等價(jià)無(wú)窮小量替換定理的推廣(數(shù)學(xué)專業(yè)本科畢業(yè)論)

1、 學(xué)號(hào)2009311010107編號(hào)2013110107研究類型理論研究分類號(hào)O17 文理學(xué)院College of Arts and Science of Hubei Normal University學(xué)士學(xué)位論文Bachelors Thesis論文題目等價(jià)無(wú)窮小量替換定理的推廣作者姓名朱澤飛指導(dǎo)教師張金娥所在院系文理學(xué)院數(shù)學(xué)系專業(yè)名稱數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)完成時(shí)間2013年5月10日1 / 44湖北師范學(xué)院文理學(xué)院學(xué)士學(xué)位論文（設(shè)計(jì)）誠(chéng)信承諾書中文題目: 等價(jià)無(wú)窮小量替換定理的推廣外文題目:Generalization of the Equivalent Infinitesimal Substitu

2、tion Theorem學(xué)生姓名朱澤飛學(xué) 號(hào)2009311010107院系專業(yè)文理學(xué)院數(shù)學(xué)系班 級(jí)0901學(xué) 生 承 諾我承諾在畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）活動(dòng)中遵守學(xué)校有關(guān)規(guī)定,恪守學(xué)術(shù)規(guī)范,本人畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）內(nèi)容除特別注明和引用外,均為本人觀點(diǎn),不存在剽竊、抄襲他人學(xué)術(shù)成果,偽造、篡改實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的情況.如有違規(guī)行為,我愿承擔(dān)一切責(zé)任,接受學(xué)校的處理. 學(xué)生（簽名）:年 月 日指導(dǎo)教師承諾我承諾在指導(dǎo)學(xué)生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）活動(dòng)中遵守學(xué)校有關(guān)規(guī)定,恪守學(xué)術(shù)規(guī)范,經(jīng)過(guò)本人核查,該生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）內(nèi)容除特別注明和引用外,均為該生本人觀點(diǎn),不存在剽竊、抄襲他人學(xué)術(shù)成果,偽造、篡改實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的現(xiàn)象. 指導(dǎo)教師（簽名

3、）: 年 月 日目錄1引言12無(wú)窮小量以及等價(jià)無(wú)窮小量23等價(jià)無(wú)窮小量替換定理34等價(jià)無(wú)窮小量替換定理的推廣44.1 有限個(gè)函數(shù)積或商運(yùn)算的等價(jià)無(wú)窮小量替換44.2 在極限式中有加或減運(yùn)算的等價(jià)無(wú)窮小量替換54.3 乘方運(yùn)算下的等價(jià)無(wú)窮小量替換84.4 變上限定積分函數(shù)的等價(jià)無(wú)窮小量替換125應(yīng)用舉例146結(jié)束語(yǔ)207參考文獻(xiàn)21等價(jià)無(wú)窮小量替換定理的推廣朱澤飛（指導(dǎo)老師:張金娥）（湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 中國(guó) 黃石 435002）摘要: 等價(jià)無(wú)窮小量替換是計(jì)算極限的一種重要方法.在目前流行使用的許多版本的數(shù)學(xué)分析教材中,只給出了兩個(gè)無(wú)窮小量積與商形式的等價(jià)無(wú)窮小量替換定理.然而該定理只適用于兩

4、個(gè)無(wú)窮小量積與商的形式,這對(duì)于其它形式例如:有限個(gè)無(wú)窮小量積與商;兩個(gè)以及有限個(gè)無(wú)窮小量之和與差;形如的冪指函數(shù)以及被積函數(shù)是無(wú)窮小量的變限積分,該定理就不適用了.本文把用等價(jià)無(wú)窮小量替換定理求兩個(gè)無(wú)窮小量積與商的極限形式進(jìn)行了推廣,從而擴(kuò)大了該定理的使用范圍,使得應(yīng)用更加靈活方便.關(guān)鍵詞:無(wú)窮小量;等價(jià)無(wú)窮小量;極限;推廣定理.分類號(hào):O17Generalization of the Equivalent Infinitesimal Substitution TheoremZHU Zefei (Tutor: ZHANG Jine)(College of Arts & Science

5、of Hubei Normal University, Huangshi, 435002, China)Abstract: The equivalent infinitesimal substitution is an important method in calculating limit. At present, in many versions of the popular use of mathematical analysis textbook, it only gives two infinitesimal product and quotient in the form of

6、equivalent infinitesimal substitution theorem. whereas the theorem only applies to the two infinitesimal product and quotients form, which in regard to other forms , for example: a finite infinitesimal product and quotient; two and the finite infinitesimal sum and difference; like the exponential fu

7、nction of .besides, the integrand is infinitesimal variable-ranged integral, the theorem is not applicable. In this thesis, by using the equivalent infinitesimal substitution theorem for solving two infinitesimal product and quotients limit form of the generalization, it expands the scope of applica

8、tion of the theorem, leading to more flexible and convenient application. Key words: Infinitesimal; equivalent infinitesimal; limit; generalized theorem.等價(jià)無(wú)窮小量替換定理的推廣朱澤飛（指導(dǎo)老師:張金娥）（湖北師范學(xué)院文理學(xué)院 中國(guó) 黃石435002）1引言在數(shù)學(xué)分析中,求函數(shù)的極限是最基本的問(wèn)題之一,也是數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的重點(diǎn).在這些求極限的問(wèn)題中,最不好掌握的便是型這類不定式的極限,一般見(jiàn)到這一類型的問(wèn)題,最容易想到的便是洛比達(dá)法則.事實(shí)上,

9、洛必達(dá)法則也不是萬(wàn)能的,一些問(wèn)題可能會(huì)越用越復(fù)雜,并且出現(xiàn)循環(huán),求不出結(jié)果.例如一個(gè)求極限問(wèn)題,它是一個(gè)型的不定式極限.用洛比達(dá)法則求解如下,原式,出現(xiàn)了循環(huán),此時(shí)用洛必達(dá)法則求不出結(jié)果.怎么辦？用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)替換,原式,由此可見(jiàn)洛必達(dá)法則并不是萬(wàn)能的,也不一定是最佳的,它的使用也具有局限性.在這里我們看到了等價(jià)無(wú)窮小量有著無(wú)可比擬的作用,用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)替換能夠很快地求出結(jié)果.等價(jià)無(wú)窮小量替換是計(jì)算極限的一種重要方法,然而在目前流行使用的許多版本的數(shù)學(xué)分析教材中,一般只給出了兩個(gè)無(wú)窮小量積和商的形式等價(jià)無(wú)窮小量替換定理,接著就強(qiáng)調(diào):只有對(duì)所求的極限式中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)替

10、換,而對(duì)極限式中的相加或相減的部分則不能隨意替換.注意在這里,我們自然就有一個(gè)疑問(wèn),不能隨意替換是不是在有些情況下可以替換？那么在什么情況下可以替換呢？對(duì)于求不定式極限形式的冪指函數(shù)各位置上的無(wú)窮小量情況,還有在求變上限積分中的被積函數(shù)為無(wú)窮小量時(shí)的情形,求極限時(shí)能否用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)替換呢？在文獻(xiàn)2中并沒(méi)有作詳細(xì)的論述,這不得不說(shuō)是一種遺憾.本文所得到的結(jié)果是對(duì)等價(jià)無(wú)窮小量替換定理的進(jìn)一步豐富與完善,也是對(duì)文獻(xiàn)2中的等價(jià)無(wú)窮小量替換定理的改進(jìn)和推廣.在敘述本文的結(jié)果之前,首先要說(shuō)明一下,本文的所有結(jié)論都是以的極限形式為代表來(lái)敘述并證明的.事實(shí)上,本文的結(jié)論對(duì)于其它所有的極限過(guò)程都成立,至于其它

11、類型極限的定理及其證明,只要相應(yīng)地作些修改即可.2無(wú)窮小量以及等價(jià)無(wú)窮小量定義 設(shè)在某內(nèi)有定義.若,則稱為當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小量. 類似的定義當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小量.定義 設(shè)當(dāng)時(shí),與均為無(wú)窮小量,若,則稱與是當(dāng)時(shí)的等價(jià)無(wú)窮小量.記作. 不難看出等價(jià)無(wú)窮小量是等價(jià)關(guān)系,具有如下性質(zhì):性質(zhì)1 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且,.反身性:;對(duì)稱性:若,則;傳遞性:若,則.證 . 3等價(jià)無(wú)窮小量替換定理定理 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且有若則若則注3.1 定理1稱為“等價(jià)無(wú)窮小量替換定理”（證明見(jiàn)參考文獻(xiàn)2）,說(shuō)明了在對(duì)所求極限式中相乘或相除的因式可用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)替換.注3.2 應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小量替換,必須記住一些常用的等價(jià)無(wú)窮小量.當(dāng)

12、時(shí),常見(jiàn)的等價(jià)無(wú)窮小量有:上面所列的等價(jià)無(wú)窮小量可用洛必達(dá)法則直接證明（證明從略）.注3.3 在利用等價(jià)無(wú)窮小量替換時(shí),還要記住一些極限公式,如兩個(gè)重要極限和等.4 等價(jià)無(wú)窮小量替換定理的推廣4.1 有限個(gè)函數(shù)積或商運(yùn)算的等價(jià)無(wú)窮小量替換定理2 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且有.若則;若則.證 對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法證之.當(dāng)時(shí),由定理1可知,明題成立;假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立,即“若則”成立,則當(dāng)時(shí),只要能證明“若則”成立即可.而這就證明了當(dāng)時(shí),若則是成立的.綜上可知命題成立. 命題的證明與命題的證明相仿,在此從略.注4.1.1 定理2中的均可以為有限實(shí)數(shù),也可以為或.注4.1.2 定理2顯然是定理1的直接推廣.說(shuō)明了

13、有限個(gè)函數(shù)積或商的極限若存在（或,）,則其中全部或部分無(wú)窮小量可用其等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)替換. 注4.1.3 定理2在使用上把定理1局限于兩個(gè)無(wú)窮小量積或商的極限替換,擴(kuò)大到任意有限個(gè)無(wú)窮小量積或商的極限情形,從而大大拓展了使用范圍.4.2 在極限式中有加或減運(yùn)算的等價(jià)無(wú)窮小量替換實(shí)際上,對(duì)極限式中的兩個(gè)無(wú)窮小量相加的部分是可以使用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)替換的,只不過(guò)它有自身的一些限制,若要進(jìn)行替換,必須滿足如下定理3:定理3 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且.若則（可以是有限實(shí)數(shù)或）.證 當(dāng)為有限實(shí)數(shù)時(shí)當(dāng)時(shí),即從而 當(dāng)時(shí),證法同綜上所述,定理3成立.注4.2.1 定理3說(shuō)明了在求極限時(shí),若某個(gè)因子是兩個(gè)無(wú)窮小量的和時(shí)

14、,只要這兩個(gè)無(wú)窮小量滿足定理3中的條件,則這個(gè)因子就可以用相應(yīng)的等價(jià)無(wú)窮小量之和來(lái)替換.注4.2.2 在定理3的條件中若,則結(jié)論不真（求這類等價(jià)無(wú)窮小量之和的運(yùn)算問(wèn)題,可以利用泰勒公式,亦可用洛必達(dá)法則結(jié)合其它方法來(lái)求解）.由定理3可導(dǎo)出對(duì)極限式中的兩個(gè)無(wú)窮小量相減的因子使用等價(jià)無(wú)窮小量替換的條件,若要進(jìn)行替換,必須滿足如下推論1:推論1 設(shè)函在內(nèi)有定義,且有.若則（可以是有限實(shí)數(shù)或）.推論1的證明與定理3的證明相仿,在此從略. 注4.2.3 推論1說(shuō)明了在求極限時(shí),若某個(gè)因子是兩個(gè)無(wú)窮小量的差時(shí),只要這兩個(gè)無(wú)窮小量滿足推論1中的條件,則這個(gè)因子就可以用相應(yīng)的等價(jià)無(wú)窮小量之差來(lái)替換.注4.2.

15、4 在推論1的條件中若,則結(jié)論不真（求這類等價(jià)無(wú)窮小量之差的運(yùn)算問(wèn)題,可以利用泰勒公式,亦可用洛必達(dá)法則結(jié)合其它方法來(lái)求解）.推論2 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且（可以是有限實(shí)數(shù)或）,則.證 對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法證之. 當(dāng)時(shí),由定理3可知,結(jié)論成立;假設(shè)時(shí)結(jié)論成立,即有成立,那么當(dāng)時(shí), 由 可知即有所以當(dāng)時(shí),結(jié)論也成立.綜上可知,對(duì)都有.注4.2.5 顯然推論2是定理3的直接推廣.在使用上把定理3中局限于兩個(gè)無(wú)窮小量和的極限替換,擴(kuò)大到任意有限個(gè)無(wú)窮小量和的極限替換情形,從而大大拓展了適用范圍.注4.2.6 在推論2中當(dāng)中的一部分無(wú)窮小量前面用減號(hào)相連接時(shí),此時(shí)可以把這一部分無(wú)窮小量改寫為加上這個(gè)無(wú)窮小量的

16、相反數(shù),使得這部分無(wú)窮小量前面均用加號(hào)相連接,這時(shí)只要滿足推論2的條件則仍然有成立.注4.2.7 在推論2的條件中若,則結(jié)論不真（求這類等價(jià)無(wú)窮小量的代數(shù)和的運(yùn)算問(wèn)題,可以利用泰勒公式,亦可用洛必達(dá)法則結(jié)合其它方法來(lái)求解）.4.3 乘方運(yùn)算下的等價(jià)無(wú)窮小量替換在利用等價(jià)無(wú)窮小量替換定理求函數(shù)極限的過(guò)程中,常常會(huì)碰到一類不定式極限的問(wèn)題,對(duì)于這些冪指函數(shù)的情形現(xiàn)對(duì)其作進(jìn)一步的探究.作為準(zhǔn)備,先證引理1引理 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且有則證 次證引理2 引理 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且有則.證 由對(duì)數(shù)函數(shù)的連續(xù)性及重要極限可知從而有同理 又由性質(zhì)1的等價(jià)無(wú)窮小量的“傳遞性”和“對(duì)稱性”可知有.再證引理3引理3

17、 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且有. 若則;若則.證 （由定理1）（由引理1）注4.3.1 引理3說(shuō)明了對(duì)于冪指函數(shù)中的底數(shù)和指數(shù)中的無(wú)窮小量均可用其等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)替換.由此來(lái)證明定理4 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義,且有.若則(它是型);若則(它是型);若則(它是型).證 由引理3可知（由引理3）（由引理1） (由定理1和引理2)注4.3.2 定理4說(shuō)明了在求冪指函數(shù)不定式的極限時(shí),可以同時(shí)直接地對(duì)指數(shù),底數(shù)中的無(wú)窮小量應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)替換.注4.3.3 對(duì)于求型不定式極限,當(dāng)?shù)诪?指數(shù)為時(shí),和可分別用其等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)替換.注4.3.4 均可以為有限實(shí)數(shù),也可以為或.對(duì)于定理4中的命題為了計(jì)算上的方便,現(xiàn)證明一

18、個(gè)重要的性質(zhì).性質(zhì)2 若.則.證 4.4 變上限定積分函數(shù)的等價(jià)無(wú)窮小量替換在求解不定式極限時(shí),常常會(huì)遇到一種含有變限積分函數(shù)的不定式極限,通常是型或型,一般地用洛必達(dá)法則及變限積分的性質(zhì)來(lái)去掉積分號(hào),但是在用此方法求解比較復(fù)雜的函數(shù)時(shí),因需多次求導(dǎo),計(jì)算繁瑣且易出錯(cuò).事實(shí)上,對(duì)于此類型的求極限問(wèn)題,當(dāng)滿足一定的條件時(shí),可以根據(jù)以下定理來(lái)求解.定理5 設(shè)且與在上連續(xù),則有證 由“微積分學(xué)基本定理”和“洛必達(dá)法則”可知 從而注4.4.1 由定理5可得常用的變上限定積分的等價(jià)無(wú)窮小量有:當(dāng)時(shí), ; .注4.4.2 利用定理5在求解有關(guān)變上限的定積分時(shí),若被積函數(shù)滿足此定理的條件,則被積函數(shù)可用它的

19、等價(jià)無(wú)窮小量來(lái)替換,替換后可使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單易求的極限形式.當(dāng)變上限的定積分中的上限由自變量變?yōu)楹瘮?shù)時(shí),被積函數(shù)能否再用其等價(jià)無(wú)窮小量替換來(lái)求解極限呢？事實(shí)上,當(dāng)滿足一定的條件時(shí)答案是肯定的.定理6 設(shè)為連續(xù)函數(shù),為可導(dǎo)函數(shù),且可行復(fù)合與.若,則證 由“微積分學(xué)基本定理” ,“洛必達(dá)法則”和“復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則”可得所以有5應(yīng)用舉例例1 求 解 由定理1的注3.2可知 當(dāng)時(shí), ; 由定理2可得 原式 . 例2 求 解 原式（由定理1） （令）例3 求 解 當(dāng)時(shí),; 由定理3可知 原式 . 令則當(dāng)時(shí), 原式而當(dāng)時(shí),; 而 由定理3的推論1可知 原式.例4 求解 又 由定理3的推論2可知: 原

20、式.例5 求; ; ;解 這是個(gè)型不定式極限,當(dāng)時(shí),而（由定理1的注3.3）由定理3和定理4的命題可知原式 它是型不定式極限,由定理4的命題可知原式（令） 它是型不定式極限,由定理4的命題可知原式例6 求解 原式（由定理4的命題）（由性質(zhì)2）注5.1 在求解型不定式極限時(shí),運(yùn)用定理4的命題并且結(jié)合性質(zhì)2可減少計(jì)算量起到簡(jiǎn)化的作用.但并不是所有的型不定式極限都要化為的形式,在使用中要綜合分析,選擇適當(dāng)而簡(jiǎn)單的方法.例7 求解 由定理5可知當(dāng)時(shí),有 原式例8 求解 當(dāng)時(shí),; ;.滿足定理6的條件,從而由定理6可得原式注5.2 上面的8個(gè)例題若改用洛必達(dá)法則來(lái)求解,因需多次求導(dǎo),并且求導(dǎo)的過(guò)程十分繁

21、瑣,很難求出結(jié)果.再一次說(shuō)明了洛必達(dá)法則并不是萬(wàn)能的,也不一定是最佳的方法.使用本文中推廣后的等價(jià)無(wú)窮小量替換定理則只需幾步即可求出結(jié)果,且不易出錯(cuò).只要充分的掌握好洛必達(dá)法則和等價(jià)無(wú)窮小量的性質(zhì),再把本文中的這些定理結(jié)合起來(lái),會(huì)使這些原來(lái)十分復(fù)雜的求極限問(wèn)題變得非常簡(jiǎn)單.6 結(jié)束語(yǔ)本文把文獻(xiàn)2中只適用于求兩個(gè)無(wú)窮小量積或商極限形式的等價(jià)無(wú)窮小量替換定理推廣到:有限個(gè)無(wú)窮小量積與商;兩個(gè)以及有限個(gè)無(wú)窮小量之和與差;形如的冪指函數(shù)以及被積函數(shù)是無(wú)窮小量的變限積分的極限形式中.不僅擴(kuò)大了該定理的適用范圍，而且把該定理進(jìn)行了豐富與完善，使得在應(yīng)用上更加靈活方便.7參考文獻(xiàn)1魏曉娜,李曼生.等價(jià)無(wú)窮小

22、的應(yīng)用研究J.數(shù)學(xué)教學(xué)研究,2010,29(10):5961.2華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊(cè))M.第三版.北京:高等教育出版社,2001:5657,59,6162.3同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))M.第六版.北京:高等教育出版社,2007:60.4錢吉林等.數(shù)學(xué)分析題解精粹M.第二版.武漢:崇文書局,2009:85.5同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(上冊(cè))M.第四版.北京:高等教育出版社,1996:56.6儲(chǔ)亞偉,劉敏.等價(jià)無(wú)窮小在極限運(yùn)算中的應(yīng)用J.阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2005,22(3):7172.7任全紅.等價(jià)無(wú)窮小量代換求函數(shù)極限的應(yīng)用J.數(shù)學(xué)教學(xué)與研究,2009,上卷(40):81.

23、8裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法M.第二版.北京:高等教育出版社,2006:36.9屈紅萍.等價(jià)無(wú)窮小代換求極限的方法推廣J.保山學(xué)院學(xué)報(bào),2011,(2):5657.8 致謝光陰似箭,日月如梭,在畢業(yè)論文定稿之際,我的大學(xué)四年本科生活也即將畫上了句號(hào).遙想初入湖北師范學(xué)院文理學(xué)院之時(shí),還歷歷在目,恍如隔日,不免感嘆時(shí)光易逝,韶華難追.然而,艱辛而快樂(lè)的求學(xué)之路,也給我留下了很多難以忘懷的欣慰和幸福.在此,向四年來(lái)陪伴我一起走過(guò),給予我無(wú)私幫助和關(guān)心的老師、朋友以及親人們致以最為誠(chéng)摯的感謝！首先,我要衷心的感謝我的指導(dǎo)老師張金娥,她在我畢業(yè)論文設(shè)計(jì)的題目選擇上給予了非常大的幫助,并且在整個(gè)論文設(shè)計(jì)的過(guò)程中一直指導(dǎo)、鼓勵(lì)著我,使我能夠順利地完成畢業(yè)論文的設(shè)計(jì)工作.也要感謝吳愛(ài)龍老師,他在我的論文設(shè)計(jì)中,提出了許多中肯而寶貴的意見(jiàn),他不憚其煩,為我復(fù)審修改了全部稿件,使稿件得到了很大的改進(jìn),我對(duì)他的這種負(fù)責(zé)精神表示敬佩和學(xué)習(xí).同時(shí)也要感謝我前