一次函數(shù)的圖像--教學設計

1、第九屆全國初中青年數(shù)學教師優(yōu)秀課展示與培訓活動一次函數(shù)的圖象（1）浙教版義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學（八年級上冊第五章5.4節(jié)）一次函數(shù)的圖象（1）教學設計一、內容和內容解析學習內容： 浙教版義務教育課程標準試驗教科書·數(shù)學（八年級上冊第5章5.4節(jié)）一次函數(shù)的圖象第一課時內容解析：（1）內容地位及核心知識解析：本節(jié)課是在已經(jīng)學習了平面直角坐標系及一次函數(shù)的概念、定義、三種表示函數(shù)的不同方法等基礎上，讓學生經(jīng)歷探究畫函數(shù)圖象的一般過程，感受研究函數(shù)的基本方法，掌握一次函數(shù)圖象的畫法即用描點法畫函數(shù)圖象，為今后繼續(xù)研究各類具體的函數(shù)做了必要的準備。（2）內容結構關系解析：

2、畫出圖象。即從描點法到兩點法。（3）認知活動分析與價值判斷：主要體現(xiàn)在對具體一次函數(shù)的圖象形狀、位置，一次函數(shù)圖象上的點的動態(tài)細節(jié)觀察。函數(shù)圖象這一概念的形成過程、畫圖技能的概括過程、轉化等思想方法的提煉過程、圖象知識的升華過程。核心的數(shù)學思想是數(shù)形結合。通過上述認知活動的開展，能讓學生在特定的數(shù)學認知活動中發(fā)展相應的數(shù)學認知水平，體會數(shù)學思想方法。二、目標和目標解析：目標：（1） 會畫一次函數(shù)的圖象；（2） 讓學生自然地研究一次函數(shù)的圖象，理解一次函數(shù)的圖象是一條直線，體會數(shù)形結合思想，發(fā)展幾何直觀；（3） 在理解正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關系基礎上，能從圖象角度理解正比例函數(shù)與一次函數(shù)的關系；

3、（4） 會根據(jù)一次函數(shù)解析式求函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標。目標解析： 目標（1）要求學生在用描點法畫一次函數(shù)圖象基礎上通過思考得到兩點法畫一次函數(shù)圖象，并能熟練畫出具體的一次函數(shù)的圖象。目標（2）在動手繪制一次函數(shù)的圖象過程中，讓學生經(jīng)歷“動手比較討論歸納”的數(shù)學活動。目標（3）在探究一次函數(shù)圖象的活動中，通過動手實踐、互相交流，使學生在探究的過程中提高與他人交流合作的意識，提高學生動手實踐的能力和探究精神。目標（4）在學生經(jīng)歷了從描點法到兩點法作一次函數(shù)的圖象的過程中，自然生成函數(shù)圖象與坐標軸的兩個交點。三、教學問題診斷分析：（1）學生基礎分析：學生通過直角坐標系、函數(shù)的概念、函數(shù)的表示方法

4、及一次函數(shù)定義的學習，獲得了函數(shù)研究方法的經(jīng)驗，通過一次函數(shù)的學習，獲得了具體一類函數(shù)的數(shù)形結合的探究經(jīng)驗。（2）學習困難分析： 在具體的學習過程中，如果學生沒有經(jīng)歷畫圖、觀察、概括的過程，可能只是記住結論，很難理解一次函數(shù)的圖象是一條直線。 對于通過具體一次函數(shù)圖象猜想一般的一次函數(shù)圖象的形狀，學生容易停留在只從“形”的角度認識一次函數(shù)的圖象，不會從函數(shù)和變量的方法去思考問題，即從“數(shù)”（解析式）的角度加深理解。四、教學支持條件分析：根據(jù)本節(jié)課教材內容的特點，為了更加直觀、形象地突出重點，突破難點，借助信息技術工具，以幾何畫板為平臺，通過動態(tài)演示，觀察相關數(shù)值的變化，研究圖象的變化趨勢，抽象

5、概括當自變量變化時，對應的函數(shù)值的變化規(guī)律，進而探究一次函數(shù)圖象的特征。同時，讓學生獨立進行畫圖象、觀察圖象的活動，達到讓學生充分體驗以圖象表示函數(shù)關系，以變量關系（坐標為中介）解釋圖象特征這一數(shù)形結合思想和數(shù)學觀察、數(shù)學表征、數(shù)學概括等認知活動。五、教學過程設計：【教學目標】(一) 知識與技能目標:1.理解函數(shù)圖象的概念。2.經(jīng)歷作圖過程，初步了解作函數(shù)圖象的一般步驟。3.理解一次函數(shù)的解析式與圖象之間的對應關系。4.能熟練作出一次函數(shù)的圖象。5.會求一次函數(shù)的圖象與坐標軸的交點。(二) 過程與方法目標:1.經(jīng)歷作圖過程中由一般到特殊方法的轉變過程，讓學生體會研究問題的基本方法。2.培養(yǎng)學生

6、數(shù)形結合的意識和能力,在探究活動中發(fā)展學生的合作意識和能力。(三) 情感與態(tài)度目標;1.經(jīng)歷作圖過程，歸納總結作函數(shù)圖象的一般步驟，培養(yǎng)學生的語言表達能力。2. 經(jīng)歷作圖過程，培養(yǎng)學生獨立思考的習慣和合作交流的意識，激發(fā)學生探索數(shù)學的興趣，體驗探索成功后的快樂。【教學重點】 一次函數(shù)的圖象【教學難點】驗證圖象的完備性（坐標滿足一次函數(shù)解析式的點在直線上）、純粹性（圖象上的點的坐標滿足函數(shù)解析式），學生不容易理解其意義，是本節(jié)教學的難點。教學過程：1、情景創(chuàng)設總結畫函數(shù)圖象的一般方法引入：10月3日，中國男籃重回亞洲之巔，取得2015年亞洲男籃錦標賽冠軍，直通里約奧運（展示視頻）。在易建聯(lián)的一次

7、投籃過程中，隨著時間t的變化，籃球的高度h也隨之發(fā)生變化?；@球的高度h與時間t之間滿足這樣的函數(shù)關系式：，0t1.6 問題1：你還有哪些不同的方法來表示h與t之間的函數(shù)關系？ 問題2：表格中的數(shù)據(jù)是如何得到的？ 問題3：函數(shù)的圖象有什么組成？多少個點？問題4：既然函數(shù)的圖象是由點組成，那么我們在畫圖的時候，大家會選擇畫幾個點？這樣的點又是如何得到的？【師生行為】 教師引導學生回顧函數(shù)的三種不同的表示方法，即 解析法：，0t1.6 列表法：t00.20.40.60.80.91.11.31.51.61.0h2.983.824.424.784.94.874.634.153.432.984.78 圖象

8、法：通過回答問題2，建立函數(shù)解析式與表格之間的關系；通過回答問題3，把畫函數(shù)圖象的問題化歸成畫點的問題；通過回答問題4，讓學生自然生成函數(shù)圖象的概念，并且在回答的過程中，體會在畫函數(shù)圖象的時候，表格所凸顯出來的作用。這樣讓學生自然建立起函數(shù)解析式、表格、圖象三者之間的聯(lián)系，為接下來畫函數(shù)圖象作鋪墊。 從而得出函數(shù)圖象的概念：把一個函數(shù)的自變量x的值與函數(shù)y的對應值分別作為點的橫坐標和縱坐標，在直角坐標系中描出它的對應點，所有這些點組成的圖形叫做這個函數(shù)的圖象。 現(xiàn)在，老師把這些點繪制到平面直角坐標系中，并依次把這些點連接起來，從而得到了函數(shù)的圖象。 問題6：請你比較三種不同的表示方法，說說他們

9、各自的優(yōu)缺點。 問題7：回顧剛才畫函數(shù)圖象的過程，我們經(jīng)歷了怎樣的步驟？【師生行為】讓同學們進一步感受三種不同表示方法各自的優(yōu)缺點，體會這三種表示方法缺一不可，并進一步感受三種表示方法之間的聯(lián)系，也讓學生感受到學習畫函數(shù)圖象的必要性和優(yōu)越性。問題7的回答，讓學生總結出剛才畫函數(shù)圖象的一般過程，從而引出用描點發(fā)來探究一次函數(shù)圖象的問題?！驹O計意圖】 從生活實例入手，體現(xiàn)數(shù)學知識源于生活，讓學生感受到數(shù)學知識與生活的聯(lián)系，并自然引出研究函數(shù)圖象這一問題。通過對函數(shù)三種不同表示方法的再識，充分感受函數(shù)三種不同表示方法之間的聯(lián)系，為接下來得出“描點法畫函數(shù)圖象”做鋪墊。同時在經(jīng)歷這一問題描點發(fā)畫函數(shù)圖

10、象之后，讓學生在接下來自主探索一次函數(shù)的圖象儲備知識。而選擇這樣的一條拋物線的目的是讓學生不陷入一次函數(shù)圖象是一條直線的定式中，也讓學生能充分思考一次函數(shù)的圖象是否會像這條拋物線一樣是彎曲的而不是直的，為接下來真正達到思考問題的目的作鋪墊。2、小組活動探索一次函數(shù)的圖象及其畫法 環(huán)節(jié)1：自主探究一次函數(shù)y=2x+1圖象的畫法 環(huán)節(jié)2：小組合作以四人小組為單位，交流探究過程 環(huán)節(jié)3：課堂展示選擇有代表性的小組進行匯報 匯報流程：請小組派代表進行匯報小組成員補充同學提出疑問【師生行為】教師引導學生解決如下問題： 1.列表根據(jù)學生的展示，強調列表注意以下幾點：一般情況下，我們所選取的點應有代表性，x

11、的值可以取正數(shù)、0、負數(shù)。在列表的時候，數(shù)據(jù)建議從小到大排列。x與y的對應值有無數(shù)多組，在所列的表格中最好能反應出來，兩邊用省略號表示。如下所示：x-3-2-10123y-5-3-11357(x,y)(-3,-5)(-2,-3)(-1,-1)(0,1)(1,3)(2,5)(3,7) 2.觀察所畫的圖象，任意兩點之間的連線為什么是一條直線？ 過程一：引導學生通過在任意兩點之間增加點的個數(shù)來觀察這些點的排列情況。如在（1,3）和（2,5）之間添加更多的點來研究，初步感知利用逐步逼近的方法來探究一次函數(shù)的圖象是一條直線。過程二：通過幾何畫板展示，當點的坐標滿足函數(shù)解析式，這些點都落在同一條直線上，這

12、樣進一步確定了一次函數(shù)的圖象是一條直線。 3. 借助幾何畫板驗證圖象的完備性（坐標滿足一次函數(shù)解析式的點在直線上）、純粹性（圖象上的點的坐標滿足函數(shù)解析式）在這條直線上取點，這些點滿足什么關系？舉例：A（-2.5，-4）、B（4,9）師生共同總結，滿足一次函數(shù)的解析式的點（x,y）在它的圖象上，圖象上的每一點的橫坐標x,縱坐標y都滿足一次函數(shù)的解析式，所以一次函數(shù)的圖象是一條直線.并用如下的圖表來解釋數(shù)形結合的數(shù)學思想：利用數(shù)形結合思想，解決如下問題：練習：已知一次函數(shù)y=-3x+21.試判斷（4，-10）,（-3，8），（0，2）是否在函數(shù)y=-3X+2的圖象上。 2.若（3，a）,（b,7

13、）在函數(shù)圖象上，求a,b的值?！驹O計意圖】 學生在已經(jīng)具備了函數(shù)圖象一般畫法的知識儲備后，通過自主探究、小組合作、課堂展示等環(huán)節(jié)，逐漸形成一次函數(shù)的圖象是一條直線這種初步感覺。通過課堂上學生的質疑，依舊對函數(shù)圖象是一條直線產(chǎn)生疑問，探索解決問題的方法，逐步引導學生利用增加點的方法，逐步逼近，感受到一次函數(shù)的圖象是一條直線。同時，借助幾何畫板工具，通過點的追蹤，讓學生更加深刻體會函數(shù)圖象是一條直線。點追蹤的過程，實際就是驗證圖象的完備性，即滿足解析式的點都落在函數(shù)的圖象上，同時進一步在圖象上取點，來驗證純粹性，即圖象上的點的坐標滿足函數(shù)解析式。最后，利用圖標讓學生更加直觀地了解數(shù)形結合的具體含義

14、，并通過練習來讓學生進一步體會數(shù)形結合這一重要數(shù)學思想。 本環(huán)節(jié)在設計的時候，放手讓學生動手解決數(shù)學問題。體現(xiàn)把課堂真正回歸給學生的原則。培養(yǎng)學生自主學習的習慣、小組合作的精神及分析問題解決問題的能力。 3、深入探究優(yōu)化一次函數(shù)圖象的畫法 例1：（1）請大家畫出函數(shù)y=-3x+2的圖象?！編熒袨椤拷處熡^察學生畫圖的過程，從部分同學的多點畫圖，自然通過一次函數(shù)是一條直線的結論，根據(jù)兩點確定一條直線過渡到利用兩點法來畫一次函數(shù)的圖象。教師在黑板上嚴格板書，規(guī)范兩點法的作圖過程。提問1：你選擇了怎樣的兩點來進行畫圖？提問2：你選這兩個點的目的是什么？【師生行為】學生自然會選擇整點來畫函數(shù)的圖象，并

15、讓學生體會到取整點能方便作圖。同時，對于學生所取的不同點予以肯定。若學生提出?。?，2）點，教師追問學生：這個點有何特殊性？引導學生發(fā)現(xiàn)這個點是函數(shù)圖象與y軸的交點，進一步既然函數(shù)圖象與y軸有交點，那么是否與x軸也有類似的一個交點。從而自然引出以下問題： （2）求一次函數(shù)y=-3x+2與坐標軸交點的坐標【師生行為】根據(jù)以上的回答，讓學生自行總結，給定函數(shù)的解析式，求函數(shù)圖象與坐標軸的交點的坐標。 （3）根據(jù)一次函數(shù)的圖象，y=-3x這一正比例函數(shù)的圖象有何特點。在畫這個函數(shù)圖象的時候，你會選擇怎樣的點進行操作?！編熒袨椤繉W生已經(jīng)得出可以根據(jù)x=0及y=0求得一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標，利

16、用這一知識點，學生自然生成，對于特殊的一次函數(shù)y=-3x，當x=0時，y=0，這樣可以不通過畫圖直接判斷出正比例函數(shù)的圖象必然經(jīng)過原點，所以在作圖的時候，可以在平面直角坐標系中再找一個點即可。 提問3：請大家觀察y=-3x+2與y=-3x的函數(shù)圖象，他們之間有何關系？【師生行為】學生通過觀察函數(shù)的圖象，發(fā)現(xiàn)他們之間互相平行，進一步提出問題，對于一次函數(shù)的解析式，若兩個函數(shù)對應的圖象互相平行，他們的解析式要滿足什么條件，并把這一問題留給學生作為課后思考?！驹O計意圖】 一次函數(shù)的圖象的探究應經(jīng)歷圖象是一條直線、利用兩點法來優(yōu)化畫一次函數(shù)圖象的過程。本環(huán)節(jié)的設計，并不是通過教師簡單的告訴學生利用兩個

17、點來畫函數(shù)的圖象，通過學生的自主操作，部分學生可能還是利用選取多個點畫一次函數(shù)的圖象，部分學生根據(jù)已經(jīng)得到的結論利用兩個點來畫函數(shù)的圖象，這樣自然的生成讓學生的印象更加深刻，同時也體現(xiàn)數(shù)學思維的價值及數(shù)學的簡潔美。學生通過選取不同的點，引出求函數(shù)圖象與坐標軸的交點，讓學生深刻體會交點的意義及求法，并為接下來解決特殊的一次函數(shù)y=-3x的圖象作鋪墊。4、鞏固提高實際問題中一次函數(shù)的圖象 問題：利用兩點法快速畫出一次函數(shù)y=-x+6的圖象，并求得圖象與坐標軸的交點坐標。問題：對于上述函數(shù)，x，y分別表示長方形相鄰的兩條邊長，請確定x的取值范圍，并進一步確定此時函數(shù)的圖象?！編熒袨椤繉W生能快速解決

18、問題，并進一步強調函數(shù)圖象與坐標軸交點的求法。問題的設計讓學生自行畫圖，并最終明確當函數(shù)的自變量有相應取值范圍的時候，函數(shù)的圖象可能只是直線的一部分?！驹O計意圖】 問題的設計從兩點法出發(fā)，最終回歸到實際問題，讓學生充分體會數(shù)學的學習最終回歸到生活，為解決生活問題提供方法和依據(jù)。學生在畫函數(shù)圖象的時候，對于自變量的不同取值，確定函數(shù)的圖象，讓學生深刻體會數(shù)形結合這一重要數(shù)學思想。5、回顧思考知識的梳理及小結 現(xiàn)在，請同學們完成以下“問題清單”： （1）一次函數(shù)的圖象是什么圖形？ （2）怎樣畫一次函數(shù)的圖象？ （3）一次函數(shù)的解析式與它的圖象有何關系？ （4）你在學習過程中感受到了哪些思想方法？

19、（5）你在學習過程中有哪些新的體驗？ （6）觀察所畫的一次函數(shù)的圖象，你還發(fā)現(xiàn)了什么？ 并在知識樹當中把這些問題羅列出來【師生行為】學生自主總結本節(jié)課的學習內容，并把關鍵詞填入相應的知識樹中，并請同學上臺展示他們的學習成果。最后，教師予以課堂小結： 本節(jié)課，我們學習了一次函數(shù)的圖象。在數(shù)學方法上，我們經(jīng)歷了用描點法畫函數(shù)圖象的一般過程，并學習了用兩點法畫一次函數(shù)的圖象；在數(shù)學思想上，通過化歸的思想，我們把畫函數(shù)圖象的問題化歸成畫點的問題，體會了數(shù)形結合的重要思想，并用方程思想求函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標；在知識層面上，明確了函數(shù)圖象的概念、一次函數(shù)的圖象是一條直線等等。【設計意圖】 借助知識樹

20、對課堂進行小結梳理，打破了原本陳舊的歸納式的課堂小結，激發(fā)了學生學習數(shù)學的熱情，符合新課標的要求同時，從知識、方法、思想上進行小結，讓學生深刻體會數(shù)學的課堂不僅僅只是知識本身，隱藏在知識背后的數(shù)學思想、解決問題的方法才是我們要關注的地方，這些方法和思想便是學習數(shù)學的精髓。6、作業(yè)布置 A組：書本P157，課內練習1-2，作業(yè)題1-2 B組：書本P157，作業(yè)題67、目標檢測設計（1）在同一直角坐標系中，畫出下列函數(shù)的圖象，并寫出它們與坐標軸的交點坐標：，（2）一次函數(shù)y=2x-1的大致圖象是（ ）第（3）題圖 第（4）題圖（3）甲、乙兩人在一次賽跑中，路程s與時間t的關系如圖所示，這次賽跑的距

21、離是多少米？誰先到達終點？乙在這次賽跑中的速度是多少？（4）如圖，直線l經(jīng)過A(3，2)、B(1, 6)兩點,請問點C(6,8)、D(2a，4a4)在該直線上嗎？ （5）思考： 進一步觀察一次函數(shù)的圖象，你還能發(fā)現(xiàn)哪些結論？把你發(fā)現(xiàn)的結論盡可能多的寫下來。對于一次函數(shù)y=kx+b,當k,b發(fā)生變化時，函數(shù)的圖象在位置上有何特點？【設計意圖】檢測題（1）、（2）用于評價本節(jié)課的核心知識點，即鞏固并熟練畫一次函數(shù)圖象及求函數(shù)圖象與交點的坐標；檢測題（3）用于評價培養(yǎng)學生看函數(shù)圖象的能力，進一步體會函數(shù)圖象的優(yōu)越性；檢測題（4）用于評估學生進一步體會數(shù)形結合的數(shù)學思想，并掌握根據(jù)點的坐標轉化成自變量

22、和函數(shù)值的對應值，列得方程，求函數(shù)的解析式；檢測題（5）的設置為下節(jié)課研究一次函數(shù)圖象的性質作鋪墊。七、教學設計說明本節(jié)課的內容是一次函數(shù)的圖象。學習本節(jié)課之前，學生已學習了變量與函數(shù)、平面直角坐標系、以及一次函數(shù)的概念等有關的知識。本節(jié)是繼續(xù)學習反比例函數(shù)、二次函數(shù)圖象和性質的重要基礎。數(shù)形結合的思想、化歸思想是本節(jié)內容所包含的主要數(shù)學思想。在本課的教學中，嚴格遵循由感性到理性，將解一次函數(shù)的圖象知識與現(xiàn)實生活中學生熟悉的實際問題相結合，內化認識“一次函數(shù)的圖象是一條直線”。在重視課本例題的基礎上，適當對題目進行延伸，使例題的作用更加突出。本課例設計的思維方式即是圍繞三個方面開展的。首先讓學

23、生檢索本節(jié)課要研究的函數(shù)圖象與函數(shù)的表示方法等知識的聯(lián)系，以此來說明研究函數(shù)圖象的必要性和必然性；然后就如何根據(jù)函數(shù)的表達式畫出其圖象進行諸要素的探索，這些要素包括圖象、點、點的坐標、變量的對應取值等；最后是對一次函數(shù)圖象的畫法進行優(yōu)化、簡化、深化。上述活動過程，既體現(xiàn)課時目標，也有效地落實課程目標。從教材的內容編排和教學價值，我們做了如下分析：（1）從知識內容的完整性來分析。一次函數(shù)的圖象的知識要點是：一次函數(shù)幾何形狀、一條直線一次函數(shù)圖象的畫法、一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點坐標。當一次函數(shù)的自變量限制在某一范圍時如何畫此一次函數(shù)的圖象，但在教材中似乎沒有涉及到此類問題，需要教師對此類問題做相關示范解決。（2）從內容深度的挖掘來分析。用描點法畫出一次函數(shù)的圖象，通過觀察從感觀上認識到一次函數(shù)的圖象是一條直線，這也是本節(jié)課的難點所在。我們利用在兩點間不斷增加點的方法，逐步逼近，讓學生感覺到函數(shù)圖象是一條直線的研究方法，再用幾何畫板點追蹤的