06利用導(dǎo)數(shù)證明不等式及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題

1、第六講：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題一、證明不等式1當(dāng)時(shí),證明成立.證：(1)變形:,這是對(duì)數(shù)函數(shù)的增量形式令(2)在應(yīng)用拉格朗日中值定理: (3)故有 證畢！ 2證明:成立證：(1)構(gòu)造輔助函數(shù),令 (2)在應(yīng)用拉格朗日定理:(3) 對(duì)于 的情形,同理可證. 證畢3證明:當(dāng)時(shí),有成立.證：(1) 構(gòu)造輔助函數(shù)：令(2) 在應(yīng)用拉格朗日中值定理, (3) 是單調(diào)增函數(shù)，故有,證畢4當(dāng)時(shí),證明成立.證：(1)令(2) 在單調(diào)減少(3) 在單調(diào)減少,且故當(dāng)時(shí), 證畢5當(dāng)時(shí),證明成立.證：(1)變形,令(2)令且從而在單調(diào)減少(3)且=0即有成立6當(dāng)時(shí),證明成立.證：(1)變形，令(2)(一階導(dǎo)數(shù)

2、符號(hào)不易判定,借助)=單調(diào)增，且單調(diào)增加(3)在單調(diào)增,且,故有證畢7當(dāng)時(shí),證明:成立.解：(1)令 (2)令,駐點(diǎn)(3) ，為極小值點(diǎn).由單峰原理,是最小值點(diǎn)最小值故有,即證畢8設(shè),證明成立.證：(1)令(2)駐點(diǎn)(3)(4)比較上述函數(shù)值的大小:故有,即證畢9證明:當(dāng)時(shí),有.證：(1)令(2),在單調(diào)增加 (3) 由,得從而有 證畢二、證明方程根的個(gè)數(shù)10證明:當(dāng)時(shí),方程僅有一個(gè)實(shí)根. 證：(1)令單調(diào)增,故最多有一個(gè)實(shí)根(2)是一元五次方程至少有一個(gè)實(shí)根(3)綜上所述:有且只有一個(gè)實(shí)根. 證畢11證明方程只有一個(gè)正根.證(1) 單調(diào)增故最多有一實(shí)根(2)在連續(xù)且由零點(diǎn)定理知:至少有一個(gè)正

3、根.（3）綜上所述:只有一個(gè)正根12證明方程:有且僅有兩個(gè)實(shí)根.解：(1)令在連續(xù)且由零點(diǎn)定理知:在至少有一個(gè)實(shí)根同理:=0在至少有一實(shí)根總之, =0在至少有兩個(gè)實(shí)根(2) =0是一元二次方程,最多有兩個(gè)實(shí)根()綜上所述：=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根13設(shè)常數(shù)證明方程,在內(nèi)有且僅有兩個(gè)正根.證：(1)令 (x>0)(2) ;令駐點(diǎn)<0,為極大值點(diǎn).由單峰原理:是最大值點(diǎn)最大值且, 故與軸有且僅有兩個(gè)交點(diǎn) (如示意圖) 即在有且只有兩個(gè)實(shí)根.三、 應(yīng)用題（每小題10分，共50分）14已知曲線.（1）求曲線在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線方程.（2）求曲線的切線被兩坐標(biāo)軸所截線段的最短長(zhǎng)度.解：(1)求

4、切線方程:切點(diǎn)切線方程:即(2)令令(3)令(4)最小值15在半徑為R的半徑內(nèi)作一個(gè)圓柱體,求最大體積時(shí)的底半徑與高.解：(1)畫出示意圖 (2)依題意,設(shè)所求圓柱體體積為V(3)求駐點(diǎn),令,駐點(diǎn)（4）求最值點(diǎn):,為最大值點(diǎn)答:當(dāng),時(shí),所得圓柱體體積最大16某客輪每小時(shí)消耗燃料的費(fèi)用速度的立方正比,若該客輪從甲城到已城沿江逆流而上,設(shè)水流速度為每小時(shí)公里,求客輪最經(jīng)濟(jì)的速度?解：(1)列出函數(shù)關(guān)系式:設(shè)從甲城沿江到乙城的路程為.消耗總費(fèi)用為.依題意:,其中是甲城到乙城所需要的時(shí)間(2)求駐點(diǎn): 令,駐點(diǎn)(3)求最值:由實(shí)際問(wèn)題的意義知道:最小值存在,且駐點(diǎn)唯一,當(dāng)時(shí),客輪消耗燃料總費(fèi)用最省.17欲做一個(gè)容積是3000的無(wú)蓋圓柱形的蓄水池,已知池底單位面積造價(jià)為池壁單位面積的3倍,問(wèn)蓄水池的尺寸怎樣設(shè)計(jì),才能使總造價(jià)最低?解：(1)列出函數(shù)關(guān)系式:設(shè)池底半徑為,池高為,池壁單位面積造價(jià)為元,總造價(jià)為,依題意:(2) 求駐點(diǎn):令,駐點(diǎn)(3) 求最值:,當(dāng)時(shí),總造價(jià)最省.(4) 當(dāng)時(shí),答:當(dāng)時(shí),總造價(jià)最低.18從一塊半徑為R的圓鐵片上挖去一個(gè)扇形,把留下的中心角為取多大時(shí),做成的漏斗的容積最大? 解：(1)列出函數(shù)關(guān)系