基于二胎政策影響的數(shù)學模型

1、摘要本文通過對我國近年來人口數(shù)據(jù)，采用logistic模型與Leslie模型，建立了預測未來中國在現(xiàn)有政策下，單獨二胎政策下，放開二胎政策下人口增長的模型，以及單獨二胎政策對江蘇人口、經(jīng)濟、教育、住宅方面的影響，通過上述模型，分析人口增長的高峰問題。問題1:預測2060年我國人口數(shù)及人口結(jié)構(gòu)、以及老齡化程度.建立logistic人口阻滯增長模型，利用1954年到2012年總?cè)丝跀?shù)進行擬合，再進行預測，將預測值與國家統(tǒng)計局數(shù)據(jù)進行比較，發(fā)現(xiàn)建立的模型預測效果良好。，運用該曲線預測2060年總?cè)丝跒?616599999。人口結(jié)構(gòu)以及老齡化程度采用Leeslie模型進行，使用國家統(tǒng)計局給出的2000

2、年的有關(guān)數(shù)據(jù)，構(gòu)造Leslie矩陣。以每5年為一個年齡段，首先預測2001至2060年各年段人數(shù)，再用預測得到數(shù)據(jù)進行分析，在以0至20為幼齡期，21至65為中青年期，65以上為老年期分別統(tǒng)計人數(shù)，然后對其人口數(shù)發(fā)展情況進行分析，得出幼年期：85374879人，中青年期：403771512人，老年期：627862149人.對于老齡化程度問題，由以上數(shù)據(jù)看出老年人所占比重為，十分驚人。還可得出老年人數(shù)增長曲線，通過預測可以看出人口老齡化已經(jīng)成為刻不容緩的問題，亟需出臺相關(guān)政策調(diào)節(jié)人口結(jié)構(gòu)，這也是開放二胎的重要原因。問題2:建立相應的數(shù)學模型闡明“單獨二胎”對江蘇人口、經(jīng)濟、住宅、教育等)的影響。

3、9采用Leslie改良模型：x(t1)Ax(t),(t)i4b。仍以國家統(tǒng)計局給出的2010年江蘇省的有關(guān)數(shù)據(jù)，構(gòu)造Leslie,同樣以5年為一個年齡段建立矩陣At。通過改變控制變量3t的值到達擬合單獨二胎政策的目的，從而求出之后60年江蘇人口變化，人口紅利的變化。在建立平均值模型，分別評估對教育、住宅的影響。即教育資源以在校人數(shù)多少來衡量，分別從教育網(wǎng)上查到2003年至2007年各階段教育的在校人數(shù)，求出平均值，以此為標準，即假設江蘇省教育資源穩(wěn)定在這一水平。在用改良的Leslie模型計算出各個對應年齡層的人數(shù)，用上面的標準比上對應的人數(shù)，值越小，則這個階段的教育資源越緊張，也就需要更多投入

4、，即對教育的影響。關(guān)于住宅，通過查找資料，得到江蘇2004年至2011年住宅總面積，根據(jù)這幾組數(shù)據(jù)，擬合出住宅面積變化的曲線，并對之后住房面積進行預測，再用該面積比上對應年分的人數(shù)，即得那一年的人均住宅面積，比上小康水平30itf人，即得住宅影響因數(shù)。通過這個數(shù)據(jù)評估對住宅的影響。問題3:評估我國有沒有必要完全放開二胎政策的必要？如果有必要完全放開二胎政策，請預測何時放開二胎政策比較合適。依然采用問題2的模型，根據(jù)國家統(tǒng)計局2010年給出的數(shù)據(jù)，構(gòu)造Leslie矩陣，采用改良模型，使用單獨二胎政策時，改變3的值進行預測，然后從人口結(jié)構(gòu)的角度進行評估，即考慮人口老齡化，人口紅利，以及撫養(yǎng)比，同時

5、也預測出完全放開二胎的情況。將以上兩組數(shù)據(jù)進行比較，得出是否需要開放二胎，同時與標準值相比較，推測出何時開放比較合適。關(guān)鍵詞：logistic人口模型Leslie人口模型人口增長預測單獨二胎1.問題重述隨著社會經(jīng)濟的進一步發(fā)展，我國人口面臨新的問題：一方面，人口紅利消失、臨近超低生育率水平、人口老齡化、出生性別比失調(diào)等等，要求我們需要放開計劃生育的約束；另一方面，過快增長的人口對于住房、教育、環(huán)境資源等又來來更多的壓力。2011月15日,中共中央關(guān)于全面深化改革開放假設干重大問題的決定終于出臺了。決定中關(guān)于逐步放開二胎的政策引起了人們的熱議。目前，根據(jù)決定中的政策，許多省份已經(jīng)逐漸放開了計劃生

6、育的約束，開始實行單獨二胎”政策，即夫妻雙方有一方為獨生子女，就允許生第二胎。試請建立數(shù)學模型，解決以下問題：1、查閱相關(guān)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學模型，預測2060年我國人口數(shù)及人口結(jié)構(gòu)、以及老齡化程度。2、江蘇省單獨二胎政策于2014年3月28日起正式施行。查閱相關(guān)數(shù)據(jù)，根據(jù)江蘇的實際情況，建立合理的評價體系，并建立相應的數(shù)學模型闡明“單獨二胎”對江蘇人口、經(jīng)濟、住宅、教育，醫(yī)療衛(wèi)生等的影響。3、評估我國有沒有必要完全放開二胎政策的必要？如果有必要完全放開二胎政策，請預測何時放開二胎政策比較合適。2、問題分析問題1.預測2060年我國人口數(shù)，人口結(jié)構(gòu)以及老齡化程度。本文分別用logistic模型與Le

7、slie模型進行預測，然后與實際值相比較，同日兩組數(shù)據(jù)也相互比較。會發(fā)現(xiàn)logistic模型對人口數(shù)目預測較準確，而無法得出人口結(jié)構(gòu)以及老齡化程度。Leslie對人口預測偏差較大，而可以預測人口結(jié)構(gòu)，故可分別取其結(jié)果，進行預測分析。問題2.建立相應的數(shù)學模型闡明“單獨二胎”對江蘇人口、經(jīng)濟、住宅、教育等）的影響。首先是建立合理的模型來預測“單獨二胎”政策后江蘇人口變化，本文采用Leslie的改良模型進行預測，假設嚴格執(zhí)行生育政策，通過改變其中的參數(shù)即可到達合理預測，且預測結(jié)果與預期相符。然后根據(jù)人口結(jié)構(gòu)，通過人口紅利可反映對經(jīng)濟的影響?！皢为毝ァ睂ψ》俊⒔逃挠绊懕举|(zhì)上是人口變化帶來的影響。

8、于是采用人均模型進行評估。其中教育資源采用在校人數(shù)描述，在用該在校人數(shù)除以對應年齡人數(shù)表示人均教育資源占有率，住宅采用人均住宅面積表示，并引入影響度概念，通過以上兩個影響度描述影響。問題3.評估我國有沒有必要完全放開二胎政策的必要？如果有必要完全放開二胎政策，請預測何時放開二胎政策比較合適。先假設沒必要，即采用問題2中的模型預測全國未來50年的人口變化，得出人口結(jié)構(gòu)分布，然后通過撫養(yǎng)比，老齡化人口比例，人口紅利進行評估，是否為有利于社會發(fā)展的人口結(jié)構(gòu)。假設有必要在計算完全二胎情況下，預測全國未來50年的人口變化，人口結(jié)構(gòu)分布，以及撫養(yǎng)比，老齡化人口比例，人口紅利，再選擇開放二胎的時間，計算以上

9、比例并作出圖像，與合適的比例相比較，最終確定合適的開放時間，使各項指標穩(wěn)定在合適范圍內(nèi)的時間更長。三、問題假設1、在預測人口模型中，假設不考慮與境外的遷入遷出問題。2、假設在預測的過程中不發(fā)生人數(shù)驟減的情況。3、假設生育率、死亡率和男女性別比例不隨人口流動而變化。4、假設查得的數(shù)據(jù)真實有效。5、在構(gòu)造Leslie矩陣，設置3t時，假設嚴格執(zhí)行生育政策，且執(zhí)行二胎前，均滿足單獨二胎政策。即有一方為獨生子女。四、名詞解釋及符號說明人口紅利：是指一個國家的勞動年齡人口占總?cè)丝诒戎剌^大，撫養(yǎng)率比較低，為經(jīng)濟發(fā)展創(chuàng)造了有利的人口條件，整個國家的經(jīng)濟成高儲蓄、高投資和高增長的局面。生育率：指不同時期，不同

10、地區(qū)婦女或育齡婦女的實際生育水平或生育子女的數(shù)量。人口撫養(yǎng)比：人口撫養(yǎng)比是指總?cè)丝谥蟹莿趧幽挲g人數(shù)與勞動年齡人數(shù)之比，以百分數(shù)表示。生育率：bi死亡率：di生存率：si總和生育率：B五、模型建立及求解一、問題1阻滯增長模型Logistic模型阻滯增長模型的原理：阻滯增長模型是考慮到自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增長的阻作用，對指數(shù)增長模型的基本假設進行修改后得到的。阻滯作用表達在對人口增長率r的影響上，使得r隨著人口數(shù)量x的增加而下降。表示為x的函數(shù)rx)。則它應是減函數(shù)。于是有dxrx(1)1dtNX(0)X0對r(x)的一個最簡單的假定是，設r(x)為x的線性函數(shù)，2r(x)rsx(r0,

11、s0)設自然資 源和環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)量為xm時人口不再增長，即增長 率r(xm)0,代入2式得s，于是2式為r(x)r (1-) xm3學習文檔僅供參考將3代入方程1得：dxx45rx(1)dtxmx(0)x0x一解方程4得x(t)m1(國1)ex。二、模型的建立為了對以后一定時期內(nèi)的人口數(shù)做出預測，我們首先從中國經(jīng)濟統(tǒng)計數(shù)據(jù)上查到我國從1954年到2005年全國總?cè)丝诘臄?shù)據(jù)如表1。表1各年份全國總?cè)丝跀?shù)單位：千萬年份總?cè)丝?95419551956195719581959196019611962年份總?cè)丝?96319641965196619671968196919701971年份總

12、人口197219731974197519761977197819791980年份總?cè)丝?98119821983198419851986198719881989年份總?cè)丝?99019911992199319941995199619971998年份總?cè)丝?9992000200120022003200420051、將1954年看成初始時刻即t0,則1955為t1,以次類推，以2005年為t51作為終時刻。用函數(shù)5對表1中的數(shù)據(jù)進行非線性擬合，運用Matlab編程程序見附錄1得到相關(guān)的參數(shù)，：xm1809870737r0.0336.所以得到中國各年份人口變化趨勢的擬合曲線：x(t)1808987073

13、7180.9871上圖點為實際統(tǒng)計情況，圖線為擬合曲線，由60.20.03361)e圖可得曲線擬合程度良好。該公式計算得x(2060)16165999996模型R:按年齡分布的Leslie模型一、模型的準備將人口按年齡大小等間隔地劃分成m個年齡組譬如每10歲一組，模型要討論在不同時間人口的年齡分布，對時間也加以離散化，其單位與年齡組的間隔相同。時間離散化為t0,1,2.設在時間段t第i年齡組的人口總數(shù)為ni(t),i1,2,m，定義向量n(t)n1(t),n2(t),nm(t)T，模型要研究的是女性的人口分布n隨t的變化規(guī)律，從而進一步研究總?cè)丝跀?shù)等指標的變化規(guī)律。設第i年齡組的生育率為bi，

14、即bi是單位時間第i年齡組的每個女性平均生育女兒的人數(shù)；第i年齡組的死亡率為di,即di是單位時間第i年齡組女性死亡人數(shù)與總?cè)藬?shù)之比，Si1di稱為存活率。設、si不隨時間t變化，根據(jù)brsi和n)的定義寫出口與口。1)應滿足關(guān)系：在9式中我們假設D中已經(jīng)扣除嬰兒死亡率，即扣除了在時段t以后出生而活不到t1的那些嬰兒。假設記矩陣b1b2bm1bms100L0s21000sm10則9式可寫作n(t1)Ln(t)11當L、n(0)已知時，對任意的t1,2,有n(t)Ltn(0)12只要我們求出Leslie矩陣L并根據(jù)人口分布的初始向量n(0)，我們就可以求出t時段的人口分布向量n(t)。二模型建立

15、以2000年為初始年份對以后各年的女性總數(shù)及總?cè)丝跀?shù)進行預測，根據(jù)國家統(tǒng)計局所給數(shù)據(jù)，以5歲為間距對女性分組，這樣0至99歲就分了20個組。從附錄(1)中可以的得到每組的生育率b1、b2、b3b20，通過每組的死亡率di計算存活率s1、s2、s3s19.即si=1-di。得到每組女性的生育率與死亡率后，就可以得到Leslie矩陣。在用2000年的數(shù)據(jù)構(gòu)建初始矩陣n(2000)見附錄1由n(2060)L12n(2000)即可算出2060年總?cè)藬?shù)，以及人口結(jié)構(gòu)分布。得n(2060)=15825603，19204454，23651667，26693155，27002566，27479799，3205

16、0907，41839312，53174783，55446271，50946852，52921417，62909605，96557588，117806898，95063083，83511245，92788697，85706791，5642784其中65歲以上的為老年人，則老年人比例為：38.8%由該比例可知2060年人口老齡化將會十分嚴重。2、問題二關(guān)于單獨二胎影響，將先建立模型預測出人口變化，人口結(jié)構(gòu)，在建立模型來評估人口變化對教育，住宅的影響。按年齡分布的Leslie改良模型。1人口預測1模型準備與Leslie模型主體部分相同，不在贅述，引入?yún)?shù)BK，來說明單獨二胎政10策與完全二胎政策帶來

17、的生育率變化。定義(k)4bi(k),通過Bk來表達單獨二胎政策。2模型建立因2014年未有可信的數(shù)據(jù)，故以最近的一次人口普查數(shù)據(jù)為準，根據(jù)國家統(tǒng)計局網(wǎng)站第六次人口普查2010年數(shù)據(jù)，以該年為初始年份對以后各年女性總數(shù)及總?cè)丝跀?shù)進行預測，仍以5年為間距對女性分組，將其分為20組，從附錄2中得到每組生育率b1,b2,b3b19,計算出每組存活率s1,s2,s3s19。10其中(k)4bi(k)，以15至49周歲為女性的育齡，故i=4，到第10組為止，通過控制Bk的值，來調(diào)控人口數(shù)量，實現(xiàn)單獨二胎模型的建立。假設嚴格執(zhí)行生育政策，獨立二胎開放時，所有家庭均滿足生二胎的條件，則Bk)的值較之前嚴格一

18、胎制應翻倍。即b4,b5b10均翻倍。這樣持續(xù)15年，在該生育率下計算完前3組人口，即得到2015,2020,2025年的人口后，Bk的值便會發(fā)生改變。因為開放二胎后的第一代進入育齡期，而這批后代不再是獨生子女，即只能生一個。這也是在嚴格執(zhí)行政策下得出的。則可得(2030)b42(b5b6b7b8b9b10)，同理可得下一個5年(2035)b,b520b7bsb,0。)依次類推，可得出B2040,B2045、B2050、B2055、02060的值，可發(fā)現(xiàn)2060年又回到了嚴格執(zhí)行一胎制時的情況。接著2065年又會與2030年相同，如此循環(huán)。運用matlab程序，代入2010年數(shù)據(jù)，這樣得到從2

19、015年至2060的人口變化以及人口結(jié)構(gòu)分布，見附錄2。以下為江蘇依照該模型，執(zhí)行嚴格二胎后的人數(shù)變化曲線。具體數(shù)據(jù)見附錄學習文檔 僅供參考年份t由圖像和數(shù)據(jù)可知，執(zhí)行二胎在2010至2020后人口數(shù)增長明顯，從2020年至2040增長緩慢，到2040年到達峰值，在從2040年開始下降。分析認為是單獨二胎政策帶來了人口增長率的減少，從2060后人口增長率變?yōu)榱?010年的初始狀態(tài)。070G022010202 口20G 甘2040205020602070髭悌t藍色為年齡(1-19, 3紅色為年齡(2OE4) ,爆色為年齡 0.35 4 3 O.0,O.£仁匿靄時0J學習文檔僅供參考由圖

20、像與數(shù)據(jù)可知，單獨二胎后，幼年期比例先增大后減少，中青年比例持續(xù)減少，老齡人比例持續(xù)上升，說明江蘇省在單獨二胎的情況下老齡化程度會持續(xù)加深。而其他年齡層人數(shù)比例持續(xù)減少2對江蘇經(jīng)濟的影響經(jīng)濟增長源于多種因素，少兒撫養(yǎng)比例下降，總?cè)丝谥羞m齡勞動人口比重上開，而老年人口比例到達較高水平之前形成的一個勞動力資源相對豐富的時期。根據(jù)人口紅利的定義，就通過用江蘇省勞動人口占總?cè)丝诒壤淖兓硎救丝诩t利的變化，確定人口紅利的變化趨勢。由以上預測，得出江蘇省人口紅利變化圖:由上圖可知人口紅利呈下降趨勢，在50年后穩(wěn)定，勢必會對江蘇經(jīng)濟帶來負面影響。3對關(guān)于教育住宅的影響評估本文認為人口對社會資源的影響主要靠

21、人均水平來衡量，同時人均水平會有一個標準值來衡量是否處于合適范圍?；谏鲜鏊伎冀⑵骄的Ｐ?。設總資源為st，人均量為wt，人數(shù)為rt，標準為kO,w(t)s(t)r(t),nwt),其中n定義為該資源的影響度。通過n值來反映ko人口對該社會資源的影響。通過查閱資料，分別從教育網(wǎng)上查到2003年至2007年各階段教育的在校人數(shù)，求出平均值，即假設江蘇省教育資源穩(wěn)定在這一水平。在用該平均值比上2010年的對應人口見附錄3，設該比值為k0,定義ki為教育資源平均占有率。同樣用預測出的數(shù)據(jù)計算其他年份的K值，比上k0,設比值為n,定義為教育影響度。比較與1的大小，假設小于1則說明二胎使該教育資源相對

22、緊張，大于1說明教育資源相對寬裕。其中我們將江蘇教育資源劃分為學前教育，義務教育，中等教育，高等教育，對應的年齡段分別為0至4歲、5至14歲、15至19歲、20至30歲。.然后使用matlab進行矩陣運算，分別計算出2015年、2020年、2025年、2030年直至2060年各教育階段的m值，m值表見附錄，并畫出四條n值曲線。藍色為學前教官f史伊為義務教盲5者定為中等教盲，球色的高等載言由上圖可以看出執(zhí)行二胎后，高等教育，中等教育在2010年至2025年n值上升且大于1,在25年到達峰值。則說明中高等教育資源相對較寬裕，對該階段教育資源壓力持續(xù)減少。而義務教育與學前教育n值下降且小于1,在25

23、年到達最低值。則該兩個階段資源相對緊張，對該階段教育資源的壓力持續(xù)增大，在25那年到達最大。從2025年起，高等教育與中等教育n值下降，分別在35年與40年到達最低值，在上升。義務教育與學前教育持續(xù)上升，雖然其中稍有波動。這些變化均來自人口結(jié)構(gòu)的改變，人口峰值流動的影響。關(guān)于住宅也用相同的方法引入人均住宅面積w,住房影響度n,n=人均住宅面積30,其中301rfx人為小康水平，n值越大則說明住房需求相對寬裕，n越小則相對緊張。通過查找資料，得到江蘇2004年至2011年住宅總面積附錄3，根據(jù)這幾組數(shù)據(jù)，擬合出住宅面積變化的曲線，并對之后住房面積進行預測，再用該面積比上對應年分的人數(shù)，即得那一年

24、的人均住宅面積w。用相同方法計算出歷年的n值，如n值表見附錄，并作出n2Q2Q JD3Q劉 4口工口包 2050年份tAWQ2C7Q值曲線。問題3評估我國有沒有必要完全放開二胎政策的必要？如果有必要完全放開二胎政策，請預測何時放開二胎政策比較合適。,先假設沒有完全放開的必要，即執(zhí)行單獨二胎政策，預測未來5。年后人口變化，人口老齡化，人口紅利，以及撫養(yǎng)比的情況，通過評估，與標準相比較，看是否需要完全放開二胎。假設需要，則在完全放開二胎的情況下，選擇不同時間放開，在進行評估比較，得出在何年放開比較合適。1、模型準備與問題二采用相同模型，即1es11e改良模型，故此處省略。2、模型建立單獨二胎政策采用與問題2相同的方法進行建模，以201。年為初始年份，對之后5。年人口進行預測，以5年為一個年齡段，共分20組，從附錄4中得到每組的生育率b1、b2、b3b20。每組死亡率sl、s2、s3S19.其中10(k)4bi(k),以15至49周歲