06利用導數(shù)證明不等式及導數(shù)應用題

1、第六講：利用導數(shù)證明不等式及導數(shù)應用題一、證明不等式1當時,證明成立.證：(1)變形:,這是對數(shù)函數(shù)的增量形式令(2)在應用拉格朗日中值定理: (3)故有 證畢！ 2證明:成立證：(1)構造輔助函數(shù),令 (2)在應用拉格朗日定理:(3) 對于 的情形,同理可證. 證畢3證明:當時,有成立.證：(1) 構造輔助函數(shù)：令(2) 在應用拉格朗日中值定理, (3) 是單調(diào)增函數(shù)，故有,證畢4當時,證明成立.證：(1)令(2) 在單調(diào)減少(3) 在單調(diào)減少,且故當時, 證畢5當時,證明成立.證：(1)變形,令(2)令且從而在單調(diào)減少(3)且=0即有成立6當時,證明成立.證：(1)變形，令(2)(一階導數(shù)

2、符號不易判定,借助)=單調(diào)增，且單調(diào)增加(3)在單調(diào)增,且,故有證畢7當時,證明:成立.解：(1)令 (2)令,駐點(3) ，為極小值點.由單峰原理,是最小值點最小值故有,即證畢8設,證明成立.證：(1)令(2)駐點(3)(4)比較上述函數(shù)值的大小:故有,即證畢9證明:當時,有.證：(1)令(2),在單調(diào)增加 (3) 由,得從而有 證畢二、證明方程根的個數(shù)10證明:當時,方程僅有一個實根. 證：(1)令單調(diào)增,故最多有一個實根(2)是一元五次方程至少有一個實根(3)綜上所述:有且只有一個實根. 證畢11證明方程只有一個正根.證(1) 單調(diào)增故最多有一實根(2)在連續(xù)且由零點定理知:至少有一個正

3、根.（3）綜上所述:只有一個正根12證明方程:有且僅有兩個實根.解：(1)令在連續(xù)且由零點定理知:在至少有一個實根同理:=0在至少有一實根總之, =0在至少有兩個實根(2) =0是一元二次方程,最多有兩個實根()綜上所述：=0有且僅有兩個實根13設常數(shù)證明方程,在內(nèi)有且僅有兩個正根.證：(1)令 (x>0)(2) ;令駐點<0,為極大值點.由單峰原理:是最大值點最大值且, 故與軸有且僅有兩個交點 (如示意圖) 即在有且只有兩個實根.三、 應用題（每小題10分，共50分）14已知曲線.（1）求曲線在橫坐標為的點處的切線方程.（2）求曲線的切線被兩坐標軸所截線段的最短長度.解：(1)求

4、切線方程:切點切線方程:即(2)令令(3)令(4)最小值15在半徑為R的半徑內(nèi)作一個圓柱體,求最大體積時的底半徑與高.解：(1)畫出示意圖 (2)依題意,設所求圓柱體體積為V(3)求駐點,令,駐點（4）求最值點:,為最大值點答:當,時,所得圓柱體體積最大16某客輪每小時消耗燃料的費用速度的立方正比,若該客輪從甲城到已城沿江逆流而上,設水流速度為每小時公里,求客輪最經(jīng)濟的速度?解：(1)列出函數(shù)關系式:設從甲城沿江到乙城的路程為.消耗總費用為.依題意:,其中是甲城到乙城所需要的時間(2)求駐點: 令,駐點(3)求最值:由實際問題的意義知道:最小值存在,且駐點唯一,當時,客輪消耗燃料總費用最省.17欲做一個容積是3000的無蓋圓柱形的蓄水池,已知池底單位面積造價為池壁單位面積的3倍,問蓄水池的尺寸怎樣設計,才能使總造價最低?解：(1)列出函數(shù)關系式:設池底半徑為,池高為,池壁單位面積造價為元,總造價為,依題意:(2) 求駐點:令,駐點(3) 求最值:,當時,總造價最省.(4) 當時,答:當時,總造價最低.18從一塊半徑為R的圓鐵片上挖去一個扇形,把留下的中心角為取多大時,做成的漏斗的容積最大? 解：(1)列出函數(shù)關系