存在性問題和最值問題的解法

1、“存在性”問題和“最值”問題的解決方法一、關(guān)于存在性問題1、什么樣的情況會引發(fā)出“存在性問題？ 從一個整體情況或一個變化過程中，判斷滿足某種特殊要求的情況是否存在，并在存在時將其尋找出來，這樣的問題就是“存在性”問題。如：日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 56 7 8 9 10 11 1213 14 15 16 17 18 1920 21 22 23 24 25 2627 28 29 30 題1如某月的月歷，像圖中那樣用方框框住4個數(shù)字，是否存在以下情況：使框住的4個數(shù)字和為100？為90？若存在，請寫出這4個數(shù)字，若不存在，請說明理由。題 2 如圖（1），四邊形是邊長為6的正方形，

2、動點P從A點P出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿邊向點運動，動點BCCDDA從點出發(fā)，以每秒3個單位的速度沿邊運動，兩點同時出發(fā)，點P到達處時兩點運動停止，記的運動時間為。（1）是否存在時刻，使線段將正方形的周長分為相等的兩部分？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。ABCADBCQP（2）是否存在時刻，使線段將正方形的面積分為1：2兩部分，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。（1）（2）題 3 如圖（2），在中，在斜邊上是否存在點，使以為圓心，以為半徑的圓，恰好與相切？若存在，請作出（保留作圖痕跡）；若不存在，請說明理由。像以上三個題目都屬于“存在性”問題。2、“存在性”問題的基本類型和解決

3、方法“存在性”問題大體可分為兩類：、由數(shù)量關(guān)系確定的“存在性”問題（即要找的是滿足一個“特殊”數(shù)量方面的要求）；、由位置關(guān)系確定的“存在性”問題（即要找的是滿足一個“特殊”位置方面的要求）。（1）由數(shù)量關(guān)系確定的“存在性”問題這種類型的“存在性”問題，解決的方法主要是借助于構(gòu)造方程。例1 （見前面的題1）【觀察與思考】第一，框住的4個數(shù)字，若設(shè)左上角的數(shù)字為，則這4個數(shù)字的和為。本題就是判斷圖中有無數(shù)字，使和分別為100，90？有這樣的數(shù)字時，求出的值。第二，落實的辦法就是根據(jù)和為100，90分別構(gòu)造關(guān)于的方程，判斷相應(yīng)的方程是否有解，有解時求出解來。解：設(shè)框住的4個數(shù)為則它們的和為：，令，解

4、得。21222829即當框住的4個數(shù)字為時，它們的和恰為100。又，令，解得，這樣的不在月歷中。所以，不存在框住的4個數(shù)字的和為90的情況。【說明】在這里，把方框中的第一個數(shù)字看作一個變量（范圍是122），框內(nèi)的4個數(shù)字之和是的函數(shù)，而“和為100，為90”就是對函數(shù)值的特定要求，從而變成了求特定函數(shù)值所對應(yīng)的自變量的值，那當然就是解方程。例2 （見前面的題2）ADBCQPADBCQPADBCQP（1）（1）（1）【觀察與思考】容易知道，按點在上，上，上，和的運動全過程可分為三段：當時，如圖（1），當時，如圖（1），當時，如圖（1）。應(yīng)分類考慮將正方形分成部分的周長與面積的情況。解：（1）當時

5、，點在AB上，點在上，正方形的周長被分成的兩部分中，頂點B所在部分顯然小于（正方形的周長），而另一部分大于（正方形的周長）。因此，不可能有二者相等的時刻；當時，點在上，頂點B所在的部分的“周長”為，另一部分的“周長”為。令，解得。（或令12，也得同樣的結(jié)果）。當時，點在AB上，點在AD上，分成的兩部分中，含頂點B的部分的“周長”顯然大于（的周長），因此不存在二者相等的時刻。所以，存在，使將的周長分為相等的兩部分（其實，此時和分別為邊AB，的中點）。（2）當時，令，解得（與矛盾，舍去）。當時，令或，分別解得（矛盾，舍去），。當時，令，解得（舍去），（舍去）。所以，存在時刻和，使得把正方形的面積分

6、為1：2的兩部分?！菊f明】在，的運動過程中，正方形的周長與面積總是被分為兩部分，且兩部分的值在運動中變化著，現(xiàn)對變化著的值提出特定的要求，以確定這種特殊情況是否真的出現(xiàn)在運動過程之中，這正是“存在性”問題的典型特征，而構(gòu)造出相應(yīng)的方程來求解。也真是普遍適用的方法。例3 如圖（3），在直角梯形中，。動點從點D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2個單位長度的速度運動，動點從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位的速度向點B運動，點，分別從點D，C同時出發(fā)，設(shè)運動時間為（秒）。ADPBCQ（1）是否存在時刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。（2）是否存在時刻，使得，若存在，求出的值；（3）若不

7、存在，請說明理由?！居^察與思考】（1）和（2）應(yīng)分別由“”和“”出發(fā)構(gòu)造關(guān)于的方程求解。解：（1）假若有作交射線DA于，如圖（3）則。ADPBCQM在中，（3），由，解得（秒）。即（秒）時。（2）假若有，如圖（3），易知此時四邊形為平行四邊形，即，解得，但點只在線段CB上運動，即不合題意，舍去。ADPBCQP不存在時刻，使得?！菊f明】在的運動過程中，線段和的位置（3）關(guān)系是變化的，本題是從中考慮位置關(guān)系特定情況的“存在性”，方法也是按特定情況對應(yīng)的數(shù)量關(guān)系去構(gòu)造相應(yīng)的方程，用該方程在允許范圍內(nèi)有解、ABCDE45°無解來回答“存在”或“不存在”。例4 在中，點D在BC所在的直線上運動

8、，作（A，D，E按逆時針方向）。（1） 如圖，若點D在線段BC上運動，DE交AC于E。求證：;當是等腰三角形時，求的長。(2) 如圖，若點D在BC的延長線上運動，DE的反向延長線與AC的延長線相交于點，是否存在點D，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點D的位置；若不存在，請簡要說明理由；ABCDE45°ABCDE45° 如圖，若點D在BC的反向延長線上運動，是否存在點D，使是等腰三角形？若存在，寫出所有點D的位置；若不存在，請簡要說明理由；【觀察與思考】對于問題（1），就是我們熟悉的幾何證明與幾何計算問題；對于問題（2），只要求出滿足要求的BD的長，就是確定了D點的位置。為此

9、只需要通過三角形的相似關(guān)系去構(gòu)造關(guān)于BD和方程。解：（1），又，即。當時，。（2）若為等腰三角形，只有。而，得。，由，得。，存在點D使為等腰三角形，點D在BC的延長線上，距點B的處。不存在為等腰三角形的情況。例5 二次函數(shù)的圖象如圖（1）所示，過軸上一點的直線與拋物線交于兩點，過點分別作軸的垂線，垂足分別為。（1）當點A的橫坐標為時，求點B的坐標；AMBCD（2）在（1）的情況下，分別過點作軸于，軸于在上是否存在點，使為直角，若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由?！居^察與思考】（1）由，可求得點B的坐標。（2）這時，如圖（1），若在線段上有點使，（1）那么立刻推得依次構(gòu)造關(guān)于點坐標的方程。

10、解：（1）設(shè)點B的坐標為其中，即，解得（舍去），B的坐標為（8，8）（2）若滿足要求的點存在，設(shè)的長為，連結(jié)，如圖（1）AMBCDEFP。，（同為的余角）。，即。解得，。（1）均滿足要求。 可以看出：構(gòu)造方程是解決各種形式的由“數(shù)量關(guān)系”確定的“存在性”問題的最有效最常用的方法。（2）由位置關(guān)系確定的“存在性”問題例6 現(xiàn)在來看開始時提出的題3如圖（1），在中，在斜邊上是否存在點，使以為圓心，以為半徑的圓，恰好與相切？若存在，請求出（保留作圖痕跡）；若不存在請說明理由。ABC【觀察與思考】假設(shè)這樣的點存在，如圖（1）的情況：點在上，以為圓心以的半徑的和相切于點D，若連結(jié)，可知，得（1）由得即有

11、，也就是說，AD是的平分線，如此一來，就找到了確定點的位置方法：先作的平分線AD，交于點D，再由D作交AB于點。ABCDABCD（1）（1）解：這樣的點存在，作法如圖（1）ABCDFPE例7 已知，如圖（1）四邊形是矩形，E和F分別是邊AB，BC的中點，P為對角線AC上一個題）C動點（不與A，C重合），試問：點能否構(gòu)成直角三角形？若能，共有幾個？并在圖中畫出所有滿足條件的三角形?！居^察與思考】第一，分情況來考慮：若要只需；（1）若要只需；若要只需P為以為直徑的圓與的交點，且因所以大于與之間的距離，所以以為直徑的圓與必有兩個交點。第二，表示出以上四個點的位置：ABCDFE解：能使為頂點的三角形成

12、為直角三角形的點P共有四個，如圖（1）。【說明】其實作圖法確定符合某要求的圖形，基本思想和用方程求（1）未知數(shù)量的值有極大的相仿之處，都是先假定“存在”，按其具有的特定要求逆推出它應(yīng)當是怎樣的。二、關(guān)于“最值”問題所謂“最值”問題，就是求一個變動的數(shù)量在某范圍內(nèi)取最大或最小值的問題?！白钪怠眴栴}大都歸于兩類基本模型：、歸于函數(shù)模型：即利用一次函數(shù)的增減性和二次函數(shù)的對稱性及增減性，確定某范圍內(nèi)函數(shù)的最大或最小值。、歸于幾何模型，這類模型又分為兩種情況：（1）歸于“兩點之間的連線中，線段最短”。凡屬于求“變動的兩線段之和的最小值”時，大都應(yīng)用這一模型。（2）歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”凡屬于

13、求“變動的兩線段之差的最大值”時，大都應(yīng)用這一模型。1、利用函數(shù)模型求最值由于這類問題在關(guān)節(jié)三“函數(shù)知識的三個支點”已有涉及和說明，這里我們只舉一例。例1 如圖（1），平行四邊形中，E為BC上一動點（不與B重合），作于，設(shè)的面積為當運動到何處時，有最大值，最大值為多少？ABCDEF【觀察與思考】容易知道是的函數(shù)，為利用函數(shù)的性質(zhì)求的最大值，就應(yīng)先把關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式求出來，而這又需要借助幾何計算。（1）解：如圖（1），延長交的延長線于易知。ABCDEFG，而，又，在中，。其中。（1）對稱軸當，隨的增大而增大。當，即E與C重合時，有最大值，?！菊f明】可以看出，函數(shù)是解決“數(shù)量”最值問題的最基本的方

14、法。2、利用幾何模型求最值（1）歸入“兩點之間的連線中，線段最短”例2 如圖（1）所示，在一筆直的公路的同一旁有兩個新開發(fā)區(qū)，已知千米，直線與公路的夾角新開發(fā)區(qū)B到公路的距離千米。（1）求新開發(fā)區(qū)A到公路的距離；ABCNOM（2）現(xiàn)從上某點處向新開發(fā)區(qū)修兩條公路，使點到新開發(fā)區(qū)的距離之和最短，請用尺規(guī)作圖在圖中找出點的位置（不用證明，不寫作法，保留作圖痕跡），并求出此時的值。ABCNOM30°D【觀察與思考】對于（1），直接歸于幾何計算。對于（2），首先利用“軸對稱”的性質(zhì)，把原題中的求“”（1）最短，轉(zhuǎn)化成求“”最短（其中是A關(guān)于的對稱點。解：（1）先作垂直于于點如圖（1）在中，（

15、千米）在中，（千米）（千米）（2）作點A關(guān)于的對稱點，連結(jié)交于點。（1）結(jié)果如圖（1），點即為所求。如圖（1），作交的延長線于點。在中，（千米），ABCNOM30°DP（千米）。（千米）。此時（千米）【說明】本題的關(guān)鍵在于將“在直線上確定一點，使它到直線同側(cè)的兩點距離之和最短”，轉(zhuǎn)化為“直線異側(cè)兩點距離之和最短”，進而再用“兩點之間的所有連線中，線段最短。（1）ACBPQ例3 如圖，（1），在中，為邊上一定點，（不與點B，C重合），為邊上一動點，設(shè)的長為，請寫出最小值，并說明理由?！居^察與思考】其實，本題和例2中的（2）基本上是相同的，是“在直線上求一點，使它到同側(cè)的兩個定點和的距離

16、之和最小”。因此，可由圖（1）（連結(jié)關(guān)于的對稱點與所成線段，（1）交于?；驁D（1）（連結(jié)關(guān)于的對稱點與所成線段，交于，都同樣可得最小值。ACBPACBPQACBPQ（1）（1）（1）解：如圖（1），作點關(guān)于的對稱點，連結(jié)交于點，易知，。在中，又，在上任意取一異于的點，連結(jié)，則AFEM對邊上的動點，最小值為?！菊f明】、在本題，關(guān)鍵仍是將最小問題，轉(zhuǎn)化成求線段的長，轉(zhuǎn)化的橋梁仍是利用“軸對稱”的性質(zhì)；、至于求線段的長，仍是以歸入“解直角三角形”為第一選擇。例4 如圖（1），拋物線和軸的交點為為的中點，若有一動點，自點處出發(fā)，沿直線運動到軸上的某點（設(shè)為點），再沿直線運動到該拋物線對稱軸上的某點（設(shè)

17、為點），最后又沿直線運動到點，求使點運動的總路程最短的點，點的坐標，并求出這個最短路程的長?！居^察與思考】容易知道，點的坐標為，拋物線的對稱軸為，點的坐標為。實際上是求點E，F(xiàn)位于何處時有最短，仍歸于用“兩點之間的所有連線中，線段最短”（1）來求解，這只需作關(guān)于軸的對稱點，點A關(guān)于對稱軸的對稱點連結(jié)，如圖（1），即可將原問題解決。解：如圖（1），由題意可得（0，3），拋物線的對稱點AFEMB33為，點關(guān)于軸的對稱點為，點關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為（6，3）。連結(jié)。根據(jù)軸對稱性及兩點間線段最短可知，的長就是所求點運動中最短總路程的長，在直線的方程為（過程略）。設(shè)與的交點為則為在軸上所求的點，與直

18、線的交點為所求的F點?？傻命c的坐標為（2，0），F(xiàn)點的坐標為）。由勾股定理可求出（過程略）所以點運動的總路程（）最短時間為。不管在什么背景下，有關(guān)線段之和最短問題，總是化歸到“兩點之間的所有連線中，線段最短”，而轉(zhuǎn)化的方法大都是借助于“軸對稱點”。（2）歸于“三角形兩邊之差小于第三邊”ADCB例5 如圖（1），直線與軸交于點C，與軸交于點B，點A為軸正半軸上的一點，A經(jīng)過點B和點，直線BC交A于點D。（1）求點D的坐標；（2）過，C，D三點作拋物線，在拋物線的對稱軸上是否存在一點，使線段與之差的值最大？若存在，請求出這個最大值和點P的坐標。若不存在，請說明理由?！居^察與思考】對于（1），可通過

19、解直角三角形求得點D的坐標。對于（2）如圖（1），過，C，D三點的拋物線的對稱軸為。（1）對于該對稱軸上的任意一點P都有，而只DCBP有當點P恰為直線與拋物線的對稱軸的交點時，為最大。解：（1）在中，分別令得B點的坐標為（2，0），C點的坐標為為A的直徑，。且。（1）在中，由和，得點D的坐標為（）。（2）如圖（1），當點P為該拋物線的對稱軸和所在的直線的交點處時，其值最大，而。DCBPP由解得此時點P的坐標為。點P為時取最大值為。【說明】這里將求“兩線段之差的最大值”，借助“三角形兩邊之差小于第三邊”轉(zhuǎn)化為求一條特殊線段的長，其間，還借助了拋物線（1）對稱軸的性質(zhì)。練習題1、已知：四邊形中，分

20、別是上的點，且。設(shè)四邊形的面積為，。ABCDEFGH如圖，當四邊形為菱形，且時，四邊形的面積能否等于若能，求出相應(yīng)的值，若不能，請說明理由。（1）2、拋物線與軸的交點為A，B（點B在點A的右側(cè)），與軸的交點為C，是否存在這樣的值，使點B在軸的正半軸上，點C在軸的負半軸上，且為等腰三角形？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由。3、已知拋物線（為常數(shù)，且）。的頂點為A，與軸交于點C；拋物線與拋物線關(guān)于軸對稱，其頂點為B，連結(jié)。（1）請在橫線上直接寫出拋物線的解析式： ；（2）當時，判定的形狀，并說明理由；（3）拋物線上是否存在點P，使得四邊形為菱形？如果存在，請求出的值；如果不存在，請說明理由

21、。4、如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標為C（1，0），直線與該二次函數(shù)的圖象交于兩點，其中A點的坐標為（3，4），B點在軸上。BDAPEC（1）求的值及這個二次函數(shù)的解析式；（2）P為線段AB上的一個動點（點P與不重合），過P作軸的垂線與這個二次函數(shù)的圖象交于E點，設(shè)線段PE的長為，點P的橫坐標為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）D為直線AB與這個二次函數(shù)圖象對稱軸的交點，在線段AB上是否存在一點P，使和四邊形是平行四邊形？若存在，請求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由。5、已知，中，是邊上的動點（與點A，B不重合）Q是BC邊上的動點（與點B，C不重合）。（1）如圖，當且Q為BC的中點時，求線段的長。ACBQP（2）當與不平行時，可能為直角三角形嗎？若有可能，請求出線段的長的取值范圍，若不可能，請說明理由。AC6、已知，如圖，拋物線，它和軸交點中右側(cè)的一點為和軸的交點為C。在該拋物線上是否存在點，使如果存在，請指明點P所在的位置，如果不存在，請說明理由。7、已知拋物線（1）在拋物線上求一點使得為等腰三角形，并寫出點的坐標。-11CBEA（2）除（1）中所求的點外，在拋物線上是否還存在其它的點使得為等腰三角形？若存在，請求出一共有幾個滿足條件的點（