電力系統(tǒng)諧波的FFT 加窗插值算法研究

1、電力系統(tǒng)諧波的FFT加窗插值算法研究劉旭東 葉鵬(沈陽工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院 遼寧 沈陽 110178摘 要:采用快速傅里葉變換(FFT進(jìn)行電力系統(tǒng)諧波分析時很難做到同步采樣,故造成頻譜泄漏,影響諧波分析的結(jié)果。本文對(FFT的泄漏原因進(jìn)行了分析,并研究組合余弦窗對采樣數(shù)據(jù)加權(quán)及利用插值對(FFT的結(jié)果進(jìn)行修正。通過對卷積窗的諧波理論分析與研究,提出了基于卷積窗的組合余弦窗的加窗算法。文中給出了該算法進(jìn)行諧波分析的算例,計(jì)算結(jié)果表明,該窗的算法具有更高的計(jì)算精度。關(guān)鍵詞: 諧波分析; FFT;窗函數(shù)1.引言近年來,隨著直流輸電和柔性交流輸電技術(shù)的采用,電氣化鐵道的快速發(fā)展,化工、冶金、煤炭等工業(yè)

2、部門大量應(yīng)用電力電子設(shè)備等,使得電網(wǎng)的諧波含量大大增加,電網(wǎng)波形畸變越來越嚴(yán)重,對電力系統(tǒng)的安全、經(jīng)濟(jì)運(yùn)行造成極大的影響。諧波測量是諧波問題研究的主要依據(jù),實(shí)時測量電網(wǎng)中的諧波含量,確切掌握電網(wǎng)中諧波的實(shí)際狀況,對于防止諧波危害,維護(hù)電網(wǎng)的安全運(yùn)行是十分必要的。因此如何能夠把諧波的危害最大限度地減少,是目前電力電子領(lǐng)域極為關(guān)注的問題,而解決這一問題的關(guān)鍵在于定量地確定諧波的成分、幅值和相位等。這也正是我們進(jìn)行諧波分析的目的所在。電力系統(tǒng)的諧波分析,通常都是通過快速傅立葉變換(FFT實(shí)現(xiàn)的。然而FFT存在柵欄效應(yīng)和泄漏現(xiàn)象,使算出的信號參數(shù)即頻率、幅值和相位不準(zhǔn),無法滿足準(zhǔn)確的諧波測量要求。而解

3、決這個問題通常是通過加窗函數(shù)減少泄露現(xiàn)象和通過插值修正減小柵欄效應(yīng)。對于包含整數(shù)倍次諧波的信號而言,如果能夠?qū)崿F(xiàn)同步于基波的采樣,從而使截?cái)鄶?shù)據(jù)長度是基波周期的整數(shù)倍,就能夠使被測的基波和諧波頻率恰好與傅立葉變換頻域譜線的離散頻點(diǎn)重合,而且此時信號中的基波或諧波在其它頻率成分上造成的長范圍泄漏也將為零。然而,要實(shí)現(xiàn)同步采樣和整倍數(shù)截?cái)嗍潜容^困難的。無論是Ignacio給出的采用插值補(bǔ)點(diǎn)改變信號抽樣率的方法1,還是Roberto的利用過采樣器進(jìn)行補(bǔ)點(diǎn)的方法2,在實(shí)現(xiàn)上都是相當(dāng)復(fù)雜的。但可以通過選擇適當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)抑制長范圍泄漏,也可以根據(jù)所選擇的窗函數(shù)的形式對頻率、相位和幅值進(jìn)行插值修正,在一定程度

4、上彌補(bǔ)短范圍泄漏造成的誤差。很多文獻(xiàn)給出了加窗和插值修正算法的研究成果3-6。本文對(FFT的泄漏原因進(jìn)行了分析,并研究組合余弦窗對采樣數(shù)據(jù)加權(quán)及利用插值對(FFT的結(jié)果進(jìn)行修正7。通過對卷積窗的諧波理論分析與研究,提出了基于卷積窗的組合余弦窗的加窗算法。文中給出了該算法進(jìn)行諧波分析的算例,計(jì)算結(jié)果表明,該窗的算法具有更高的計(jì)算精度。2.算法原理2.1 頻譜泄露和柵欄效應(yīng)在實(shí)際的諧波測量中,所要處理的信號都是經(jīng)過采樣和A/D轉(zhuǎn)換得到的有限長數(shù)字序列,這相當(dāng)于對原始信號乘以一個矩形窗加以截?cái)唷Ｔ跁r域相乘,相當(dāng)于在頻域卷積。因此原信號的單一頻率將變成以原信號頻率0為中心,形狀振蕩并逐漸衰減的連續(xù)譜

5、線sin(f/f,這就是說信號頻譜泄露到整個頻率軸上了。當(dāng)采樣同步,即時間窗長度正好等于信號周期的整數(shù)倍時,離散傅立葉變換得到的各離散頻率分量除了0點(diǎn)以外都落在sin(f/f=0上,因此,變換的結(jié)果不會產(chǎn)生頻譜泄露。在非同步采樣時,由于實(shí)際信號的各次諧波分量不能正好落在頻率分辨點(diǎn)上,而是落在某兩個頻率分辨點(diǎn)之間。這樣通過DFT并不能直接得到各次諧波分量的準(zhǔn)確值,而只能以臨近的頻率分辨點(diǎn)的值來近似代替。這就是通常所說的柵欄效應(yīng)。插值算法可以較好地消除柵欄效應(yīng),而諧波間的泄露引起的誤差則需要依靠加窗的方法來修正。加窗插值算法通過加窗減小頻譜泄漏,通過插值消除柵欄效應(yīng)引起的誤差。算法中,窗函數(shù)的選擇

6、非常重要。通常頻譜分析要求窗函數(shù)主瓣窄、旁瓣低且跌落速度快;不過對同一窗函數(shù),這幾個要求很難同時滿足。在信號處理時,應(yīng)根據(jù)信號特征和研究目的來選擇窗。2.2加窗插值算法原理及誤差分析設(shè)電氣信號為周期信號,表示如下:0(cos(2pi i i i x t A f t =+ (1式中f i ,A i ,i 分別為第i 次諧波的頻率、幅值和相位;p 為最高諧波次數(shù)。以采樣頻率f S 將式(1離散化得序列x (n s 0x(n=x(nT cos(pi i i i A n =+ (2其中,T S =1/f S 為采樣周期,i =2f i T S ,x (n的頻譜(DTFT 為:0(22i i p j j

7、 j i i i i i A A x e e e =+ (3若有離散窗w (n ,其頻譜W (e j 可表示為0(j jc w e w e =i (4式中W 0(為一實(shí)函數(shù),C 為一實(shí)常數(shù)。用長度為N 的窗序列w (n 對x (n 加權(quán)截?cái)?離散加窗信號 x W (n 。(0,1,2,1w x n x n w n n N =i (5x W (n 的頻譜(DTFT 為: (00(2i i pj c j j i w i i A X e W e W e = (0(2i i j c i i A W e + (6用DFT 可求出X W (n 的離散譜X W (k 。X W (k 實(shí)質(zhì)上是連續(xù)譜X W (

8、e j 在區(qū)間0,2以等間隔=2/N (對應(yīng)f =f S /N 抽樣的結(jié)果,即 (0,1,2,1jw w w k X k X e k N = (7考慮采樣不同步,即時間窗T W =NT S 不為信號周期T 1(T 1=1/f 1的整數(shù)倍,不妨設(shè)111s NT k T =+ (8其中,k 1=int(k 1+1為最接近NT S /T 的整數(shù);1為整后的余數(shù),一般|1|=0.5。于是,對于第i 次諧波(含基波111122/i s s i i if T iNT ik i k N T =+=+ , i =1,2, p (9 其中,k i 、1分別1i k ik = (101i i = (11由式(9容

9、易得到,對于i =1,2, p(i i i k =+ (12(2(222i i i i i i i i s s s k k f k f T T TN +=+ (13從式(12、(13可知,i 稱為頻率校正量。同步誤差不大時,一般有|1|<1,可以認(rèn)為第i 次諧波(頻率為i 或f i 對應(yīng)第k i 根譜線(頻率為k i 或k i f 。具體對于第i =l 次諧波,如果窗w ( n 的幅頻特W 0(滿足0(0l i k += i =1,2, p (14 0(0l i k = i =1,2, p; i1 (15則在=k l 處,其它次諧波(含基波的正、負(fù)頻率分量以及該次諧波自身的負(fù)頻分量為0,

10、該譜線不受頻譜泄漏影響。此時,由式(6、(7、(12有(00(22l l l i l j C k j C l l w l l l l A A X k W k e W e += (16 0(2l w l l A X k W = (17arg (w l i lX k C =+ (18用插值法求取i ,再用DFT 求得X w (k l ,由式(13、(17、(18,即可求得第l 次諧波參數(shù) (l l l f k f =+ (1902(/(l w l l A X k W = (20arg (l w l i X k C = (21此方法是用加常用窗加插值求得信號中基波和各次諧波參數(shù),已有很多文獻(xiàn)詳細(xì)的介

11、紹了這種方法,此算法具有較高的計(jì)算精度。3多卷積窗算法下面我們研究多卷積窗則可以有效地抑制泄漏。當(dāng)給出了K 取不同值時,余弦窗分別為矩形、漢寧、布萊克曼和布萊克曼哈里斯窗的對數(shù)幅頻曲線。可發(fā)現(xiàn)窗的項(xiàng)數(shù)越多,旁瓣衰減越快,這有利于減少泄漏,提高計(jì)算準(zhǔn)確度;但同時,主瓣的寬度也變大,從而會引起頻譜分辨率的降低。漢寧窗的阻帶最小衰減為-44dB ,即在第一旁瓣處大約衰減為主瓣的0.01。對于諧波分析該衰減特性不能很好地消除泄漏影響,所以須構(gòu)造出性能更好的窗函數(shù)?？梢园l(fā)現(xiàn),這相當(dāng)于在時域?qū)蓚€窗函數(shù)作卷積運(yùn)算,而在頻域則是相乘。這樣,新的窗函數(shù)具有更大的阻帶最小衰減,旁瓣衰減更快。針對不同的應(yīng)用需求,

12、本文新算法可以選擇任意兩種或三種現(xiàn)有的窗函數(shù)w1,w2,w3來設(shè)計(jì)新窗。當(dāng)wl,w2,w3同一余弦窗時,可求出二階或三階卷積的海明窗、漢寧、布萊克曼等新窗的對數(shù)幅頻曲線。3.1卷積窗與已知常用窗比較如下圖所示,分別為海明窗、漢寧窗和布萊克曼窗及他們的二階和三階窗的頻譜,對比可明顯看出,新窗與原窗相比具有更大的旁瓣衰減速度,可以進(jìn)一步減少諧波間的能量泄漏。 圖1 圖2 圖3余弦窗K 值和系數(shù)a k 決定了不同的窗,K=1時,有海明窗,漢寧窗;K=2時,有布萊克曼窗;K=3時,有布萊爾曼-哈里斯窗。當(dāng)K 增大時,旁瓣衰減增大,因而能夠更好地抑制泄露,同時主瓣寬度隨K值而增加,引起頻譜分辨率的降低,

13、因而K 值也不宜選得太大5。而我們通過這些常用窗組成的卷積窗,可以看到旁瓣衰減增大很多,而主瓣寬度增加的并不多;可隨著K 值增加(K>3,常用窗組成的卷積窗主瓣寬度增加很大;因而選擇K 值高的窗,多階卷積后相當(dāng)于K 的值增大,頻譜分辨率降低,也使得計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差增大。從例子可以看出,適合的常用窗組成的卷積窗有更精確的修正諧波幅值。此論文選取漢寧三階窗為例,修正的諧波幅值更加精確。通過仿真試驗(yàn)表明,基于漢寧窗的卷積窗更適合于諧波的檢測分析。下面以漢寧窗為例說明:令仿真計(jì)算的信號為含有諧波分量的函數(shù),共7次諧波。幅值分別為:12,3,2,0.5,0.3,0.1,0.05相角為:0.9,0.

14、8,0.7,0.6,0.5,0.3,0.2 常用窗諧波幅值修正結(jié)果對比: 諧波幅值 諧波次數(shù) 1 2 3 4 5 6 7漢寧窗修正 11.9839 2.9923 1.9855 0.4961 0.2942 0.0977 0.0483漢寧二階窗修正 11.9996 2.9922 1.9884 0.4939 0.2949 0.0974 0.0483 漢寧三階窗修正 12.0002 2.9989 1.9947 0.4987 0.2976 0.0991 0.0492加卷積窗插值快速傅里葉變換(FFT算法可以克服頻譜泄漏的影響,消除用異步采樣值測量電量時產(chǎn)生的誤差,但其計(jì)算量較大。為了減小插值FFT 算法

15、的計(jì)算量,采用三次樣條函數(shù)逼近加卷積窗插值FFT 算法函數(shù),提出了應(yīng)用三次樣條函數(shù)的有效形式計(jì)算插值FFT 算法8。三次樣條插值函數(shù)是一條近似于分段的三次多項(xiàng)式,但在分段處函數(shù)是連續(xù)的,它的一階和二階導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的。給定插值點(diǎn)(t i ,y i ,i =0,1,2,n 。在t i ,t i+1上三次樣條函數(shù)為:3311111(6666i i i i i i i i i i i i i i i i iz z y z h y z h S x t x x t x t t x h h h h +=+ 式中 1i i i h t t += (22 由于Matlab 中的spline 函數(shù)只能用于三次樣條

16、插值計(jì)算,不能構(gòu)造三次樣條函數(shù),故采用自己編寫的程序來構(gòu)造三次樣條函數(shù)8,構(gòu)造出計(jì)算插值FFT 算法的三次樣條函數(shù)的快速計(jì)算公式。仿真計(jì)算及分析,令仿真計(jì)算算例同上。幅值分別為:12,3,2,0.5,0.3,0.1,0.05相角為:0.9,0.8,0.7,0.6,0.5,0.3,0.2以固定頻率fs =1/(0.02/32=1600(Hz進(jìn)行采樣,頻率分辨率為12.5HZ 。,用128采樣點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算結(jié)果如下表所示。f/HZ 1次諧波 誤差 3次諧波 誤差 49.5 11.9863 0.0137 2.9933 0.006750 12.0002 0.0002 2.9989 0.001150.

17、5 12.0006 0.0006 3.0014 0.0014 51 12.0127 0.0127 3.0007 0.0007從計(jì)算結(jié)果可以看出,信號幅值誤差小于0.1%,具有較高的精度。增加插值點(diǎn)還可以進(jìn)一步提高計(jì)算精度,也可以在誤差大的區(qū)段增加插值點(diǎn)來提高計(jì)算精度(以減少分段數(shù)量。4 結(jié)論提出采用多卷積窗運(yùn)用于電力系統(tǒng)諧波檢測算法研究,通過對常用窗組合的卷積窗的比較,得到減小幅值誤差較好的效果,并加三次樣條函數(shù)的有效形式計(jì)算插值FFT 函數(shù),計(jì)算公式簡單,程序?qū)崿F(xiàn)方便,用128個采樣點(diǎn)更加加強(qiáng)了實(shí)時性,在分段處連續(xù),且為精確值,不存在極限值問題,適合于電力系統(tǒng)諧波的高精度測量。經(jīng)過仿真計(jì)算表

18、明該方法有較高的精度?？捎糜诓捎貌逯礔FT 算法的電力系統(tǒng)遠(yuǎn)動,繼電保護(hù)測量裝置或電量表計(jì)中,提高測量裝置的實(shí)時性,也可以用于其他領(lǐng)域中,具有實(shí)用價值。參考文獻(xiàn):1 Ignacio Santamaria-Caballero, Carlos J.Pantaleon-Prieto,Jesus Ibanez-Diaz, et al.Improved procedures for estimating amplitudes and phases of harmonics with application to vibration analysisJ.IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 47(1:209-214. 1998.2 Roberto Marcelo Hidalgo,Juana Graciela Fernandez,Raul Ruben Rivera,et al.A simple adjustable window algorithm to improve