矩陣與數(shù)值分析學(xué)習(xí)指導(dǎo)和典型例題分析

1、一、內(nèi)容提要本章要求掌握絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、有效數(shù)字、誤差限的定義及其相互關(guān)系；掌握數(shù)值穩(wěn)定性的概念、設(shè)計(jì)函數(shù)計(jì)算時(shí)的一些基本原則和誤差分析；熟練掌握向量和矩陣范數(shù)的定義及其性質(zhì)。1誤差的基本概念和有效數(shù)字1）絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的基本概念設(shè)實(shí)數(shù)為某個(gè)精確值，為它的一個(gè)近似值，則稱為近似值的絕對(duì)誤差，簡稱為誤差 當(dāng)時(shí)，稱為的相對(duì)誤差在實(shí)際運(yùn)算中，精確值往往是未知的，所以常把作為的相對(duì)誤差2）絕對(duì)誤差界和相對(duì)誤差界的基本概念設(shè)實(shí)數(shù)為某個(gè)精確值，為它的一個(gè)近似值，如果有常數(shù)，使得稱為的絕對(duì)誤差界，或簡稱為誤差界稱是的相對(duì)誤差界此例計(jì)算中不難發(fā)現(xiàn)，絕對(duì)誤差界和相對(duì)誤差界并不是唯一的，但是它們?cè)叫?，說明

2、近似的程度越好，即的精度越好3）有效數(shù)字設(shè)實(shí)數(shù)為某個(gè)精確值，為它的一個(gè)近似值，寫成它可以是有限或無限小數(shù)的形式，其中是中的一個(gè)數(shù)字，為整數(shù)如果則稱為的具有位有效數(shù)字的近似值如果有位有效數(shù)字，則的相對(duì)誤差界滿足：。4）函數(shù)計(jì)算的誤差估計(jì)如果為元函數(shù)，自變量的近似值分別為，則其中，所以可以估計(jì)到函數(shù)值的誤差界，近似地有如果令，設(shè)的近似值分別為，其誤差界為和，取為之間的四則運(yùn)算，則它們的誤差估計(jì)為，；，。數(shù)相加或減時(shí)，其運(yùn)算結(jié)果的精度不會(huì)比原始數(shù)據(jù)的任何一個(gè)精度高對(duì)于兩個(gè)數(shù)作相減運(yùn)算時(shí)，由于其相對(duì)誤差界：。如果和是兩個(gè)十分接近的數(shù)，即和兩個(gè)數(shù)十分接近，上式表明計(jì)算的相對(duì)誤差會(huì)很大，導(dǎo)致計(jì)算值的有效數(shù)

3、字的位數(shù)將會(huì)很少。對(duì)于兩個(gè)數(shù)作相除運(yùn)算時(shí)，由于其相對(duì)誤差界：。從關(guān)系式中可以看出，如果很小，即很小，計(jì)算值的誤差可能很大。5）數(shù)值穩(wěn)定性的概念、設(shè)計(jì)算法時(shí)的一些基本原則 算法的數(shù)值穩(wěn)定性：一個(gè)算法在計(jì)算過程中其舍入誤差不增長稱為數(shù)值穩(wěn)定。反之，成為數(shù)值不穩(wěn)定。不穩(wěn)定的算法是不能使用的。 在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)盡量避免出現(xiàn)兩個(gè)相近的數(shù)相減。 在實(shí)際計(jì)算中應(yīng)盡力避免絕對(duì)值很小數(shù)作除數(shù)。 注意簡化運(yùn)算步驟，盡量減少運(yùn)算次數(shù)。多個(gè)數(shù)相加，應(yīng)把絕對(duì)值小的數(shù)相加后，再依次與絕對(duì)值大的數(shù)相加。2向量和矩陣范數(shù)把任何一個(gè)向量或矩陣與一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)聯(lián)系起來，在某種意義下，這個(gè)實(shí)數(shù)提供了向量和矩陣的大小的度量。對(duì)于每一個(gè)范

4、數(shù)，相應(yīng)地有一類矩陣函數(shù)，其中每一個(gè)函數(shù)都可以看作矩陣大小的一種度量。范數(shù)的主要的應(yīng)用：一、研究這些矩陣和向量的誤差估計(jì)。二、研究矩陣和向量的序列以及級(jí)數(shù)的收斂準(zhǔn)則。1）向量范數(shù)定義存在（維實(shí)向量空間）上的一個(gè)非負(fù)實(shí)值函數(shù)，記為，若該函數(shù)滿足以下三個(gè)條件：即對(duì)任意向量和以及任意常數(shù)（實(shí)數(shù)域） （1）非負(fù)性，并且的充分必要條件為; （2）齊次性； （3）三角不等式則稱函數(shù)為上的一個(gè)向量范數(shù)常用三種的向量范數(shù)設(shè)任意維向量，（為向量的轉(zhuǎn)置）， 向量的1-范數(shù)， 向量的2-范數(shù)， 向量的-范數(shù)一般情況下，對(duì)給定的任意一種向量范數(shù)，其加權(quán)的范數(shù)可以表為，其中W為對(duì)角矩陣，其對(duì)角元作為它的每一個(gè)分量的權(quán)系

5、數(shù)。向量范數(shù)的連續(xù)性定理 上的任何向量范數(shù)均為的連續(xù)函數(shù)。向量范數(shù)的等價(jià)性定理 設(shè)和為上的任意兩種向量范數(shù)，則存在兩個(gè)與向量無關(guān)的正常數(shù)c1和c2，使得下面的不等式成立，其中. 2). 矩陣范數(shù)定義 存在（維復(fù)矩陣集合）上的一個(gè)非負(fù)實(shí)值函數(shù)，記為，對(duì)任意的均滿足以下條件： （1）非負(fù)性：對(duì)任意矩陣均有，并且的充分必要條件為;（2）齊次性：，；（3）三角不等式：,；（4）相容性：, ，則稱為上的矩陣范數(shù)。我們可定義如下的矩陣范數(shù)：，矩陣的-范數(shù)，矩陣的-范數(shù)（Frobenius）范數(shù)。（矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容性定義）對(duì)于一種矩陣范數(shù)和一種向量范數(shù)，如果對(duì)任意nn矩陣和任意n維向量x, 滿足，則稱

6、矩陣范數(shù)與向量范數(shù)是相容的。3）矩陣的算子范數(shù)定理已知上的向量范數(shù)，為nn矩陣，定義則是一種矩陣范數(shù)，且與已知的向量范數(shù)相容，稱之為矩陣的算子范數(shù)。三種常用的矩陣的算子范數(shù)；(列范數(shù))(行范數(shù)) （譜范數(shù)）其中表示矩陣的最大特征值。對(duì)任何算子范數(shù)，單位矩陣的范數(shù)為1，即?？梢宰C明： 任意給定的矩陣范數(shù)必然存在與之相容的向量范數(shù)；任意給定的向量范數(shù)必然存在與之相容的矩陣范數(shù)（如從屬范數(shù)） 一個(gè)矩陣范數(shù)可以與多種向量范數(shù)相容（如矩陣范數(shù)與向量-范數(shù)相容）；多種矩陣范數(shù)可以與一個(gè)向量范數(shù)相容（如矩陣范數(shù)和矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容）。從屬范數(shù)一定與所定義的向量范數(shù)相容，但是矩陣范數(shù)與向量范數(shù)相容卻未必有

7、從屬關(guān)系。（如，與向量、與向量相容，但無從屬關(guān)系）。并非任意的矩陣范數(shù)與任意的向量范數(shù)相容。4）矩陣范數(shù)的性質(zhì) 設(shè)為矩陣空間的一種矩陣范數(shù)，則對(duì)任意的n階方陣均有 其中為方陣的譜半徑。注意：當(dāng)時(shí)，。對(duì)于任給的0, 則存在上的一種算子范數(shù)（依賴矩陣和常數(shù)），使得對(duì)于上的一種算子矩陣范數(shù)，如果且1, 則可逆且二、典型例題分析例11：下列近似值的絕對(duì)誤差限均為0.005，問它們各有幾位有效數(shù)字？，解：現(xiàn)將近似值寫成標(biāo)準(zhǔn)形式：, , ,在直接根據(jù)有效數(shù)字定義得出，即有5位有效數(shù)字；，即有1位有效數(shù)字；，即無有效數(shù)字。例12：已知的相對(duì)誤差為，求的相對(duì)誤差。解：此題要利用函數(shù)計(jì)算的誤差估計(jì)，即取，則由，

8、可推出，故的相對(duì)誤差為。例13：此為減少運(yùn)算次數(shù)達(dá)到避免誤差危害的例子利用3位算術(shù)運(yùn)算求在處的值。表中給出了傳統(tǒng)的方法的計(jì)算的中間結(jié)果。在這里我們使用了兩種取值法：截?cái)喾ê蜕崛敕?。精確值104.487 111135.323 013位數(shù)值（截?cái)喾ǎ?041353位數(shù)值（舍入法）104135精確值：3位數(shù)值（截?cái)喾ǎ?位數(shù)值（舍入法）：上述3位數(shù)值方法的相對(duì)誤差分別是，截?cái)喾?，舍入法作為另一種辦法，用秦九韶方法（嵌套法）可將寫為那么，3位數(shù)值（截?cái)喾ǎ?位數(shù)值（舍入法）：則相對(duì)誤差分別是，（截?cái)喾ǎㄉ崛敕ǎ┛梢娛褂们鼐派胤椒ǎㄇ短追ǎ┮褜⒔財(cái)嘟朴?jì)算的相對(duì)誤差減少到原方法所得相對(duì)誤差的之

9、內(nèi)。對(duì)于舍入近似計(jì)算則改進(jìn)更大，其相對(duì)誤差已減少以上。多項(xiàng)式在求值之前總應(yīng)以秦九韶方法（嵌套法）表示，原因是這種形式使得算術(shù)運(yùn)算次數(shù)最小化。本例中誤差的減小是由于算術(shù)運(yùn)算次數(shù)從4次乘法和3次加法減少到2次乘法和3次加法。減少攝入誤差的一種辦法是減少產(chǎn)生誤差的運(yùn)算的次數(shù)。例14：已知近似值，均為有效數(shù)字，試估計(jì)如下算術(shù)運(yùn)算的相對(duì)誤差。解：由已知，；。令，由函數(shù)運(yùn)算的誤差估計(jì)式+從而，相對(duì)誤差可寫成若，則絕對(duì)誤差，相對(duì)誤差為：；若，則絕對(duì)誤差，相對(duì)誤差為：；若，則絕對(duì)誤差，相對(duì)誤差為：；這個(gè)例子說明絕對(duì)誤差有較大變化時(shí)，相對(duì)誤差相同。作為精確性的度量，絕對(duì)誤差可能引起誤解，而相對(duì)誤差由于考慮到了值

10、的大小而更有意義。例15：在中用圖表示下面的點(diǎn)集，并指出它們的共同性質(zhì)。，解：這些點(diǎn)集的共同性質(zhì)是：它們都是有界、閉的、凸的，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。例16：其中表示的模此范數(shù)稱p-范數(shù)，而且，2范數(shù)為當(dāng)，2時(shí)的范數(shù)。而當(dāng)時(shí)，有。 證明：事實(shí)上，兩邊開次方得，由于，故。例17：證明為空間上向量范數(shù)。證明：（1）對(duì)任給維向量，若，則不全為零，故 （2）對(duì)任給，則（3） 對(duì)任給，則由Cauchy-Schiwatz不等式：可得, =。由向量范數(shù)的定義，為空間上的向量范數(shù)。例18設(shè)=，求、和。解：；注意到，=，令 得，從而。1 3習(xí)題1、填空題(1) 設(shè),則=5,=3,=,=及的譜半徑=3。(2) ，則=19

11、,=12,=13(3) 記，判斷如下定義在上的函數(shù)是否為上的向量范數(shù)（填是或不是）.（是）；（不是）；（不是）。(4)使的近似值的相對(duì)誤差限不超過0.1，應(yīng)取幾有效數(shù)字, =.2、證明 （1）； （2）3、設(shè) x為上任一范數(shù)，是非奇異矩陣，定義=，證明：算子范數(shù)=。4、設(shè)為階非奇異矩陣，為階酉矩陣.證明：(1) ； (2) 5、已知，問以下近似值有幾位有效數(shù)字，相對(duì)誤差是多少？（1）, （2），（3）, （4）.6、給定方程，利用，求精確到五位有效數(shù)字的根。并求兩個(gè)根的絕對(duì)誤差界和相對(duì)誤差界。7. 在五位十進(jìn)制計(jì)算機(jī)上求， 的和，使精度達(dá)到最高，其中。8. 在六位十進(jìn)制的限制下，分別用等價(jià)的公

12、式（1） ； （2）計(jì)算的近似值，近似值分別為多少？求對(duì)數(shù)時(shí)相對(duì)誤差有多大？9. 若用下列兩種方法（1）， （2），計(jì)算的近似值，問那種方法能提供較好的近似值？請(qǐng)分析原因。10. 計(jì)算，取，直接計(jì)算f和利用下述等式；計(jì)算，那一個(gè)最好？11. 如何計(jì)算下列函數(shù)值才比較準(zhǔn)確。 （1）； （2）；（3）充分大； （4）。1.4習(xí)題解答 1、解（1）有定義，= 3,= 5,=,=及= 3。(2) ，則= 19,= 12,= 13。(3)（是）；為給定向量1-范數(shù)的加權(quán)的范數(shù)，其中取對(duì)角矩陣，。（不是）；不滿足向量范數(shù)性質(zhì)1；（不是）；不滿足向量范數(shù)性質(zhì)1。(4) =。因，要是得相對(duì)誤差限不超過，即，則

13、時(shí)，有。2、只就（2）證明 ，由定義可得，從而，。3、首先，證明是一向量范數(shù)。事實(shí)上，1）因是非奇異矩陣，故，故時(shí)，且當(dāng)時(shí)，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，=0成立；2）對(duì)，；3）。故是一向量范數(shù)。再，令，因非奇異，故與為一對(duì)一，于是4、證明：(1)，由算子范數(shù)的定義；證明：(2)，。此結(jié)論表明酉陣具有保2-范數(shù)的不變性。5、解：（1）由于，由有效數(shù)字定義可知，有2位有效數(shù)字；又，再由相對(duì)誤差界的公式，；（2）由于，由有效數(shù)字定義可知，有4位有效數(shù)字；又，再由相對(duì)誤差界的公式，；（3）由于，由有效數(shù)字定義可知，有2位有效數(shù)字；又，再由相對(duì)誤差界的公式，；（4）由于，由有效數(shù)字定義可知，有4位有效數(shù)字；又，再

14、由相對(duì)誤差界的公式，。6、給定方程，利用，求精確到五位有效數(shù)字的根。并求兩個(gè)根的絕對(duì)誤差界和相對(duì)誤差界。解：由二次方程求根公式知，。若利用，則近似根具有5位有效數(shù)字，而，只有2位有效數(shù)字。若改用則此方程的兩個(gè)近似根，均具有5位有效數(shù)字。它們的絕對(duì)誤差界和相對(duì)誤差界分別為：；。7，其中，計(jì)算機(jī)作加減法時(shí)，先將相加數(shù)階碼對(duì)齊，根據(jù)字長舍入，則與和在計(jì)算機(jī)上做和時(shí)，由于階碼升為5位尾數(shù)左移變成機(jī)器零，這便說明用小數(shù)做除數(shù)或用大數(shù)做乘數(shù)時(shí)，容易產(chǎn)生大的舍入誤差，應(yīng)盡量避免若改變運(yùn)算次序，先把相加，相加。再與相加。即8分析：由于，求的值應(yīng)看成復(fù)合函數(shù)。先令，由于開方用六位函數(shù)表，則的誤差為已知，故應(yīng)看成，由的誤差限求的誤差限。解：當(dāng)時(shí)求，用六位開方表得，其具有3位有效數(shù)字。故。由，得，故。于是，。 若用公式，令，此時(shí)，則，其具有6位有效數(shù)字。故。而