(gè)為n的二次函數(shù)，并且這個(gè)二次函數(shù)沒有常數(shù)項(xiàng)。（4）引導(dǎo)學(xué)生思考，如何由求和公式求通項(xiàng)公式。（5）例1直接應(yīng)用求和公式求和，屬于等差數(shù)列中，由五個(gè)量知三求二的問(wèn)題。（6）例2，介紹由求和公式求通項(xiàng)公式的方法，分析求和公式與二次函數(shù)的聯(lián)系。從具體到抽象，討論的是

42、同一個(gè)問(wèn)題，研究的是以下一組問(wèn)題：已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式，利用公式；等差數(shù)列的前項(xiàng)和是關(guān)于的二次函數(shù)，且沒有常數(shù)項(xiàng)，（是常數(shù)），同樣，當(dāng)一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)和是（是常數(shù)）形式時(shí)，這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列。類比二次函數(shù)，等差數(shù)列前項(xiàng)和存在最值問(wèn)題：方法1：類似于二次函數(shù)，利用配方法求項(xiàng)點(diǎn)的坐標(biāo)，要注意；方法2：先求通項(xiàng)公式，若數(shù)列的前項(xiàng)和最大，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和最小。研究以上一組問(wèn)題，重在思維的訓(xùn)練、技能的提高，最終落實(shí)到“等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是（是常數(shù)）”的認(rèn)識(shí)上。（7）例3，是一道有關(guān)“教育儲(chǔ)蓄”、“零存整取”的問(wèn)題，是等差數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用，是重點(diǎn)問(wèn)題，分析題中的數(shù)量關(guān)系，得出算式求解。（8）習(xí)題2-2

43、B的3、4、5、6都有一定的難度，建議選做。（9）探索與研究留給學(xué)有余力的學(xué)生選做。（三）22 等比數(shù)列（4課時(shí)）221等比數(shù)列1教學(xué)要求：（1）掌握等比數(shù)列的遞推定義：an+1=anq，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）掌握等比中項(xiàng)的的概念，用等比中項(xiàng)的概念，進(jìn)一步理解等比數(shù)列的特征性質(zhì)：從第二項(xiàng)起（除去末項(xiàng)），每一項(xiàng)都是前后項(xiàng)的等比中項(xiàng)；（3）理解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，等比數(shù)列是指數(shù)函數(shù)在非零自然數(shù)集（或其子集）上的限定；（4）要求學(xué)生能按算法的思路，解與等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題。2內(nèi)容分析（1）等比數(shù)列的定義：；（2）通項(xiàng)公式：；（3）等比中項(xiàng)：若成等比數(shù)列，則G叫，的等比中項(xiàng)，且；（4）證明

44、數(shù)列為等比數(shù)列的方法：定義法：；中項(xiàng)法：；（5）等比數(shù)列的性質(zhì)若，則；若，則；=奇數(shù)項(xiàng)也是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為；偶數(shù)項(xiàng)也是等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為；，也是等比數(shù)列；,也是等比數(shù)列。3本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)（1）重點(diǎn)：等差數(shù)列的概念；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。（2）難點(diǎn)：對(duì)等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的理解。4教學(xué)建議（1）用實(shí)例給出等比數(shù)列的遞推定義，先用語(yǔ)言敘述，再用公式表達(dá)；（2）引導(dǎo)學(xué)生等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是，是指數(shù)型函數(shù)；（3）引導(dǎo)學(xué)生理解等比數(shù)列的首項(xiàng)，公比均不等于0；（4）引導(dǎo)學(xué)生了理解等比數(shù)列也有遞增、遞減、擺動(dòng)等性質(zhì)；（5）引導(dǎo)學(xué)生用歸納的方法，推導(dǎo)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式。（6）講解例1，鞏固

45、等比數(shù)列的定義。（7）分析通項(xiàng)公式與指數(shù)函數(shù)間的關(guān)系，并引導(dǎo)學(xué)生思考，由求和公式如何求通項(xiàng)公式?（8）通過(guò)例2給出了等比數(shù)列的另一個(gè)公式：，引導(dǎo)學(xué)生理解；（9）用等比中項(xiàng)的概念，進(jìn)一步分析等比數(shù)列的性質(zhì)。（10）例3，都是等比數(shù)列通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用。在解數(shù)列問(wèn)題中，最好明確已知及已知與未知的關(guān)系，根據(jù)列方程和解方程的思路來(lái)解。（11）例4，已知a1，a5，未知的是公比q，a2，a3，a4，依題意可列方程組 然后解方程組求q和插入的三項(xiàng)，這樣，可培養(yǎng)學(xué)生按算法步驟解問(wèn)題的良好習(xí)慣。本題是應(yīng)用下列知識(shí)解題：；等比數(shù)列的定義；等比中項(xiàng) （11）講解等比數(shù)時(shí)，最好與等差數(shù)列類比進(jìn)行

46、，幫助學(xué)生理解所學(xué)知識(shí)；（12）練習(xí)A、B全做。練習(xí)B第2題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步深入思考等差數(shù)列的一些常用性質(zhì)，學(xué)生完成作業(yè)后，最好課上討論一下，擴(kuò)展學(xué)生對(duì)等差數(shù)據(jù)列的理解。5例題分析222 等比數(shù)列的前n項(xiàng)和1教學(xué)要求：（1）熟練掌握求比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，掌握求和公式的推導(dǎo)的方法；（2）掌握由初始值、增長(zhǎng)率求總和的計(jì)算方法。2內(nèi)容分析（1）n項(xiàng)和公式：，（20推導(dǎo)等比數(shù)列前項(xiàng)和的方法：迭加法。3本節(jié)重點(diǎn)、難點(diǎn)（1）重點(diǎn)：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式。（2）難點(diǎn)：等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)和應(yīng)用。4教學(xué)建議（1）推導(dǎo)等比數(shù)列前項(xiàng)和的方法有兩種：課本使用方法：迭加法；，兩邊同乘以得兩式相減得，故兩種方法，都

47、是從整體入手，構(gòu)造出關(guān)于的方程，解方程得的表達(dá)式。（2）在講求和公式推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)指出其運(yùn)算的依據(jù)是等式性質(zhì)和數(shù)運(yùn)算的通性(交換律、結(jié)合律、分配律)。培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)運(yùn)算技能。（3）課本開頭的引例是一個(gè)很好的實(shí)際問(wèn)題，要重視它人作用。（4）例1、例2、例3為求和公式的直接應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生在分析題意的基礎(chǔ)上，正確運(yùn)用公式計(jì)算，并注意一題多解，培養(yǎng)學(xué)生解題能力。（5）例4為等比數(shù)列應(yīng)用的一個(gè)典型例子。通過(guò)數(shù)量分析，理解任一月份的計(jì)算表達(dá)式和求總和的計(jì)算方法。（6）習(xí)題2-2B的3、4、5、6都有一定的難度，選做。（7）練習(xí)A、B全做。習(xí)題2-3A全做，B選做。B中的第4題可選為復(fù)習(xí)

48、課的例題。  （8）建議增加一課時(shí)作全章小結(jié)。如課時(shí)允許，可增加一節(jié)習(xí)題課。要注意總結(jié)數(shù)列問(wèn)題的代數(shù)方法。小結(jié)中的題目，缺少代數(shù)、三角和幾何的綜合的基本練習(xí)題。可適當(dāng)增加。如： 三角形的三內(nèi)角成等差數(shù)列，試判斷三角形的形狀。已知一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正三角形，以此正三角形的高線為邊作第二個(gè)正三角形，依此類推，求前10個(gè)正三角形的面積之和。（9）建議通過(guò)習(xí)題課，總結(jié)歸納求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法和數(shù)列的求和方法。5例題分析23數(shù)列的通項(xiàng)公式與數(shù)列的和1求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法（1）已知前幾項(xiàng)，歸納出通項(xiàng)公式；（2）已知前項(xiàng)和，利用公式。（3）已知遞推公式求通項(xiàng)已知遞推公式，求出幾項(xiàng)，歸納通項(xiàng)，

49、再證明；遞推公式為：，數(shù)列是等差數(shù)列；遞推公式為：，數(shù)列是等比數(shù)列；遞推公式為：，是關(guān)于n的代數(shù)式，用疊加法求通項(xiàng)公式；例1（1）已知數(shù)列滿足:求通項(xiàng)。（2）已知數(shù)列滿足:求通項(xiàng)。遞推公式為：，是關(guān)于n的代數(shù)式；用疊乘法求通項(xiàng)公式；例2(1)已知數(shù)列滿足:，求通項(xiàng)公式。 (2)已知數(shù)列=1, 求通項(xiàng)公式。遞推公式為：，兩邊加減常數(shù)構(gòu)造數(shù)列；例3（1）已知數(shù)列滿足:，求通項(xiàng)公式。（2）已知數(shù)列滿足:，求通項(xiàng)公式。，利用倒數(shù)關(guān)系構(gòu)造新數(shù)列。例4已知數(shù)列數(shù)列滿足:求通項(xiàng)公式。2數(shù)列的求和等差與等比數(shù)列，有專門的求和公式。分項(xiàng)求和：從通項(xiàng)公式入手，把數(shù)列分成幾個(gè)基本數(shù)列分別求和，再把所得的和相加。例1

50、已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,求前n項(xiàng)和。裂項(xiàng)求和：從通項(xiàng)公式入手，把數(shù)列的通項(xiàng)公式寫成兩項(xiàng)的差，再求和。例2已知,求其前前n項(xiàng)和.錯(cuò)位相減求和：一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積構(gòu)成的新數(shù)列的求和。例3已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求前前n項(xiàng)和。說(shuō)明：以上求和方法，一定要講，它是數(shù)列中很重要的內(nèi)容。（四）小結(jié)與復(fù)習(xí)（2課時(shí)）通項(xiàng)公式1知識(shí)結(jié)構(gòu)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式數(shù)列數(shù)列的應(yīng)用通項(xiàng)公式等比數(shù)列前項(xiàng)和公式數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和2復(fù)習(xí)等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，完成下表等差數(shù)列等比數(shù)列定義（遞推公式）通項(xiàng)公式前項(xiàng)和公式等差（比）中項(xiàng)證明數(shù)列等差（比）的方法通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法性質(zhì)123456十、練習(xí)題重難

51、點(diǎn)：理解數(shù)列的概念，認(rèn)識(shí)數(shù)列是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，探索并掌握數(shù)列的幾種間單的表示法（列表、圖象、通項(xiàng)公式）；了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；發(fā)現(xiàn)數(shù)列規(guī)律找出可能的通項(xiàng)公式考綱要求：了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖像、通項(xiàng)公式)了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)經(jīng)典例題：假設(shè)你正在某公司打工，根據(jù)表現(xiàn)，老板給你兩個(gè)加薪的方案：（）每年年末加1000元；（）每半年結(jié)束時(shí)加300元。請(qǐng)你選擇:（1）如果在該公司干10年，問(wèn)兩種方案各加薪多少元？ （2）對(duì)于你而言，你會(huì)選擇其中的哪一種？ 課堂練習(xí)：1. 下列說(shuō)法中，正確的是 ( )A數(shù)列1，2，3與數(shù)列3，2，1是同一個(gè)數(shù)列B數(shù)列l(wèi),

52、2，3與數(shù)列1，2，3，4是同一個(gè)數(shù)列.C數(shù)列1，2，3，4，的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=n.D以上說(shuō)法均不正確2巳知數(shù)列的首項(xiàng)a1=1，且,(n2)，則為 ( ) A7 B15 C30 D313.數(shù)列的前n項(xiàng)和為=2n21，則,的值依次為 ( ) A2，14 B2，18 C3，4 D3，184.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為=4n2n2，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為( )A =8n5(nN*) B=8n5(nN*) C=8n5(n2) D的前n項(xiàng)和公式=n22n5，則=( ) A40 B45 C50 D556.若數(shù)列前8項(xiàng)的值各異，且對(duì)任意的都成立，則下列數(shù)列中可取遍前8項(xiàng)值的數(shù)列為（ ）A. B.C. D.中，已

53、知=2，則的值為_8.已知數(shù)列滿足=1 ，, 且=3,=15,則常數(shù)c,b 的值為_9.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式=n22n5，則=_10.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（=1，2，3，），則它的通項(xiàng)公式是=_11. 下面分別是數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式： (1)Sn=2n2-3n； (2)Sn=3n-212. 已知數(shù)列中a1=1，. (1)寫出數(shù)列的前5項(xiàng)；(2)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式13. 已知數(shù)列滿足a1=0，an1Sn=n22n(nN*)，其中為 an的前n項(xiàng)和，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式14. 已知數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式之間滿足關(guān)系=23an(1)求a1;(2)求an與an-1(n2，nN*)的遞推關(guān)系；(3)求與Sn-1(n2，nN*)的遞推關(guān)系.§2.2等差數(shù)列、等比數(shù)列重難點(diǎn)：理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式，能在具體的問(wèn)題情境中，識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題考綱要求：理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式能在具體的問(wèn)