N階矩陣的冪運算畢業(yè)論文

1、大理學院本科畢業(yè)論文n階矩陣的冪運算The power operation of n-order matrix學 院： 數(shù)學與計算機學院 項目組成員： 自己姓名 指導教師 ： 老師姓名 專 業(yè)： 數(shù)學專業(yè) 年級（班級）： 起止日期 ： 制表日期： 年 月 日摘要： 一個階矩陣的冪運算是矩陣論中基本運算問題，在給定的矩陣的階數(shù)較高時，計算量很大。本文針對該問題，結合實例介紹了數(shù)學歸納法、二項式展開法、乘法結合律方法、分塊對角矩陣法、標準形法、最小多項式法及特殊矩陣法等多種方陣高次冪求解方法，為階矩陣的冪運算提供一個參照。關鍵詞： 矩陣的冪；相似矩陣；分塊矩陣；標準形；最小多項式；特殊矩陣；圖論算

2、法Abstract： The power operation of a n-order matrix is a fundamental operation in matrix theory.When the given matrix has a high order which will lead to a complex operation.On this question,this paper will introduce many methods to find the solution of high order matrix combine with some living exam

3、ples,such as mathematical induction,multiplication law of association ,binomial expansion method,block diagonal matrix, Jordan standard form, minimum polynomials method and special matrix which offer a reference to the power operation of n-order matrix.Key words： The power of matrix；similar matrix；p

4、artitioning of matrix; Jordan standard form; minimum polynomials; special matrix; algorithm of graph theory目 錄引言11 預備知識11.1 矩陣的冪的概念及其運算律12 階矩陣的高次冪的若干算法及應用舉例12.1 利用數(shù)學歸納法求解方陣高次冪12.2 利用二項式展開法求解方陣高次冪22.3 利用矩陣乘法結合律求解方陣高次冪32.4 利用分塊對角矩陣求解方陣高次冪42.5 利用標準形求解方陣高次冪52.6 用最小多項式法求解方陣高次冪62.7 特殊矩陣法求解方陣高次冪72.7.1 對合矩陣

5、72.7.2 冪等矩陣82.8 利用圖論算法求解方陣高次冪92.8.1 鄰接矩陣92.8.2 的元素的意義93 結束語10參考文獻12致謝13引言矩陣理論是高等代數(shù)的主要內容之一。矩陣理論和方法對于圖論的研究起了很重要的推動作用，同時也是數(shù)學及許多科學領域中的重要工具，它有著廣泛的應用。掌握矩陣的運算及它們的運算規(guī)律是學習矩陣知識的一個重要環(huán)節(jié)。矩陣的冪運算以矩陣的乘法運算為基礎，而矩陣的冪運算是比較麻煩的，因此，不斷尋找簡便的算法便成為矩陣冪運算方面的重要課題。目前，對于矩陣高次冪的運算問題，有許多人進行過研究，本文在此基礎上，以分類討論的思想，系統(tǒng)全面地介紹了一般階矩陣及一些特殊矩陣的高次

6、冪的求解方法。對簡單矩陣的低次冪的求解可直接按矩陣乘法的定義求解，對秩為1的階矩陣可考慮用矩陣乘法結合律方法求解，另外還有二項式展開法、分塊對角矩陣法、一般的階矩陣可采用標準形法、最小多項式等求解方法，以及特殊矩陣法（如：對合矩陣、冪等矩陣的高次冪求法）、圖論算法。諸方法為階矩陣的冪運算提供一個參照。在實際應用中，可根據(jù)方陣的不同特征采用不同的計算方法以簡化計算。1 預備知識1.1 矩陣的冪的概念及其運算律在矩陣的運算中，乘法是經常用到的一種運算。特別地，當一個矩陣為方陣時，可以定義矩陣與它自身的乘法運算，即矩陣的冪。定義（矩陣的冪）1設是矩陣（階方陣），是正整數(shù)，則稱為的次冪。由方陣的冪的定

7、義，顯然有以下運算律：；，其中，為非負整數(shù)。2 階矩陣的高次冪的若干算法及應用舉例2.1 利用數(shù)學歸納法求解方陣高次冪該方法的思路是通過計算，等，從中發(fā)現(xiàn)的元素的規(guī)律，再用數(shù)學歸納法證明。例1 已知矩陣，試求（為自然數(shù)）解：可求得,觀察這些矩陣的規(guī)律可以看到, 的第1行元素是展開式的三項元素,而的第1行元素是展開式的前三項，由此推測，的第1行元素應該是的展開式的前三項元素，現(xiàn)假設，顯然當時是成立的；則，即時結論也成立，故由歸納假設法知上述結論正確2.2 利用二項式展開法求解方陣高次冪若階矩陣可分解為,且矩陣與的高次冪容易計算， （即與可交換，否則二項展開公式不成立），則有特別：若階矩陣的主對角

8、上元素相同，這樣可表為一個純量矩陣與另一個矩陣之和，即，且的高次冪易計算，則采用該方法較直觀例2 對例1中的矩陣，將矩陣分解為，其中，可以驗證矩陣滿足，且,即與可交換，由二項式展開公式得： 2.3 利用矩陣乘法結合律求解方陣高次冪對于階矩陣，若，則矩陣至少有一行元素不為零，且其余各行元素都是它的倍數(shù)，于是秩為1的的矩陣的一般形式為，若設，均為非零實數(shù)，則，記，則有這種方法就稱矩陣的乘法結合律2例3 已知矩陣，求（為自然數(shù)）解：對施行初等變換，不難發(fā)現(xiàn)，考慮用乘法結合律：取，則，且，于是2.4 利用分塊對角矩陣求解方陣高次冪當一個階矩陣的階數(shù)比較大時，可以通過用一些橫線和豎線將矩陣分成許多小塊，

9、這些小塊稱為矩陣的子陣。若階矩陣可分成分塊對角陣形式，則可以將高階矩陣的高次冪計算問題轉化為簡單子陣的高次冪計算問題，從而達到簡化計算的目的即對于分塊對角矩陣，有，其中均為方陣3例4 已知，求（為自然數(shù)）解：矩陣可分塊為,其中于是，下面求與，由于，其中，于是又有,其中，且，由二項式展開公式得故2.5 利用標準形求解方陣高次冪我們知道，若與階對角陣相似，則可求出一個階可逆陣，使：,于是；若不與階對角陣相似（即不可對角化），則可用Jordan標準形法來求解定理（定理）4 設，則 與一個矩陣相似，這個矩陣除去其中塊的排列次序外是被矩陣唯一確定的，稱為的標準形（即存在階可逆矩陣，使：，其中為階塊，則，

10、故有）此時要用到求塊的方冪的如下結果：，其中，且規(guī)定為的特征根可見該方法更具有一般性，應用它可計算任何階矩陣的高次冪例5 設矩陣，求（）解：由于，從而的初等因子為，故相似于標準形下求矩陣，使：,設，有,經計算得：,則，且有，故有2.6 用最小多項式法求解方陣高次冪定理（定理）5設階矩陣是其特征多項式的根（零點），即令則由以上定理知，以為根的多項式有很多，但把首項系數(shù)為、次數(shù)最小且以為根的多項式，稱為的最小多項式，常用表示這說明的最小多項式是其特征多項式的因式，該事實有一般性，且有以下結論：可整除以為根的任何首項系數(shù)為的多項式，且是唯一的；與有相同的根（不計重數(shù)）；兩相似矩陣的最小多項式相同；，

11、其中是的第個不變因子例6 設，計算解：由于的特征多項式為：，而,故：，當，設，（其中），不妨令，從而有：，亦即，解之得，于是2.7 特殊矩陣法求解方陣高次冪2.7.1 對合矩陣定義1 設為階矩陣，若有，則稱為對合矩陣性質6 (1)；(2)滿足的一切二階方陣為，其中推廣性質6 若有，則例7 設，試求（為自然數(shù)）解：記，易知，即為對合矩陣，故，由得 特別地：時，有； 時，有； 時，有2.7.2 冪等矩陣定義1 設為階矩陣，若有，則稱為冪等矩陣性質6 (1)；(2)滿足的一切二階方陣有：及形如的矩陣推廣性質6 若有，則例8 已知，求解：由，故為冪等矩陣，由其性質知 2.8 利用圖論算法求解方陣高次冪

12、若圖是結點集合和邊的集合所組成的一個系統(tǒng)，是由0和1為元素組成的階矩陣2.8.1 鄰接矩陣定義7 設一有向圖，其中，假定各結點從到排列，定義一個，中的元素為，稱為圖的鄰接矩陣，稱圖為的相關圖顯然任意一個階矩陣都有一個相關圖2.8.2 的元素的意義當表示存在一條邊，或者說從到存在一條長度為1的通路；，中的元素，據(jù)圖論知識：表示從結點到結點長度為2的路徑的數(shù)目，（，則長度為2的路徑不存在），表示長度為2的回路數(shù)目一般地，表示從結點到結點長度為的路徑的數(shù)目，同理表示長度為的路徑不存在，表示長度為的回路數(shù)目7據(jù)此，可得到階矩陣冪運算的圖論算法步驟：第一步：據(jù)所給的階矩陣，畫出其相關圖，；第二步：在圖上

13、逐步找出從結長度為的路徑數(shù)目；第三步：寫出階矩陣，便得到所求的冪矩陣例9 設，試求解：先畫出矩陣的相關有向圖如右圖所示： 從圖可算出：從結點到 長度為3的路徑數(shù)目為 其余長度為3的路徑都不存在，故說明：當已知方陣的相關有向圖較復雜時，此方法的運算量較大，不提倡采用該方法，在此，僅作為一種階矩陣的冪運算的方法提出3 結束語在具體求解一個方陣的高次冪時，根據(jù)方陣的不同特征采用不同的計算方法是求方陣高次冪的關鍵。上述介紹的幾種方法不一定全是最簡單的，也不是獨立存在的，有時還需要相互配合使用（如例4結合使用了方法3與方法4）。總之，在方陣高次冪的求解過程中要充分運用矩陣的特征尋求的最佳計算方法，這對于

14、溝通矩陣各部分內容之間的聯(lián)系及推廣思路，是大有裨益的，而能熟練選擇出最簡單的計算方法的能力需要在實踐中逐步提高。參考文獻1 徐仲等高等代數(shù)考研教案(M)2版西北工業(yè)大學出版社2009，7(1):1651722 姜海勤特殊方陣高次冪的簡單算法(J)揚州職業(yè)大學學報2003，7(3):44453 李戰(zhàn)國，盧亞麗等方陣高次冪計算方法研究(J)河南教育學院學報(自然科學版)2002，11(4):234 張禾瑞，赦炳新高等代數(shù)(M)5版高等教育出版社2007:4294305 程云鵬矩陣論(M)2版西北工業(yè)大學出版社2005，9:52576 嚴文利求矩陣冪的幾種方法(J)淮陰工業(yè)?？茖W校1994，10(1):1891917 杜忠復，陳兆均離散數(shù)學(M)高等教育出版社2004，4(1):105109致 謝經過近半年的忙碌，終于完成了本次畢業(yè)論文的書寫與修改整個過程。一路走來，在感受艱辛的同時也沐浴了關愛。在這里，首先要衷心地感謝我的指導老師張老師。本論文從選題、構思到最后定稿等環(huán)節(jié)張老師都給予我耐心的指導。張老師嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度、淵博的知識、敏銳的學術思維、認真負責的工作態(tài)度以及誨人不倦的師者風范是我畢生的學習楷模。導師的悉心教誨，是鞭策我不知疲倦探究問題的力量源泉；導師的學術遠見，拓展了我的視野和研究思路?？傊?，張老師不僅在學