高中數(shù)學復習專題講座函數(shù)的連續(xù)及其應用

1、高中數(shù)學復習專題講座函數(shù)的連續(xù)及其應用 高考要求 函數(shù)的連續(xù)性是新增加的內(nèi)容之一 它把高中的極限知識與大學知識緊密聯(lián)在一起 在高考中，必將這一塊內(nèi)容溶入到函數(shù)內(nèi)容中去，因而一定成為高考的又一個熱點 本節(jié)內(nèi)容重點闡述這一塊知識的知識結(jié)構(gòu)體系 重難點歸納 1 深刻理解函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)的概念 等式f(x)=f(x0)的涵義是 (1)f(x0)在x=x0處有定義，即f(x0)存在；(2)f(x)存在，這里隱含著f(x)在點x=x0附近有定義；(3)f(x)在點x0處的極限值等于這一點的函數(shù)值，即f(x)=f(x0) 函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，反映在圖像上是f(x)的圖像在點x=x0處是不間斷的

2、 2 函數(shù)f(x)在點x0不連續(xù)，就是f(x)的圖像在點x=x0處是間斷的 其情形 (1)f(x)存在；f(x0)存在，但f(x)f(x0);(2)f(x)存在，但f(x0)不存在 (3) f(x)不存在 3 由連續(xù)函數(shù)的定義，可以得到計算函數(shù)極限的一種方法 如果函數(shù)f(x)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的，點x0是定義區(qū)間內(nèi)的一點，那么求xx0時函數(shù)f(x)的極限，只要求出f(x)在點x0處的函數(shù)值f(x0)就可以了，即f(x)=f(x0) 典型題例示范講解 例1已知函數(shù)f(x)=,(1)求f(x)的定義域，并作出函數(shù)的圖像；(2)求f(x)的不連續(xù)點x0;(3)對f(x)補充定義，使其是R上的連續(xù)函

3、數(shù) 命題意圖 函數(shù)的連續(xù)性，尤其是在某定點處的連續(xù)性在函數(shù)圖像上有最直觀的反映 因而畫函數(shù)圖像去直觀反映題目中的連續(xù)性問題也就成為一種最重要的方法 知識依托 本題是分式函數(shù)，所以解答本題的閃光點是能準確畫出它的圖像 錯解分析 第(3)問是本題的難點，考生通過自己對所學連續(xù)函數(shù)定義的了解 應明確知道第(3)問是求的分數(shù)函數(shù)解析式 技巧與方法 對分式化簡變形，注意等價性，觀察圖像進行解答 解 (1)當x+20時，有x2因此，函數(shù)的定義域是(,2)(2,+)當x2時，f(x)= =x2,其圖像如上圖(2)由定義域知，函數(shù)f(x)的不連續(xù)點是x0=2 (3)因為當x2時，f(x)=x2,所以=4 因此

4、，將f(x)的表達式改寫為f(x)=則函數(shù)f(x)在R上是連續(xù)函數(shù) 例2求證 方程x=asinx+b(a0,b0)至少有一個正根，且它不大于a+b 命題意圖 要判定方程f(x)=0是否有實根 即判定對應的連續(xù)函數(shù)y=f(x)的圖像是否與x軸有交點，因此根據(jù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，只要找到圖像上的兩點，滿足一點在x軸上方，另一點在x軸下方即可 本題主要考查這種解題方法 知識依托 解答本題的閃光點要找到合適的兩點，使函數(shù)值其一為負，另一為正 錯解分析 因為本題為超越方程，因而考生最易想到畫圖像觀察，而忽視連續(xù)性的性質(zhì)在解這類題目中的簡便作用 證明 設f(x)=asinx+bx,則f(0)=b0,f(a+b

5、)=asin(a+b)+b(a+b)=asin(a+b)10,又f(x)在(0,a+b內(nèi)是連續(xù)函數(shù)，所以存在一個x0(0,a+b，使f(x0)=0,即x0是方程f(x)=0的根，也就是方程x=asinx+b的根 因此，方程x=asinx+b至少存在一個正根，且它不大于a+b 例3已知函數(shù)f(x)=(1)討論f(x)在點x=1,0,1處的連續(xù)性；(2)求f(x)的連續(xù)區(qū)間 解 (1)f(x)=3, f(x)=1,所以f(x)不存在，所以f(x)在x=1處不連續(xù)，但f(x)=f(1)=1, f(x)f(1),所以f(x)在x=1處右連續(xù)，左不連續(xù)f(x)=3=f(1), f(x)不存在，所以f(x

6、)不存在，所以f(x)在x=1不連續(xù)，但左連續(xù)，右不連續(xù) 又f(x)=f(0)=0,所以f(x)在x=0處連續(xù) (2)f(x)中，區(qū)間(,1),1,1,(1,5上的三個函數(shù)都是初等函數(shù)，因此f(x)除不連續(xù)點x=1外，再也無不連續(xù)點，所以f(x)的連續(xù)區(qū)間是(,1),1,1和(1,5 學生鞏固練習 1 若f(x)=在點x=0處連續(xù)，則f(0)等于( )A B C 1D 02 設f(x)=則f(x)的連續(xù)區(qū)間為( )A (0，2)B (0，1) C (0，1)(1，2)D (1，2)3 =_ 4 若f(x)=處處連續(xù)，則a的值為_ 5 已知函數(shù)f(x)=(1)f(x)在x=0處是否連續(xù)？說明理由

7、；(2)討論f(x)在閉區(qū)間1,0和0,1上的連續(xù)性 6 已知f(x)=(1)求f(x);(2)求常數(shù)a的值，使f(x)在區(qū)間(,+)內(nèi)處處連續(xù) 7 求證任何一個實系數(shù)一元三次方程a0x3+a1x2+a2x+a3=0(a0,a1,a2,a3R,a00)至少有一個實數(shù)根 8 求函數(shù)f(x)=的不連續(xù)點和連續(xù)區(qū)間 參考答案 1 解析 答案 A2 解析 即f(x)在x=1點不連續(xù)，顯知f(x)在(0,1)和(1,2)連續(xù) 答案 C3 解析 利用函數(shù)的連續(xù)性，即,答案 答案 5 解 f(x)=(1) f(x)=1, f(x)=1,所以f(x)不存在，故f(x)在x=0處不連續(xù) (2)f(x)在(,+)上除x=0外，再無間斷點，由(1)知f(x)在x=0處右連續(xù)，所以f(x)在1，0上是不連續(xù)函數(shù)，在0,1上是連續(xù)函數(shù) 6 解 (1)f(x)=(2)要使f(x)在(,+)內(nèi)處處連續(xù)，只要f(x)在x=0連續(xù)，f(x)= =f(x)=(a+bx)=a,因為要f(x)在x=0處連續(xù)，只要 f(x)= f(x)= f(x)=f(0),所以a=7 證明 設f(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3,函數(shù)f(x)在(,+)連續(xù)，