N階矩陣的冪運(yùn)算畢業(yè)論文

1、大理學(xué)院本科畢業(yè)論文n階矩陣的冪運(yùn)算The power operation of n-order matrix學(xué) 院： 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院 項(xiàng)目組成員： 自己姓名 指導(dǎo)教師 ： 老師姓名 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)專業(yè) 年級（班級）： 起止日期 ： 制表日期： 年 月 日摘要： 一個(gè)階矩陣的冪運(yùn)算是矩陣論中基本運(yùn)算問題，在給定的矩陣的階數(shù)較高時(shí)，計(jì)算量很大。本文針對該問題，結(jié)合實(shí)例介紹了數(shù)學(xué)歸納法、二項(xiàng)式展開法、乘法結(jié)合律方法、分塊對角矩陣法、標(biāo)準(zhǔn)形法、最小多項(xiàng)式法及特殊矩陣法等多種方陣高次冪求解方法，為階矩陣的冪運(yùn)算提供一個(gè)參照。關(guān)鍵詞： 矩陣的冪；相似矩陣；分塊矩陣；標(biāo)準(zhǔn)形；最小多項(xiàng)式；特殊矩陣；圖論算

2、法Abstract： The power operation of a n-order matrix is a fundamental operation in matrix theory.When the given matrix has a high order which will lead to a complex operation.On this question,this paper will introduce many methods to find the solution of high order matrix combine with some living exam

3、ples,such as mathematical induction,multiplication law of association ,binomial expansion method,block diagonal matrix, Jordan standard form, minimum polynomials method and special matrix which offer a reference to the power operation of n-order matrix.Key words： The power of matrix；similar matrix；p

4、artitioning of matrix; Jordan standard form; minimum polynomials; special matrix; algorithm of graph theory目 錄引言11 預(yù)備知識11.1 矩陣的冪的概念及其運(yùn)算律12 階矩陣的高次冪的若干算法及應(yīng)用舉例12.1 利用數(shù)學(xué)歸納法求解方陣高次冪12.2 利用二項(xiàng)式展開法求解方陣高次冪22.3 利用矩陣乘法結(jié)合律求解方陣高次冪32.4 利用分塊對角矩陣求解方陣高次冪42.5 利用標(biāo)準(zhǔn)形求解方陣高次冪52.6 用最小多項(xiàng)式法求解方陣高次冪62.7 特殊矩陣法求解方陣高次冪72.7.1 對合矩陣

5、72.7.2 冪等矩陣82.8 利用圖論算法求解方陣高次冪92.8.1 鄰接矩陣92.8.2 的元素的意義93 結(jié)束語10參考文獻(xiàn)12致謝13引言矩陣?yán)碚撌歉叩却鷶?shù)的主要內(nèi)容之一。矩陣?yán)碚摵头椒▽τ趫D論的研究起了很重要的推動(dòng)作用，同時(shí)也是數(shù)學(xué)及許多科學(xué)領(lǐng)域中的重要工具，它有著廣泛的應(yīng)用。掌握矩陣的運(yùn)算及它們的運(yùn)算規(guī)律是學(xué)習(xí)矩陣知識的一個(gè)重要環(huán)節(jié)。矩陣的冪運(yùn)算以矩陣的乘法運(yùn)算為基礎(chǔ)，而矩陣的冪運(yùn)算是比較麻煩的，因此，不斷尋找簡便的算法便成為矩陣冪運(yùn)算方面的重要課題。目前，對于矩陣高次冪的運(yùn)算問題，有許多人進(jìn)行過研究，本文在此基礎(chǔ)上，以分類討論的思想，系統(tǒng)全面地介紹了一般階矩陣及一些特殊矩陣的高次

6、冪的求解方法。對簡單矩陣的低次冪的求解可直接按矩陣乘法的定義求解，對秩為1的階矩陣可考慮用矩陣乘法結(jié)合律方法求解，另外還有二項(xiàng)式展開法、分塊對角矩陣法、一般的階矩陣可采用標(biāo)準(zhǔn)形法、最小多項(xiàng)式等求解方法，以及特殊矩陣法（如：對合矩陣、冪等矩陣的高次冪求法）、圖論算法。諸方法為階矩陣的冪運(yùn)算提供一個(gè)參照。在實(shí)際應(yīng)用中，可根據(jù)方陣的不同特征采用不同的計(jì)算方法以簡化計(jì)算。1 預(yù)備知識1.1 矩陣的冪的概念及其運(yùn)算律在矩陣的運(yùn)算中，乘法是經(jīng)常用到的一種運(yùn)算。特別地，當(dāng)一個(gè)矩陣為方陣時(shí)，可以定義矩陣與它自身的乘法運(yùn)算，即矩陣的冪。定義（矩陣的冪）1設(shè)是矩陣（階方陣），是正整數(shù)，則稱為的次冪。由方陣的冪的定

7、義，顯然有以下運(yùn)算律：；，其中，為非負(fù)整數(shù)。2 階矩陣的高次冪的若干算法及應(yīng)用舉例2.1 利用數(shù)學(xué)歸納法求解方陣高次冪該方法的思路是通過計(jì)算，等，從中發(fā)現(xiàn)的元素的規(guī)律，再用數(shù)學(xué)歸納法證明。例1 已知矩陣，試求（為自然數(shù)）解：可求得,觀察這些矩陣的規(guī)律可以看到, 的第1行元素是展開式的三項(xiàng)元素,而的第1行元素是展開式的前三項(xiàng)，由此推測，的第1行元素應(yīng)該是的展開式的前三項(xiàng)元素，現(xiàn)假設(shè)，顯然當(dāng)時(shí)是成立的；則，即時(shí)結(jié)論也成立，故由歸納假設(shè)法知上述結(jié)論正確2.2 利用二項(xiàng)式展開法求解方陣高次冪若階矩陣可分解為,且矩陣與的高次冪容易計(jì)算， （即與可交換，否則二項(xiàng)展開公式不成立），則有特別：若階矩陣的主對角

8、上元素相同，這樣可表為一個(gè)純量矩陣與另一個(gè)矩陣之和，即，且的高次冪易計(jì)算，則采用該方法較直觀例2 對例1中的矩陣，將矩陣分解為，其中，可以驗(yàn)證矩陣滿足，且,即與可交換，由二項(xiàng)式展開公式得： 2.3 利用矩陣乘法結(jié)合律求解方陣高次冪對于階矩陣，若，則矩陣至少有一行元素不為零，且其余各行元素都是它的倍數(shù)，于是秩為1的的矩陣的一般形式為，若設(shè)，均為非零實(shí)數(shù)，則，記，則有這種方法就稱矩陣的乘法結(jié)合律2例3 已知矩陣，求（為自然數(shù)）解：對施行初等變換，不難發(fā)現(xiàn)，考慮用乘法結(jié)合律：取，則，且，于是2.4 利用分塊對角矩陣求解方陣高次冪當(dāng)一個(gè)階矩陣的階數(shù)比較大時(shí)，可以通過用一些橫線和豎線將矩陣分成許多小塊，

9、這些小塊稱為矩陣的子陣。若階矩陣可分成分塊對角陣形式，則可以將高階矩陣的高次冪計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為簡單子陣的高次冪計(jì)算問題，從而達(dá)到簡化計(jì)算的目的即對于分塊對角矩陣，有，其中均為方陣3例4 已知，求（為自然數(shù)）解：矩陣可分塊為,其中于是，下面求與，由于，其中，于是又有,其中，且，由二項(xiàng)式展開公式得故2.5 利用標(biāo)準(zhǔn)形求解方陣高次冪我們知道，若與階對角陣相似，則可求出一個(gè)階可逆陣，使：,于是；若不與階對角陣相似（即不可對角化），則可用Jordan標(biāo)準(zhǔn)形法來求解定理（定理）4 設(shè)，則 與一個(gè)矩陣相似，這個(gè)矩陣除去其中塊的排列次序外是被矩陣唯一確定的，稱為的標(biāo)準(zhǔn)形（即存在階可逆矩陣，使：，其中為階塊，則，

10、故有）此時(shí)要用到求塊的方冪的如下結(jié)果：，其中，且規(guī)定為的特征根可見該方法更具有一般性，應(yīng)用它可計(jì)算任何階矩陣的高次冪例5 設(shè)矩陣，求（）解：由于，從而的初等因子為，故相似于標(biāo)準(zhǔn)形下求矩陣，使：,設(shè)，有,經(jīng)計(jì)算得：,則，且有，故有2.6 用最小多項(xiàng)式法求解方陣高次冪定理（定理）5設(shè)階矩陣是其特征多項(xiàng)式的根（零點(diǎn)），即令則由以上定理知，以為根的多項(xiàng)式有很多，但把首項(xiàng)系數(shù)為、次數(shù)最小且以為根的多項(xiàng)式，稱為的最小多項(xiàng)式，常用表示這說明的最小多項(xiàng)式是其特征多項(xiàng)式的因式，該事實(shí)有一般性，且有以下結(jié)論：可整除以為根的任何首項(xiàng)系數(shù)為的多項(xiàng)式，且是唯一的；與有相同的根（不計(jì)重?cái)?shù)）；兩相似矩陣的最小多項(xiàng)式相同；，

11、其中是的第個(gè)不變因子例6 設(shè)，計(jì)算解：由于的特征多項(xiàng)式為：，而,故：，當(dāng)，設(shè)，（其中），不妨令，從而有：，亦即，解之得，于是2.7 特殊矩陣法求解方陣高次冪2.7.1 對合矩陣定義1 設(shè)為階矩陣，若有，則稱為對合矩陣性質(zhì)6 (1)；(2)滿足的一切二階方陣為，其中推廣性質(zhì)6 若有，則例7 設(shè)，試求（為自然數(shù)）解：記，易知，即為對合矩陣，故，由得 特別地：時(shí)，有； 時(shí)，有； 時(shí)，有2.7.2 冪等矩陣定義1 設(shè)為階矩陣，若有，則稱為冪等矩陣性質(zhì)6 (1)；(2)滿足的一切二階方陣有：及形如的矩陣推廣性質(zhì)6 若有，則例8 已知，求解：由，故為冪等矩陣，由其性質(zhì)知 2.8 利用圖論算法求解方陣高次冪

12、若圖是結(jié)點(diǎn)集合和邊的集合所組成的一個(gè)系統(tǒng)，是由0和1為元素組成的階矩陣2.8.1 鄰接矩陣定義7 設(shè)一有向圖，其中，假定各結(jié)點(diǎn)從到排列，定義一個(gè)，中的元素為，稱為圖的鄰接矩陣，稱圖為的相關(guān)圖顯然任意一個(gè)階矩陣都有一個(gè)相關(guān)圖2.8.2 的元素的意義當(dāng)表示存在一條邊，或者說從到存在一條長度為1的通路；，中的元素，據(jù)圖論知識：表示從結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)長度為2的路徑的數(shù)目，（，則長度為2的路徑不存在），表示長度為2的回路數(shù)目一般地，表示從結(jié)點(diǎn)到結(jié)點(diǎn)長度為的路徑的數(shù)目，同理表示長度為的路徑不存在，表示長度為的回路數(shù)目7據(jù)此，可得到階矩陣冪運(yùn)算的圖論算法步驟：第一步：據(jù)所給的階矩陣，畫出其相關(guān)圖，；第二步：在圖上

13、逐步找出從結(jié)長度為的路徑數(shù)目；第三步：寫出階矩陣，便得到所求的冪矩陣?yán)? 設(shè)，試求解：先畫出矩陣的相關(guān)有向圖如右圖所示： 從圖可算出：從結(jié)點(diǎn)到 長度為3的路徑數(shù)目為 其余長度為3的路徑都不存在，故說明：當(dāng)已知方陣的相關(guān)有向圖較復(fù)雜時(shí)，此方法的運(yùn)算量較大，不提倡采用該方法，在此，僅作為一種階矩陣的冪運(yùn)算的方法提出3 結(jié)束語在具體求解一個(gè)方陣的高次冪時(shí)，根據(jù)方陣的不同特征采用不同的計(jì)算方法是求方陣高次冪的關(guān)鍵。上述介紹的幾種方法不一定全是最簡單的，也不是獨(dú)立存在的，有時(shí)還需要相互配合使用（如例4結(jié)合使用了方法3與方法4）。總之，在方陣高次冪的求解過程中要充分運(yùn)用矩陣的特征尋求的最佳計(jì)算方法，這對于

14、溝通矩陣各部分內(nèi)容之間的聯(lián)系及推廣思路，是大有裨益的，而能熟練選擇出最簡單的計(jì)算方法的能力需要在實(shí)踐中逐步提高。參考文獻(xiàn)1 徐仲等高等代數(shù)考研教案(M)2版西北工業(yè)大學(xué)出版社2009，7(1):1651722 姜海勤特殊方陣高次冪的簡單算法(J)揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)2003，7(3):44453 李戰(zhàn)國，盧亞麗等方陣高次冪計(jì)算方法研究(J)河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)2002，11(4):234 張禾瑞，赦炳新高等代數(shù)(M)5版高等教育出版社2007:4294305 程云鵬矩陣論(M)2版西北工業(yè)大學(xué)出版社2005，9:52576 嚴(yán)文利求矩陣冪的幾種方法(J)淮陰工業(yè)?？茖W(xué)校1994，10(1):1891917 杜忠復(fù)，陳兆均離散數(shù)學(xué)(M)高等教育出版社2004，4(1):105109致 謝經(jīng)過近半年的忙碌，終于完成了本次畢業(yè)論文的書寫與修改整個(gè)過程。一路走來，在感受艱辛的同時(shí)也沐浴了關(guān)愛。在這里，首先要衷心地感謝我的指導(dǎo)老師張老師。本論文從選題、構(gòu)思到最后定稿等環(huán)節(jié)張老師都給予我耐心的指導(dǎo)。張老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度、淵博的知識、敏銳的學(xué)術(shù)思維、認(rèn)真負(fù)責(zé)的工作態(tài)度以及誨人不倦的師者風(fēng)范是我畢生的學(xué)習(xí)楷模。導(dǎo)師的悉心教誨，是鞭策我不知疲倦探究問題的力量源泉；導(dǎo)師的學(xué)術(shù)遠(yuǎn)見，拓展了我的視野和研究思路。總之，張老師不僅在學(xué)