大連理工線性代數(shù)四份試卷

1、武漢理工大學(xué)考試試題紙 （ 第 1 份卷）課程名稱 線性代數(shù)專業(yè)班級 2005 級本科題號 一二三四五六七八九十總分題分121240121212100備注 :學(xué)生不得在試題紙上答題( 含填空題、選擇題等客觀題 )一單項選擇題（每小題3 分，共 12 分）1. 設(shè) A, B 均為 n 階矩陣，且 ( AB)2A22ABB2 ，則必有 _；(A) BE(B) ABBA(C) AE(D)AB2.設(shè)向量組1 ,2 ,3 線性無關(guān) , 向量組 1,2 ,3 ,4 線性相關(guān) , 則以下命題中成立的是 _；(A)1 一定能由2 ,3 ,4 線性表示(B)2 一定能由1 ,3 ,4 線性表示(C)4 一定能由

2、1 ,2 ,3 線性表示(D)3 一定能由1 ,2 ,4 線性表示3.設(shè)1 , 2 是三元線性方程組 Axb 的兩個不同的解，且 R( A)2 ，則 Axb的通解為 x_；(A)k11k22 +12(B)k(12 )1222(C)k11k2 (12 )(D) k12k2 (21)2114.已知(1, k,1)T 是矩陣 A121 的特征向量，則 k_；112(A) 1或 2(B) -1 或 -2(C)-1 或2(D)1 或-2二填空題（每小題3 分，共 12 分）1011.210 _；3252. 如果 A 是 3 階可逆矩陣，互換 A 的第一、第二行，得矩陣 B ,且113A 1201 ，則

3、B 1 =_；00213.設(shè)向量 1 (1,1,1)T ,2(2,0, a)T , 3(1,3,2)T , 若1, 2 , 3 線性相關(guān)，則 a =_；4.已知 3 階方陣 A 的特征值為1、-1、2，則矩陣 A2E 的特征值為 _；三解答題（每小題8 分，共 40 分）111011011.計算行列式 Dn(n2) ；101101111012. 設(shè) 3階方陣 A，B滿足方程 A2B A BE ，試求矩陣 B ，其中 A020；2013.設(shè) A 為三階矩陣且 A1 ，求 (3A)12A* ；34.求向量組 1 (1, 1,2,4) T , 2(3,0,7,14) T ,3(0,3,1,2) T

4、, 4 (1, 1,2,0) T 的一個最大無關(guān)組，并將其余向量用該最大無關(guān)組線性表示；5.已知三階實對稱矩陣A 的三個特征值為10, 232，且對應(yīng)于特征值為 0 的特征向量為1 (1,0, 1)T ，求矩陣 A.x13 x2x30四 (12分) 設(shè)線性方程組為 x14 x2a x3b ，問： a 、 b 分別取何值時，方程組無解、2 x1x23 x35有唯一解、有無窮多解？并在有無窮多解時求出其通解 .五（12 分）設(shè)二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2x1x22x1 x32x2 x3 由正交變換 x Py 可化為標(biāo)準形f 2 y12 y22 y32 . 求 的值及正交矩陣

5、 P，并判斷該二次型的正定性 .六證明題（每小題6 分，共 12 分）1.設(shè)向量組1,2,3線性無關(guān),且1123，2123，3123.試證明向量組1,2, 3線性無關(guān) .2.若方陣 A、B 滿足 AEB,且B2B . 證明 A 可逆，并求 A 1 (用 A 的多項式表示 ).2武漢理工大學(xué)教務(wù)處試題標(biāo)準答案及評分標(biāo)準用紙課程名稱 :線性代數(shù)（ A卷）一、選擇題（每小題3 分，共 12 分）1.B2.C3.B4.D二、填空題 （每小題 3 分，共 12 分）1131.2；2. 021 ； 3.a=1；0024. 2,2,5；（注：本小題每個數(shù)字為一分，錯一個則減一分）三、 解答題（每小題 8 分

6、，共 40 分）1. 解：從第二列起，將其后各列加到第一列，有：r1rn0001n11101110r2rn0010rn 1rnn110111012 分(n1)Dnc1 (n 1)(n 1)0100n101110111111n 11111111n( n 1)(n 2)( n 1)( 1)n 1 ( 1) 2 (n 1) ( 1)2(n 1)4 分注：若采用其他方法計算出正確結(jié)果也應(yīng)給滿分，其正確的步驟也相應(yīng)給分。2. 由題，有 ( A2E) BAE202且 A2E030360,故 ( A2E) 可逆。402在等式左右兩邊左乘 ( A2E) 1得B( A2E) 1(A E)001101/ 20(A

7、 E)10100102001002 分2 分2 分2 分2 分3.解：3(3A) 12A*1 A31 A312AA12 分12 A 11 A 12 分3313A 12 分31, A13A3 ,上式1312 分339注：若前面所有步驟正確，最后計算出現(xiàn)符號錯誤，扣一分。13014.解：令矩陣A ( 1, 2, 3, 4)1031，并通過初等行變化化成最簡形，有：271241 42013011030A1031r 011027120001414200000故向量組 A的的一個最大無關(guān)組為1, 2, 4，且3312 。5.解：因為實對稱矩陣不同特征值所對應(yīng)的特征向量是正交的，設(shè)特征值為x ( x1 ,

8、 x2, x3 )T , 則有： x,10,即x1x301,0,1T0,1,0T其基礎(chǔ)解系為2,3,0若矩陣 A 相似與對角矩陣2，則2110相似變換矩陣為P1,2 ,3001，1101/ 201/ 2求得P11/ 201/2 ，0104 分2 分2 分2 時所對應(yīng)的特征向量為2 分2 分2 分40101由P1AP2, 得 APP10202 分2101注：本題也可使用參數(shù)法求解，即：a11a12a13設(shè) A a12a22a23,2 分a13a23a33a11a12a1311由題意有a12a22a230002 分a13a23a3311a11a12a11得 a11a13; a12a23; a13a

9、33 ，故矩陣 Aa12a22a12,a11a12a11由特征值為2 得A 2E0, 代入 A 得a222，2 分由特征多項式為AE(2)2 ，比較系數(shù)得 a111;a120101故A= 0202 分101131四 (共 12 分)解：線性方程組的系數(shù)矩陣為：A14a,21313101310r增廣矩陣為：A,b14ab011ab4 分213500a21 b故（ 1）當(dāng) a2,b 1,方程組無解；1 分(2) 當(dāng) a2時，方程組有唯一解；1 分（ 3）當(dāng) a2,b1,方程組有無窮解；2 分13101023當(dāng) a 2, b1,時，原增廣矩陣為 A,b1r42101112 分213500005其等價

10、方程組為：x12x33x2x3，故其通解為：123x ( x1, x2, x3 )Tc 11 ,c R10注：本題也可采用如下方法判斷方程組有唯一解：系數(shù)行列式為：A5(a2) ，故當(dāng) a2時，方程組有唯一解；若 a=-2 時，代入原方程組進行化簡，其計算步驟和評分標(biāo)準同上。五（共 12 分）011解： f 的矩陣 A 101，有特征值 121,32故1110當(dāng)1時，解方程組 ( A E)x 0, 得方程組的基礎(chǔ)解系為：1111， 20,0111正交單位化，有：1， 21；1112602當(dāng)2 時，解方程組 ( A 2E) x 0, 得方程組的基礎(chǔ)解系為：11131, 單位化，得： 313111

11、11236令P1,2,3111, 故 xP y 即為所求的正交變換。36212036因為矩陣A 特征值不全為正，故為非正定型（或不定）。六（每小題6 分，共 12 分）1. 證明：設(shè)有k1 , k2 , k3 使 k1 1k22k3 30，則有： k1123k2 (123 )k3( 1 2 3 ) 02 分2 分2 分3 分2 分2 分1 分2 分6即： (k1k2k3) 1 ( k1 k2k3 ) 2( k1k2 k3 ) 30k1k2k30由于 1,2 ,3 線性無關(guān)，則必有k1k2k302 分k1k2k30解得： k1k 2k30 ，所以，1 ,2 ,3 線性無關(guān)。2 分2. 證明：由

12、AEBBAE; B2(A E)2A22 AE2 分B B2AEA22A E,即A23A 2E0 ，2 分故有： A( A 3E)-2EA11( A3E)2 分0,故 A可逆，且 A=27武漢理工大學(xué)考試試題紙 （ 第 2 份卷）課程名稱線性代數(shù) A專業(yè)班級全校有關(guān)專業(yè)題號 一二三四五六七八九十總分題分151540101010100備注 :學(xué)生不得在試題紙上答題( 含填空題、選擇題等客觀題)一、單項選擇題（每題3 分，共 15 分）1 、已知四階行列式 D中第三列元素依次為 -1 ，2，0，1，它們的余子式依次分別為5，3，-7 ，4，則 D=(A.-15B.15C.0D.12、設(shè) A 是 mn

13、 矩陣， B 是 nm 矩陣，則（）A 當(dāng) mn 時，必有行列式 AB0； B當(dāng) mn 時，必有行列式 AB0C 當(dāng) m n 時，必有行列式 AB 0； D當(dāng) m n 時，必有行列式 AB 03、設(shè) 1,2, 3為 R3的一個基，則下列仍為 R3的一個基的是（）A. 123, 22,123B.12,23 , 13C.12 , 23,2 12 3D.13 , 12,2 1234、對非齊次方程組 Am n xb ，設(shè) R( A)r ，則 ()A.rm 時，方程組 Axb 有解；B.rn 時，方程組 Axb 有唯一解C. mn 時，方程組 Axb 有唯一解； D. rn 時，方程組 Axb 有無窮多

14、解5、下列命題中不正確的是 ()A.合同矩陣的秩必相等B.與對稱矩陣合同的矩陣仍是對稱陣C. AAT 與 AT A 都是二次型的矩陣D. 行列式大于零的矩陣是正定矩陣二、填空題（每題3 分，共 15 分）10121、設(shè)11, 21, 32為 R 3 的一個基，則0在該基下的坐標(biāo)為。0110821112、設(shè)A1121，則R( A)_ 462236973、若二次型 fx122x22tx322 x1 x22x1 x34x2 x3 為正定二次型，則 t。4、若1233, 4212,則 13412。、設(shè)A是n階矩陣，A2，*是 AA 有特征值*1的伴隨矩陣若，則2A必有一個特征5A值是三、解答題。（每題

15、 8 分，共 40 分）100010100200103（8 分）1、求0001n123n01230012、求矩陣方程 AXB，其中A321, B010 。（8 分）1111003、設(shè) 1(1k,1,1),2 (1,1k,1), 3(1,1,1k ), 及(0, k, k 2 ), 試求：當(dāng) k 為何值時可由1 , 2 , 3 線性表出，并且表示法唯一。（8 分）2114、求 A020 的特征值和特征向量。（ 8 分）413、設(shè) A為3階矩陣，A1，求 (2 A)15A。（8 分）529四、當(dāng) a 、 b 為何值時，線性方程組x1x2x3x40x22 x32x41x2a3x32 x4b3 x12

16、 x2x3ax41有唯一解，無解，有無窮多組解，并求出有無窮多組解時的通解（10 分）200200五、設(shè)矩陣 A 與 B 相似，其中 A 001, B010，01x001求 x ;求正交陣 P，使得 PT APB .（10 分）六、證明題。（每題 5分，共 10 分）1、設(shè) A 是 n 階矩陣，如果存在正整數(shù) k ，使得 A kO （ O 為 n 階零矩陣）， 則矩陣 A 的特征值全為 02、設(shè)向量組 1 , 2,r 是齊次方程組 AX0 的一個基礎(chǔ)解系，向量不是方程組 AX 0的解，求證：,1 , ,r 線性無關(guān)。10武漢理工大學(xué)教務(wù)處試題標(biāo)準答案及評分標(biāo)準用紙課程名稱：線性代數(shù)A（ A卷）

17、一、選擇題（每題3 分，共 15 分）1、A2 、B 3、B 4、A5、D二、填空題（每題3 分，共 15 分）1、1，1，-12、33、24、15 、4三、解答題（每題8 分，共 40 分）100011000010001002001000103rn 1r1 2r2 . n rn1231 100010 0 0n00000nn（5 分）123nni i (8分 )i 11231001231002. 解：3210100883101110010341011231001231000113100 1 1310 (3分)8888034101001131881211931003110888801110 1

18、0111 (5分)1 022220013100113118888iii 111311188123113211(6分)221111318811388故X A1B111（8分）2213188123001123001(解法2)：321010088 0 131111000341011230011230010 1101 301101 3 (3分)88880341010011318812039111001138888010111010111分 )222(62001131001131888811388故 X111（8分）22131881 k11 01 11 kk 21 11 kk2311k1k0kkk(1k

19、)0kkk (1k )，（ 4111k k2003kk 2 k2k 2k300k (k3) k(1 2kk 2 )12分）當(dāng) k0且 k3時可由1, 2 , 3 線性表出，并且表示法唯一。分）4解 :211IA020(1)(2)2413解得特征值11,232。分）1解齊次線性方程組 (EA) X0得基礎(chǔ)解系為101c1故對應(yīng)于11的特征值為：c110 其中 c10c1分）解齊次線性方程組(2 EA) X0 得基礎(chǔ)解系為：114421,3001分）故對應(yīng)于232 的特征值向量為：1 (c2 c3 )4c2 2c3 3c2其中 c2 , c3不全 0 。c3分）5解：因為 A 11 A*，|A|分

20、）所以 |(2A)1 5A*| |1A 15|A|A1| |1A 15A1|222（8（ 3（ 5（ 7（ 8（2（513分）A 13|A 1A182 16|2|(2)| 8|分）四、解： 將方程組的增廣矩陣A 用初等行變換化為階梯矩陣：11110111100122101221A1 a 32 b00a 1 0b 10321a1000a 1 0分）所以，當(dāng) a1時， r Ar A4 ，此時線性方程組有唯一解 當(dāng) a1， b1時， r A2， rA 3 ，此時線性方程組無解 當(dāng) a1， b1時， r ArA2 ，此時線性方程組有無窮多組解分）此時，原線性方程組化為x1x2x3x40x22x32x4

21、1因此，原線性方程組的通解為x1x3x41x22x32x41x3x3x4x4或者寫為x1111x2221x3k1 1k200x3010分）五、解：因 A 與 B 相似，故有21( 1)20x（ 8（3（6（ 1014解得 x0 . （ 2 分）A 的特征根為 11, 2 1, 3 2.（3分）解齊次線性方程組EAX0，得0對應(yīng)于 11的特征向量為 P1*1，將它單位化得 P110對應(yīng)于 21 的特征向量為 P2*1，將它單位化得 P21分）1對應(yīng)于 32 的特征向量為 P3*P30.001 . （5分）21201.212（ 7（ 9分）令 PP,P,P ，則 PP,P,P即為所求正交矩陣 .3

22、21321分）六 1、設(shè)是矩陣 A 的特征值，0 是矩陣 A 的屬于的特征向量，則有A 所以， A k A k 1 AA k 1 k ，分）但是 A kO ，所以k 0 ，但 0 ，所以0 分）2、假設(shè),1 ,r 線性有關(guān)，則存在不全為零的0 , 1 , r 使得（ 10（ 3（ 51501(1)r (r ) 0 ，于是 (01r ) = 1 1r r ，（2分）又由于1 , 2 , r 的線性無關(guān)性知( 01r )0 ，于是（4分）1（ 1 1r r ），這與已知向量不是方程組 AX0 的解矛盾。（ 501r分）16武漢理工大學(xué) 考試試題紙 （第三份 卷）課程名稱線性代數(shù)專業(yè)班級全校 07

23、級本科題號 一二三四五六七八九十總分題分121236151510100備注 :學(xué)生不得在試題紙上答題(含填空題、選擇題等客觀題)一、填空題（每小題3 分，共 12分）7291、已知 Aij 是行列式102的元素 aij (i, j1,2,3) 的代數(shù)余子式，則8A112A12 _；1012、設(shè)矩陣 Adiag (1,2,1) ， A*為 A 的伴隨矩陣，且A* BA2E，則 B_；3、設(shè)向量組1 ，2 ，3 是 R3 空間的一組基，要使1 t 2 ， t12 ， 3 可以構(gòu)成 R3 空間的一組基，則 t 必須滿足；4、要 使實二次型 f ( x, y, z)k( x 2y2z2 )2xy2xz 為正定的，則必有k 的值滿足。二、單項選擇題（每小題3 分，共 12 分）13階矩陣，若Ak，則kA；、設(shè) A為(A)k 4 ；(B)k 3；(C)3k ；(D)k ；2、設(shè) 有齊次線性方程組Ax0 和 Bx0 ，其中 A， B 均為 mn 矩陣，則下列命題正確的是；(A)若 Ax0 的解均是 Bx0 的解，則 R( A)R(B) ；(B)若 R(