線代習題及答案

1、例11設A是m×n矩陣，r(A)=r則方程組AX = b (A)在r=m時有解. (B)在m=n時有唯一解.(C)在r<n時有無窮多解.(D)在r=n時有唯一解. (B) A是n×n矩陣，缺A可逆的條件.(C) 缺r(A)=r(A|b)的條件.(D) 缺r(A)=r(A|b)的條件.(A) m=r(A)£r(A|b)£m,則m=r(A)=r(A|b)=m.例14的一個基礎解系為(A)(0,-1,0,2)T. (B) (0,-1,0,2)T, (0,1/2,0,1)T.(C) (1,0,-1,0)T,(-2,0,2,0)T.(D) (0,-1,0,2

2、)T, (1,0,-1,0)T.例13當A=( )時，(0，1，-1)和(1，0，2)構成齊次方程組AX=0的基礎解系 (92)(A) . (B). (C) (D). 例15 已知(1,a,2)T,(-1,4,b)T構成次線性方程組的一個基礎解系,求a,b,s,t.方法一：把兩個解(1,a,2)T和(-1,4,b)T代入方程得 解出abst212-1-4-28方法二：s=2，n=3，則r(A)=1 于是 S=2,t=-1 例 AX=0和BX=0都是n元方程組，判斷下列斷言的正確性.(1)AX=0和BX=0同解Þ r(A)=r(B).(2)r(A)=r(B)Þ AX=0和BX

3、=0同解.(3) AX=0的解都是BX=0的解Þ r(A)£r(B). (4) AX=0的解都是BX=0的解Þ r(A)³r(B). (5) r(A)³r(B)Þ AX=0的解都是BX=0的解.AX=0的解都是BX=0的解ÞJ AÌJBÞ.r(JA)£r(JB)即n-r(A)£n-r(B).推論 如果AB=0,n為A的列數(shù)(B的行數(shù)),則r(A)+r(B)£n.證記B=(b1, b2,¼, bs),則AB=(Ab1, Ab2,¼, Abs)，于是AB=0&

4、#219;Abi=0,i=1,2,¼ ,s,即每個bi都是齊次方程組AX=0b1, b2,¼, bs是J的部分組。則r(B)= r(b1, b2,¼, bs)£ r(J)=n-r(A),即r(A)+r(B)£n.例1求此齊次方程組的一個基礎解系和通解. A=取定自由未知量寫出同解方程組對自由未知量賦值（輪流地取值1），得基礎解系 寫出通解：任意2007考題已知方程組和 x1+2x2+x3=a-1有公共解,求a和全部公共解.有公共解聯(lián)立方程組有解當a=1時，有公共解當a=2時，有公共解當a1，2時，無公共解當a=1時，聯(lián)立方程組是齊次方程組，有非

5、零解，基礎解系：通解（即公共解的一般形式）：，任意a=2時，唯一解：求出解為：(0,1,-1)T例16 線性方程組的通解可以表示為 (A) (1,-1,0,0)T+c(0,1,-1,0)T, c任意. (B) (0,1,1,1)T+c1(0,-2,2,0)T+c2(0,1,-1,0)T, c1,c2任意.(C) (1,-2,1,0)T+c1(-1,2,1,1)T+c2(0,1,-1,0)T, c1,c2任意. (D) (1,-1,0,0)T+c1(1,-2,1,0)T+c2(0,1,-1,0)T, c1,c2任意.例12 設x1，x2是非齊次方程組AX=b的兩個不同的解,h1,h2為它的導出組

6、AX=0的一個基礎解系，則它的通解為（）(A)k1h1+k2h2+（x1-x2）/2. (B)k1h1+k2（h1-h2）+（x1+x2）/2.(C) k1h1+k2（x1-x2）+（x1-x2）/2. (D) k1h1+k2（x1-x2）+（x1+x2）/2.2009年考題， 求滿足Aa2=a1和A2a3=a1的所有向量 a2和a3. 證明：在滿足的情況下，任意一對a2和a3與a1放在一起線性無關 即求AX=a1和A2X=a1的通解解 AX=a1：同解方程組：令求得特解AX=0的同解方程組：基礎解系由構成的一般形式為，c任意A2X=a1：同解方程組 求出特解A2X=0的同解方程組 基礎解系

7、的一般形式：，任意例4 線性方程組的增廣矩陣為，又已知(1,-1,1,-1)T是它的一個解.(1) 用導出組的基礎解系表示通解.(2) 寫出滿足x2=x3的全部解.(04四)以(1,-1,1,-1)T代入，得a=b(1) 已有了特解，只用再求AX=0的基礎解系 當時得AX=0的同解方程組求出基礎解系：和通解為 ，任意 當時得AX=0的同解方程組求出基礎解系：通解為 ，任意(2) 從原方程中找出滿足的解時： 即，得通解：當時即 得唯一解：例29 已知線性方程組有3個線性無關的解. 證明此方程組的系數(shù)矩陣A的秩為2. 求a,b的值和方程組的通解. 顯然 設是此方程組的3個線性無關的解，則是AX=0

8、的兩個線性無關的解，于是即得由得，求出得同解方程組令，得一特解AX=0的同解方程組為求出基礎解系，通解為，任意例6 已知x1=(0,1,0)T和x2=(-3,2,2)T都是方程組的解,求通解.例8 設矩陣,其中線性無關, 又設，求的通解.(02一，二)做法一：設定 和 ，滿足條件，再求解做法二：即由得特解x0=(1,1, 1, 1)T,由即，得(1,-2, 1, 0)TAX=0的一個解，構成基礎解系通解：(1,1, 1, 1)T+c(1,-2, 1, 0)T，c任意例10已知3階矩陣A的第一行為(a,b,c),a,b,c不全為0,矩陣 ,并且, 求齊次線性方程組的通解. (2005) 由得，）

9、的3個列向量都是的解，則(1,2,3)T和(3,6,k)T 構成基礎解系（注：(1,2,0)T和(0,0,1)T也構成基礎解系！由于(3,6,k)T3(1,2,3)T(0,0,k-9)T是解，故(0,0,1)T也是解(1,2,0)T(1,2,3)T3(0,0,1)T也是解），則，得，則，(1,2,3)T是基礎解系則與同解(b,-a,0)T,(c,0,-a)T都是解，取其中非零解與(1,2,3)T構成基礎解系（注：因為(1,2,3)T是解， a+2b+3c=0,a,b,c中不能有兩個為0所以(b,-a,0)T，(c,0,-a)T都非零解）問題：是否可以用(b,-a,0)T,(c,0,-a)T構成

10、基礎解系答案：可能有危險第四講 向量組的線性關系與秩例 下列各選項中哪個成立,哪個不成立?(A) 如果b®a1,a2,as,則對任意數(shù)c, cb®a1,a2,as.(B) 如果存在c,使得 cb®a1,a2,as,則b®a1,a2,as.(C) 如果b®a1,a2,as, g®a1,a2,as,則b+g®a1,a2,as.(D) 如果b®a1,a2,as, g®a1,a2,as, 則b+g®a1,a2,as.如果b®a1,a2,as, g®a1,a2,as,問題：b+g a1

11、,a2,as.答: b+g®a1,a2,as.例14已知b可用a1,a2,as線性表示，但不可用a1,a2,as-1線性表示證明as不可用a1,a2,as-1線性表示；as可用a1,a2,as-1,b線性表示 （2） 解：設（1）用反證法 如果則例15 a1,a2,a3,b線性無關,而a1,a2,a3,g線性相關,則(A) a1,a2,a3,cb+g線性相關.(B) a1,a2,a3,cb+g線性無關.(C) a1,a2,a3,b+cg線性相關.(D) a1,a2,a3,b+cg線性無關.2009年的一個題中: a1¹0, Aa1=0, Aa2=a1, A2a2=a1, 證

12、明a1,a2, a3線性無關. (看題解) 證明：A 是3階矩陣，是3維非零列向量，使得，又 滿足， ，證明線性無關。證：方法一（用定義法）設 （1），即，得 （1）化為A（1）：，得 （1）化為 ，得方法二：，無關（否則 ，）所以 線性無關又 （否則，例14已知b可用a1,a2,as線性表示，但不可用a1,a2,as-1線性表示證明as不可用a1,a2,as-1線性表示；as可用a1,a2,as-1,b線性表示Û r(a1,a2,as-1,as,b)=r(a1,a2,as-1,as).Û r(a1,a2,as-1,b)=r(a1,a2,as-1)+1.例15中的向量組的秩

13、:®®r(a1,a2, a3,a4,a5)=3.例2 已知(2,1,1,1),(2,1,a,a),(3,2,1,a),(4,3,2,1)線性相關,并且a¹1,求a. (05)秩<4 得 1-2a=0 a=例3設a1=(1+a,1,1)，a2=(1,1+b,1)，a3=(1,1,1-b)，問a,b滿足什么條件時r(a1,a2,a3)=2?1) 若 b=0 時秩）時秩為例4設a1=(1+，1，1)，a2=(1，1+，1)，a3=(1，1，1+)，b=(0，,2)為何值時，b可用a1，a2，a3線性表示，并且表示方式唯一？為何值時，b可用a1，a2，a3線性表示，

14、并且表示方式不唯一？為何值時，b不可用a1，a2，a3線性表示？ 當時，,當時，當，例7 設a1=(1,2,-3)，a2=(3,0,1)，a3=(9,6,-7)，b1=(0,1,-1)，b2=(a,2,1)，b3=(b，1，0)已知r(a1,a2,a3)=r(b1,b2,b3),并且b3可用a1,a2,a3線性表示，求a,b.(00二)思路：先用這個條件求出b則例6設a1=(1,2,0,1),a2=(1,1,-1,0),a3=(0,1,a,1),g1=(1,0,1,0),g2=(0,1,0,2).a 和k取什么值時, g1+kg2可用a1,a2,a3線性表示?寫出表示式.解：得k= -1，例1

15、0 設 a1=(1+a,1,1,1),a2=(2,2+a,2,2), a3=(3,3,3+a,3), a4=(4,4,4,4+a).問a為什么數(shù)時a1,a2,a3,a4線性相關?在a1,a2,a3,a4線性相關時求其一個極大線性無關組,并且把其余向量用該極大線性無關組線性表出.解：顯然 a=0時，線性相關，并且秩為1可得為極大無關組，若則當時，線性相關，秩為3，取為極大無關組，例11設 a1=(1,-1,2,4),a2=(0,3,1,2),a3=(3,0,7,14),a4=(1,-2,2,0),a5=(2,1,5,10).它們的下列部分組中,是極大無關組的有哪幾個?(1) a1,a2,a3.

16、(2) a1,a2,a4. (3) a1,a2,a5. (4) a1,a3,a4.解：®®a1a2a3a4a5b1b2b3b4b5g1g2g3g4g5 是極大無關組的有（2），（4）例28 設A是m´n矩陣，證明r(A)=1Û存在m維非零列向量a=(a1,a2,，a m)T和n維非零列向量b=(b1,b2,bn)T，使得A=ab T.證明： 設，其中.則 得設，由得中的每個非零向量構成極大無關組。此時，每個，證，證，則 08年的一個考題 設a,b都是3為列向量, A=aaT+bb T. 證明 (1) r(A)£2. (2) 如果a,b現(xiàn)性相關,

17、則r(A)<2.方法一（1） （2）不妨設，則則方法二：設A=（1）（2）相關時 所以例18 n階矩陣A=的秩為n-1,求a.(98三)，時，時，時，例19 設A= ,已知r(A)+r(A*)=3,求a,b應該滿足的關系.(03三)解：，且時 例21 3階矩陣A= ，B= ，已知r(AB)小于r(A)和r(B),求a,b和r(AB).，于是 求出或例25設A是m´n矩陣, B是n´m矩陣, 則( )(A)當m>n時, |AB |¹0. (B) 當m>n 時, |AB |=0.(C) 當n>m 時, |AB|¹0.(D) 當n>

18、;m 時, |AB |=0. (99)是m階矩陣，問時：， 選（B）時 例26AB =0, A,B是兩個非零矩陣,則(A)A的列向量組線性相關.B的行向量組線性相關.(B) A的列向量組線性相關.B的列向量組線性相關.(C) A的行向量組線性相關.B的行向量組線性相關. (D) A的行向量組線性相關.B的列向量組線性相關. (04)AB =0,則r(A)+r(B)£n,n為A的列數(shù),B的行數(shù).又r(A)>0,r(B)>0,得r(A)< n,r(B)<n.例16 已知n維向量組a1,a2,as線性無關,則n維向量組b1, b2, bs 也線性無關的充分必要條件為

19、(A) a1,a2,as 可用b1, b2, bs線性表示.(B) b1, b2, bs可用a1,a2,as線性表示.(C) a1,a2,as 與b1, b2, bs等價.(D) 矩陣(a1,a2,as )和(b1, b2, bs)等價.解：矩陣等價，即可用初等變換互化 A與B等價A與B行，列數(shù)對應相等，且（A） 是充分條件，不必要（B） 既不充分，又不必要（C） 是充分條件，不必要選（D）矩陣的等價 兩個矩陣如果可以用初等變換互相轉(zhuǎn)化,就稱它們等價. 矩陣的等價的充分必要條件為它們類型相同,秩相等.例17 設a1,a2,as 都是n維向量，A是m´n矩陣，下列選項中正確的是（ ）.(A) 若a1,a2,as線性相關,則Aa1,Aa2,Aas線性相關.(B) 若a1,a2,as線性相關,則Aa1,Aa2,Aas線性無關.(C) 若a1,a2,as線性無關,則Aa1,Aa2,Aas線性相關.(D) 若a1,a2,as線性無關,則Aa1,Aa2,Aas線性無關. (06)設c1,c2,cs不全為0使得 c1a1+c2a2+csas=0,則c1Aa1+c2Aa2+