空間向量和立體幾何典型例題

1、 WORD格式整理 空間向量與立體幾何典型例題一、選擇題：1(2008全國(guó)卷理)已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，在底面內(nèi)的射影為的中心，則與底面所成角的正弦值等于（ C ）AB CD1.解：C由題意知三棱錐為正四面體，設(shè)棱長(zhǎng)為，則，棱柱的高（即點(diǎn)到底面的距離），故與底面所成角的正弦值為.另解：設(shè)為空間向量的一組基底，的兩兩間的夾角為長(zhǎng)度均為，平面的法向量為,則與底面所成角的正弦值為.二、填空題：1(2008全國(guó)卷理)等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，分別是的中點(diǎn)，則所成角的余弦值等于 1題圖（1）1.答案：.設(shè)，作，則，為二面角的平面角，結(jié)合等邊三角形與正方形可知此四棱錐為正四

2、棱錐，則,1題圖（2）故所成角的余弦值另解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則點(diǎn),則,故所成角的余弦值.三、解答題：1（2008安徽文）如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的 菱形，, , ,為的中點(diǎn)。（）求異面直線AB與MD所成角的大??；（）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。1方法一（綜合法）（1） 為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）作連接，所以 與所成角的大小為（）點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP,過(guò)點(diǎn)A作 于點(diǎn)Q，又 , 線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離，所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為方法二(向量法)作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系,(1)設(shè)與所成的角

3、為, , 與所成角的大小為(2) 設(shè)平面OCD的法向量為,則即 取,解得設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的距離為,則為在向量上的投影的絕對(duì)值, , .所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為2（2008安徽理）如圖，在四棱錐中，底面四邊長(zhǎng)為1的菱形，, , ,為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)。（）證明：直線；（）求異面直線AB與MD所成角的大小； （）求點(diǎn)B到平面OCD的距離。2 方法一（綜合法） （1）取OB中點(diǎn)E，連接ME，NE又 （2） 為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角）作連接， 所以 與所成角的大小為（3）點(diǎn)A和點(diǎn)B到平面OCD的距離相等，連接OP,過(guò)點(diǎn)A作 于點(diǎn)Q，又 ,線段AQ的長(zhǎng)就是點(diǎn)A到平面OCD的距離，所以點(diǎn)B到平面

4、OCD的距離為方法二(向量法)作于點(diǎn)P,如圖,分別以AB,AP,AO所在直線為軸建立坐標(biāo)系,(1)設(shè)平面OCD的法向量為,則即 取,解得(2)設(shè)與所成的角為, , 與所成角的大小為(3)設(shè)點(diǎn)B到平面OCD的交流為,則為在向量上的投影的絕對(duì)值, 由 , 得.所以點(diǎn)B到平面OCD的距離為3（2008北京文）如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，ACB=90°，AP=BP=AB，PCAC.（）求證：PCAB；（）求二面角B-AP-C的大小.3解法一：（）取AB中點(diǎn)D，連結(jié)PD，CD.AP=BP，PDAB.AC=BC.CDAB.PDCDD.AB平面PCD.PC平面PCD，PCAB.（）

5、AC=BC,AP=BP,APCBPC.又PCAC，PCBC.又ACB90°，即ACBC，且ACPC=C，ABBP，BEAP.EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影，CEAP.BEC是二面角B-AP-C的平面角.在BCE中，BCE=90°,BC=2,BE=，sinBEC=二面角B-AP-C的大小為aresin解法二：（）AC=BC,AP=BP,APCBPC.又PCAC.PCBC.ACBC=C,PC平面ABC.AB平面ABC，PCAB. ()如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.則C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）.設(shè)P（0，0，t）,PB=AB2，t=2,P

6、(0,0,2).取AP中點(diǎn)E，連結(jié)BE，CE.AC=PC,AB=BP,CEAP,BEAP.BEC是二面角B-AP-C的平面角.E(0,1,1),cosBEC=二面角B-AP-C的大小為arccosACBDP4（2008北京理）如圖，在三棱錐中，（）求證：；（）求二面角的大??；（）求點(diǎn)到平面的距離4解法一：（）取中點(diǎn)，連結(jié)，平面平面，ACBEP（），又，又，即，且，平面取中點(diǎn)連結(jié)，是在平面內(nèi)的射影，是二面角的平面角在中，ACBDPH二面角的大小為（）由（）知平面，平面平面過(guò)作，垂足為平面平面，平面的長(zhǎng)即為點(diǎn)到平面的距離由（）知，又，且，平面平面，在中， 點(diǎn)到平面的距離為解法二：（），又，平面平面

7、，（）如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)CBPzxyHE則設(shè)，取中點(diǎn)，連結(jié)，是二面角的平面角，二面角的大小為（），在平面內(nèi)的射影為正的中心，且的長(zhǎng)為點(diǎn)到平面的距離如（）建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)的坐標(biāo)為 點(diǎn)到平面的距離為5 (2008福建文) 如圖，在四棱錐中，側(cè)面PAD底面ABCD,側(cè)棱PA=PD=,底面ABCD為直角梯形，其中BCAD,ABCD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點(diǎn)。（1）求證：PO平面ABCD;（2）求異面直線PB與CD所成角的余弦值；（3）求點(diǎn)A到平面PCD的距離5.解：如圖，A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1)所以

8、所以異面直線所成的角的余弦值為：(2)設(shè)平面PCD的法向量為，所以 ；令x=1,則y=z=1,所以 又則，點(diǎn)A到平面PCD的距離為：6(2008福建理) 如圖，在四棱錐P-ABCD中，則面PAD底面ABCD，側(cè)棱PA=PD，底面ABCD為直角梯形，其中BCAD,ABAD,AD=2AB=2BC=2,O為AD中點(diǎn).（）求證：PO平面ABCD；（）求異面直線PD與CD所成角的大小；（）線段AD上是否存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.6本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成角、點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.滿分

9、12分.解法一：（）證明：在PAD中PA=PD,O為AD中點(diǎn)，所以POAD,又側(cè)面PAD底面ABCD,平面平面ABCD=AD, 平面PAD，所以PO平面ABCD.（）連結(jié)BO，在直角梯形ABCD中、BCAD，AD=2AB=2BC,有ODBC且OD=BC,所以四邊形OBCD是平行四邊形，所以O(shè)BDC.由（）知，POOB,PBO為銳角，所以PBO是異面直線PB與CD所成的角.因?yàn)锳D=2AB=2BC=2,在RtAOB中，AB=1,AO=1,所以O(shè)B，在RtPOA中，因?yàn)锳P，AO1，所以O(shè)P1，在RtPBO中，tanPBO所以異面直線PB與CD所成的角是.（）假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離

10、為.設(shè)QDx，則，由（）得CD=OB=，在RtPOC中， 所以PC=CD=DP, 由Vp-DQC=VQ-PCD,得2，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí).解法二：()同解法一.()以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,依題意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 所以所以異面直線PB與CD所成的角是arccos， ()假設(shè)存在點(diǎn)Q，使得它到平面PCD的距離為，由()知設(shè)平面PCD的法向量為n=(x0,y0,z0).則所以即，取x0=1,得平面PCD的一個(gè)法向量為n=(1,1,1).設(shè)由，得解y=

11、-或y=(舍去)，此時(shí)，所以存在點(diǎn)Q滿足題意，此時(shí).7、(2008海南、寧夏理)如圖，已知點(diǎn)P在正方體ABCDA1B1C1D1的對(duì)角線BD1上，PDA=60°。（1）求DP與CC1所成角的大??；（2）求DP與平面AA1D1D所成角的大小。7解：如圖，以為原點(diǎn)，為單位長(zhǎng)建立空間直角坐標(biāo)系則，連結(jié)，在平面中，延長(zhǎng)交于設(shè)，由已知，由可得ABCDPxyzH解得，所以（）因?yàn)椋约磁c所成的角為（）平面的一個(gè)法向量是因?yàn)?，所以可得與平面所成的角為8. (2008湖北文)如圖，在直三棱柱中，平面?zhèn)让?（）求證： （）若，直線AC與平面所成的角為， 二面角8.本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成

12、角、二面角等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力和推理論證能力.（滿分12分） ()證明：如右圖，過(guò)點(diǎn)A在平面A1ABB1內(nèi)作ADA1B于D，則由平面A1BC側(cè)面A1ABB1,且平面A1BC側(cè)面A1ABB1A1B，得AD平面A1BC.又BC平面A1BC所以ADBC.因?yàn)槿庵鵄BCA1B1C1是直三棱柱,則AA1底面ABC,所以AA1BC.又AA1AD=A,從而B(niǎo)C側(cè)面A1ABB1,又AB側(cè)面A1ABB1，故ABBC. ()證法1：連接CD,則由()知ACD就是直線AC與平面A1BC所成的角，ABA1就是二面角A1BCA的頰角，即ACD，ABA1=j. 于是在RtADC中，sin=,在RtADA1中，s

13、inAA1D, sin=sinAA1D,由于與AA1D都是銳角，所以AA1D. 又由RtA1AB知，AA1DjAA1Bj，故j. 證法2：由()知，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC、BA、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=c（ca，則B(0,0,0)，A(0,c,0)，C(),A1(0,c,a)，于是，（0，c,a）,=(0,c,a)設(shè)平面A1BC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),則由可取n（0，a，c），于是n·=ac0，與n的夾角b為銳角,則b與q互為余角.sinq=cosb=,cosj=所以sinq=cosj=sin(),又0q，j，所以q+

14、j=.9. (2008湖北理)如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC側(cè)面A1ABB1.（）求證：ABBC；（）若直線AC與平面A1BC所成的角為,二面角A1-BC-A的大小為的大小關(guān)系，并予以證明.9.本小題主要考查直棱柱、直線與平面所成角、二面角和線面關(guān)系等有關(guān)知識(shí)，同時(shí)考查空間想象能力和推理能力.（滿分12分）（）證明：如右圖，過(guò)點(diǎn)A在平面A1ABB1內(nèi)作ADA1B于D，則由平面A1BC側(cè)面A1ABB1,且平面A1BC側(cè)面A1ABB1=A1B,得AD平面A1BC,又BC平面A1BC，所以ADBC.因?yàn)槿庵鵄BCA1B1C1是直三棱柱，則AA1底面ABC，所以AA1BC.又AA

15、1AD=A,從而B(niǎo)C側(cè)面A1ABB1，又AB側(cè)面A1ABB1，故ABBC.（）解法1：連接CD，則由（）知是直線AC與平面A1BC所成的角，是二面角A1BCA的平面角，即于是在RtADC中，在RtADB中，由ABAC，得又所以解法2：由（）知，以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以BC、BA、BB1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AA1=a,AC=b,AB=c,則 B(0,0,0), A(0,c,0), 于是設(shè)平面A1BC的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，則由得可取n=(0,-a,c)，于是與n的夾角為銳角，則與互為余角.所以于是由cb，得即又所以10. (2008湖南理)如圖

16、所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，BCD60°，E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，PA2. （）證明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.10解: 解法一 （）如圖所示，連結(jié)BD，由ABCD是菱形且BCD=60°知，BCD是等邊三角形.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以BECD,又ABCD,所以BEAB.又因?yàn)镻A平面ABCD，平面ABCD，所以PABE.而AB=A,因此BE平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（）延長(zhǎng)AD、BE相交于點(diǎn)F，連結(jié)PF.過(guò)點(diǎn)A作AHPB于H，由（）知平面PBE平面PAB,所以A

17、H平面PBE.在RtABF中，因?yàn)锽AF60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰RtPAF中，取PF的中點(diǎn)G，連接AG.則AGPF.連結(jié)HG，由三垂線定理的逆定理得，PFHG.所以AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.在等腰RtPAF中， 在RtPAB中， 所以，在RtAHG中， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是解法二: 如圖所示，以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系.則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（0，0，0），B（1，0，0），P（0，0，2）,（）因?yàn)椋矫鍼AB的一個(gè)法向量是，所以共線.從而B(niǎo)E平面PAB.又因?yàn)槠矫鍼BE，故平面PBE平面PAB

18、. ()易知 設(shè)是平面PBE的一個(gè)法向量，則由得所以 設(shè)是平面PAD的一個(gè)法向量，則由得所以故可取 于是， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是11(2008湖南文) 如圖所示，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的菱形，E是CD的中點(diǎn)，PA底面ABCD，。（I）證明：平面PBE平面PAB；（II）求二面角ABEP和的大小。11解：解法一（I）如圖所示, 連結(jié)由是菱形且知，是等邊三角形. 因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以又所以又因?yàn)镻A平面ABCD，平面ABCD，所以而因此 平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）由（I）知，平面PAB, 平面PAB, 所以 又所以是二面角的平面角

19、在中, 故二面角的大小為解法二：如圖所示,以A為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（I）因?yàn)槠矫鍼AB的一個(gè)法向量是所以和共線.從而平面PAB. 又因?yàn)槠矫鍼BE，所以平面PBE平面PAB.（II）易知設(shè)是平面PBE的一個(gè)法向量,則由得 所以故可取而平面ABE的一個(gè)法向量是于是,故二面角的大小為12(2008江蘇)記動(dòng)點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為1的正方體的對(duì)角線上一點(diǎn)，記當(dāng)為鈍角時(shí)，求的取值范圍12解：由題設(shè)可知，以、為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有, 由，得，所以 顯然不是平角，所以為鈍角等價(jià)于 ，則等價(jià)于即 ，得因此，的取值范圍是13(2008江西文、理) 如圖，正三棱錐的

20、三條側(cè)棱、兩兩垂直，且長(zhǎng)度均為2、分別是、的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過(guò)的平面與側(cè)棱、或其延長(zhǎng)線分別相交于、，已知（1）求證：面；（2）求二面角的大小13解 ：（1）證明：依題設(shè)，是的中位線，所以，則平面，所以。 又是的中點(diǎn)，所以，則。 因?yàn)?，所以面，則，因此面。（2）作于，連。因?yàn)槠矫?，根?jù)三垂線定理知， 就是二面角的平面角。 作于，則，則是的中點(diǎn)，則。設(shè)，由得，解得，在中，則，。所以，故二面角為。解法二：（1）以直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 所以所以 所以平面 由得，故：平面 (2)由已知設(shè)則由與共線得:存在有得同理: 設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則 令得 又是平面的一個(gè)法量 所以二面角的大小為

21、ABCDEFPQHG14(2008遼寧文)如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF，截面PQGH（）證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；（）證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，并求出這個(gè)值；（）若，求與平面PQEF所成角的正弦值14本小題主要考查空間中的線面關(guān)系和面面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力與邏輯思維能力滿分12分解法一：（）證明：在正方體中，又由已知可得，所以，所以平面所以平面和平面互相垂直4分（）證明：由（）知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是，是定值8分

22、ABCDEFPQHGN（）解：設(shè)交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槠矫妫詾榕c平面所成的角因?yàn)?，所以分別為，的中點(diǎn)可知，所以12分解法二：以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系Dxyz由已知得，故ABCDEFPQHyxzG，（）證明：在所建立的坐標(biāo)系中，可得，因?yàn)?，所以是平面PQEF的法向量因?yàn)椋允瞧矫鍼QGH的法向量因?yàn)?，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直4分（）證明：因?yàn)?，所以，又，所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形在所建立的坐標(biāo)系中可求得，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值8分（）解：由（）知是平面的法向量由為中點(diǎn)可

23、知，分別為，的中點(diǎn)所以，因此與平面所成角的正弦值等于12分ABCDEFPQHG15(2008遼寧理)如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，AP=BQ=b（0<b<1），截面PQEF，截面PQGH（）證明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；（）證明：截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值，并求出這個(gè)值；（）若與平面PQEF所成的角為，求與平面PQGH所成角的正弦值A(chǔ)BCDEFPQHGNM15本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，面面關(guān)系，解三角形等基礎(chǔ)知識(shí)， 考查空間想象能力與邏輯思維能力。滿分12分解法一：（）證明：在正方體中，又由已知可得，所以，所以平面所以平面和平面互相垂直4分（）證明：由

24、（）知，又截面PQEF和截面PQGH都是矩形，且PQ=1，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是，是定值8分（III）解：連結(jié)BC交EQ于點(diǎn)M因?yàn)?，所以平面和平面PQGH互相平行，因此與平面PQGH所成角與與平面所成角相等與（）同理可證EQ平面PQGH，可知EM平面，因此EM與的比值就是所求的正弦值設(shè)交PF于點(diǎn)N，連結(jié)EN，由知因?yàn)槠矫鍼QEF，又已知與平面PQEF成角，所以，即，解得，可知E為BC中點(diǎn)所以EM=，又，故與平面PQCH所成角的正弦值為12分解法二：以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DD分別為x，y，z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系Dxyz由已知得，故，ABCDEFPQHyxzG

25、，（）證明：在所建立的坐標(biāo)系中，可得，因?yàn)?，所以是平面PQEF的法向量因?yàn)?，所以是平面PQGH的法向量因?yàn)?，所以，所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直4分（）證明：因?yàn)?，所以，又，所以PQEF為矩形，同理PQGH為矩形在所建立的坐標(biāo)系中可求得，所以，又，所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為，是定值8分（）解：由已知得與成角，又可得 ，即，解得所以，又，所以與平面PQGH所成角的正弦值為12分ABCDEA1B1C1D116(2008全國(guó)卷文、理) 如圖，正四棱柱中，點(diǎn)在上且（）證明：平面；（）求二面角的大小16解法一：依題設(shè)，（）連結(jié)交于點(diǎn)，則ABCDEA1B1C1D1FHG由三垂線定理知

26、，3分在平面內(nèi)，連結(jié)交于點(diǎn)，由于，故，與互余于是與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，所以平面6分（）作，垂足為，連結(jié)由三垂線定理知，故是二面角的平面角8分，又，ABCDEA1B1C1D1yxz所以二面角的大小為-12分 解法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸的正半軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系依題設(shè)，-3分（）因?yàn)椋?，又，所以平?分（）設(shè)向量是平面的法向量，則，故，令，則，9分等于二面角的平面角，所以二面角的大小為12分17(2008全國(guó)卷文)（四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，（）證明：；（）設(shè)側(cè)面為等邊三角形，求二面角的大小17解：（1）取中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，又面面，面，即，面，（2）在面內(nèi)過(guò)點(diǎn)做的垂線，垂足

27、為，面，則即為所求二面角，則，18(2008全國(guó)卷理) 四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，（）證明：；（）設(shè)與平面所成的角為，求二面角的大小18解：（1）取中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，又面面，面，18題圖，即，面，（2）在面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，面，則即為所求二面角的平面角，則，即二面角的大小19 (2008山東理)如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點(diǎn).（）證明：AEPD; （）若H為PD上的動(dòng)點(diǎn)，EH與平面PAD所成最大角的 正切值為，求二面角EAFC的余弦值。19（）證明：由四邊形ABCD為菱形，ABC=60°，可得ABC為正

28、三角形.因?yàn)?E為BC的中點(diǎn)，所以AEBC. 又 BCAD，因此AEAD.因?yàn)镻A平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE.而 PA平面PAD，AD平面PAD 且PAAD=A，所以 AE平面PAD，又PD平面PAD.所以 AEPD.（）解：設(shè)AB=2，H為PD上任意一點(diǎn)，連接AH，EH.由（）知 AE平面PAD，則EHA為EH與平面PAD所成的角.在RtEAH中，AE=，所以 當(dāng)AH最短時(shí)，EHA最大，即 當(dāng)AHPD時(shí)，EHA最大.此時(shí) tanEHA=因此 AH=.又AD=2，所以ADH=45°，所以 PA=2.解法一：因?yàn)?PA平面ABCD，PA平面PAC， 所以 平面PAC平

29、面ABCD. 過(guò)E作EOAC于O，則EO平面PAC， 過(guò)O作OSAF于S，連接ES，則ESO為二面角E-AF-C的平面角， 在RtAOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=, 又F是PC的中點(diǎn)，在RtASO中，SO=AO·sin45°=, 又 在RtESO中，cosESO= 即所求二面角的余弦值為解法二：由（）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，又E、F分別為BC、PC的中點(diǎn)，所以E、F分別為BC、PC的中點(diǎn)，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），D（0，

30、2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F(xiàn)（），所以 設(shè)平面AEF的一法向量為則因此取因?yàn)?BDAC，BDPA，PAAC=A，所以 BD平面AFC，故 為平面AFC的一法向量.又 =（-），所以 cosm, =因?yàn)?二面角E-AF-C為銳角，所以所求二面角的余弦值為A1AC1B1BDC20(2008陜西理)三棱錐被平行于底面的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為，平面，（）證明：平面平面；（）求二面角的大小20解法一：（）平面平面，在中，A1AC1B1BDCFE（第20題，解法一），又，即又，平面，平面，平面平面（）如圖，作交于點(diǎn)，連接，由已知得平面是在面內(nèi)的射影由三垂線定理知，為二面角的平

31、面角過(guò)作交于點(diǎn)，則，在中，A1AC1B1BDCzyx（第20題，解法二）在中，即二面角為解法二：（）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，點(diǎn)坐標(biāo)為，又，平面，又平面，平面平面（）平面，取為平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，則，如圖，可取，則，即二面角為A1AC1B1BDC21.(2008陜西文) 三棱錐被平行于底面的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為，平面，為中點(diǎn)（）證明：平面平面；（）求二面角的大小21解：22(2008四川文) 如圖，平面平面，四邊形與都是直角梯形，分別為的中點(diǎn)（）證明：四邊形是平行四邊形；（）四點(diǎn)是否共面？為什么？（）設(shè)，證明：平面平面；22【解1】：（）由題意知，所以又，故所以四

32、邊形是平行四邊形。（）四點(diǎn)共面。理由如下：由，是的中點(diǎn)知，所以由（）知，所以，故共面。又點(diǎn)在直線上所以四點(diǎn)共面。（）連結(jié)，由，及知是正方形故。由題設(shè)知兩兩垂直，故平面，因此是在平面內(nèi)的射影，根據(jù)三垂線定理，又，所以平面由（）知，所以平面。由（）知平面，故平面，得平面平面【解2】：由平面平面，得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系（）設(shè)，則由題設(shè)得所以于是又點(diǎn)不在直線上所以四邊形是平行四邊形。（）四點(diǎn)共面。理由如下：由題設(shè)知，所以又，故四點(diǎn)共面。（）由得，所以又，因此即又，所以平面故由平面，得平面平面【點(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察立體幾何中直線與直線的位置關(guān)系，四點(diǎn)共面問(wèn)題，面面

33、垂直問(wèn)題，考察了空間想象能力，幾何邏輯推理能力，以及計(jì)算能力；【突破】：熟悉幾何公理化體系，準(zhǔn)確推理，注意邏輯性是順利進(jìn)行解法1的關(guān)鍵；在解法2中，準(zhǔn)確的建系，確定點(diǎn)坐標(biāo)，熟悉向量的坐標(biāo)表示，熟悉空間向量的計(jì)算在幾何位置的證明，在有關(guān)線段，角的計(jì)算中的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵。23(2008四川理) 如圖，平面平面，四邊形與都是直角梯形，（）證明：四點(diǎn)共面；（）設(shè)，求二面角的大??；23【解1】：（）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由得 延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于同理可得 故，即與重合因此直線相交于點(diǎn)，即四點(diǎn)共面。（）設(shè)，則，取中點(diǎn)，則，又由已知得，平面故，與平面內(nèi)兩相交直線都垂直。所以平面，作，垂足為，連結(jié)由三垂線定理知為二面角的平面角。故所以二面角的大小【解2】：由平面平面，得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線為軸正半軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系（）設(shè)，則故，從而由點(diǎn)，得故四點(diǎn)共面（）設(shè)，則， 在上取點(diǎn)，使，則從而又在上取點(diǎn)，使，則從而故與的夾角等于二面角的平面角，所以二面角的大小【點(diǎn)評(píng)】：此題重點(diǎn)考察立體幾何中四點(diǎn)共面問(wèn)題和求二面角的問(wèn)題，考察空間想象能力，幾何邏輯推理能力，以及計(jì)算能力；【突