典型共點(diǎn)力平衡問題例題

1、典型共點(diǎn)力作用下物體的平衡例題例1質(zhì)量為m的物體，用水平細(xì)繩AB拉住，靜止在傾角為的固定斜面上，求物體對斜面壓力的大小，如圖1（甲）。分析 本題主要考察，物體受力分析與平衡條件，物體在斜面上受力如圖1乙，以作用點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，據(jù)平衡條件F0，即找準(zhǔn)邊角關(guān)系，列方程求解。解解法一：以物體m為研究對象建立圖1乙所示坐標(biāo)系，由平衡條件得： Tcos-mgsin0 （1）N-Tsin-mgcoo0 （2）聯(lián)立式（1）（2）解得 Nmgcos據(jù)牛頓第三定律可知，物體對斜面壓力的大小為 Nmgcos解法二：以物體為研究對象，建立如圖2所示坐標(biāo)系，據(jù)物體受共點(diǎn)力的平衡條件知：Ncos-mg=0 Nm

2、gcoc同理 N=mgcos說明（1）由上面解法可知：雖然兩種情況下建立坐標(biāo)系的方法不同，但結(jié)果相同，因此，如何建立坐標(biāo)系與解答的結(jié)果無關(guān)，從兩種解法繁簡不同，可以得到啟示：處理物體受力，巧建坐標(biāo)系可簡化運(yùn)算，而巧建坐標(biāo)系的原則是在坐標(biāo)系上分解的力越少越佳。（2）用正交分解法解共點(diǎn)力平衡時(shí)解題步驟：選好研究對象正確受力分析合理巧建坐標(biāo)系根據(jù)平衡條件（3）不管用哪種解法，找準(zhǔn)力線之間的角度關(guān)系是正確解題的前提，角度一錯(cuò)全盤皆錯(cuò)，這是非?？上У?。（4）由本題我們還可得到共點(diǎn)力作用平衡時(shí)的力圖特點(diǎn)，題目中物體受重力G，斜面支持N，水平細(xì)繩拉力T三個(gè)共點(diǎn)力作用而平衡，這三個(gè)力必然構(gòu)成如圖3所示的封閉三

3、角形力圖。這一點(diǎn)在解物理題時(shí)有時(shí)很方便。例2如圖1所示，擋板AB和豎直墻之間夾有小球，球的質(zhì)量為m，問當(dāng)擋板與豎直墻壁之間夾角緩慢增加時(shí)，AB板及墻對球壓力如何變化。分析本題考察當(dāng)角連續(xù)變化時(shí)，小球平衡問題，此題可以用正交分解法。選定某特定狀態(tài)，然后，通過角變化情況，分析壓力變化，我們用上題中第四條結(jié)論解答此題。解由圖2知，G，N2（擋板對球作用力），N1墻壁對球作用力，構(gòu)成一個(gè)封閉三角形，且封閉三角形在變化，當(dāng)增加到時(shí)，由三角形邊角關(guān)系知N1，N2。說明 封閉三角形解法對平面共點(diǎn)三力平衡的定性討論，簡捷直觀。本題是一種動態(tài)變化題目，這種題目在求解時(shí)，還可用一種極限法判斷，如把AB板與豎直墻壁

4、夾角增到90時(shí)，可知N1=0，過程中N1一直減小，N2=mg，N2也一直在減小。例3如圖1所示，用一個(gè)三角支架懸掛重物，已知AB桿所受的最大壓力為2000N，AC繩所受最大拉力為1000N，=30，為不使支架斷裂，求懸掛物的重力應(yīng)滿足的條件？分析懸繩A點(diǎn)受到豎直向下的拉力FG，這個(gè)拉力將壓緊水平桿AB并拉引繩索AC，所以應(yīng)把拉力F沿AB、CA兩方向分解，設(shè)兩分力為F1、F2，畫出的平行四邊形如圖2所示。解由圖2可知：因?yàn)锳B、AC能承受的最大作用力之比為當(dāng)懸掛物重力增加時(shí)，對AC繩的拉力將先達(dá)到最大值，所以為不使三角架斷裂，計(jì)算中應(yīng)以AC繩中拉力達(dá)最大值為依據(jù)，即取F2=F2m=1000N，于

5、是得懸掛物的重力應(yīng)滿足的條件為GmF2sin30500N，說明也可取A點(diǎn)為研究對象，由A點(diǎn)受力，用共點(diǎn)平衡條件求解。A點(diǎn)受三個(gè)力：懸掛物的拉力F=G，桿的推力FB，繩的拉力FC，如圖4所示。根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件，由FCsin=G，F(xiàn)Ccos=FB，即得 共點(diǎn)力平衡條件可以適用于多個(gè)力同時(shí)作用的情況，具有更普遍的意義。例4如圖1所示，細(xì)繩CO與豎直方向成30角，A、B兩物體用跨過滑輪的細(xì)繩相連，已知物體B所受到的重力為100N，地面對物體B的支持力為80N，試求（1）物體A所受到的重力；（2）物體B與地面間的摩擦力；（3）細(xì)繩CO受到的拉力。分析此題是在共點(diǎn)力作用下的物體平衡問題， 據(jù)平衡條件Fx

6、=0，F(xiàn)y=0，分別取物體B和定滑輪為研究對象，進(jìn)行受力情況分析，建立方程。解如圖2所示，選取直角坐標(biāo)系。據(jù)平衡條件得f-T1sin=0，NT1cos-mBg=0。對于定滑輪的軸心O點(diǎn)有 T1sin-T2sin30=0， T2cos30-T1cos-mAg=0。 因?yàn)門1=mAg，得=60，解方程組得（1）T1=40N，物體A所受到的重力為40N；（2）物體B與地面間的摩擦力 fT1sin=40sin6034.6N；（3）細(xì)繩CO受到的拉力說明在本題中，我們選取定滑輪的軸心為研究對象，并認(rèn)定T1與mAg作用在這點(diǎn)上，即構(gòu)成共點(diǎn)力，使問題得以簡化。例5如圖1所示，在質(zhì)量為1kg的重物上系著一條長

7、30cm的細(xì)繩，細(xì)繩的另一端連著圓環(huán)，圓環(huán)套在水平的棒上可以滑動，環(huán)與棒間的靜摩擦因數(shù)為0.75，另有一條細(xì)繩，在其一端跨過定滑輪，定滑輪固定在距離圓環(huán)0.5m的地方。當(dāng)細(xì)繩的端點(diǎn)掛上重物G，而圓環(huán)將要開始滑動時(shí)，試問（1）長為30cm的細(xì)繩的張力是多少？（2）圓環(huán)將要開始滑動時(shí)，重物G的質(zhì)量是多少？（3）角多大？分析選取圓環(huán)作為研究對象，分析圓環(huán)的受力情況：圓環(huán)受到重力、細(xì)繩的張力T、桿對圓環(huán)的支持力N、摩擦力f的作用。解因?yàn)閳A環(huán)將要開始滑動，所以，可以判定本題是在共點(diǎn)力作用下物體的平衡問題。由牛頓第二定律給出的平衡條件Fx=0，F(xiàn)y=0，建立方程有N-Tcos=0，N-Tsin0。 設(shè)想：

8、過O作OA的垂線與桿交于B點(diǎn)，由AO=30cm，tg=， 得BO的長為40cm。在直角三角形中，由三角形的邊長條件得AB=50cm，但據(jù)題述條件AB=50cm，故B點(diǎn)與滑輪的固定處B點(diǎn)重合，即得=90。（1）如圖2所示選取坐標(biāo)軸，根據(jù)平衡條件有Gcos+Tsin-mg=0，Tcos-Gsin=0。解得 T8N，（2）圓環(huán)將要滑動時(shí)，得 mGgTctg， mG=0.6kg。（3）前已證明為直角。例6如圖1所示，質(zhì)量為m5kg的物體放在水平面上，物體與水平面間的動摩擦因數(shù)求當(dāng)物體做勻速直線運(yùn)動時(shí)，牽引力F的最小值和方向角。分析本題考察物體受力分析：由于求摩擦力f時(shí)，N受F制約，而求F最小值，即轉(zhuǎn)化

9、為在物理問題中應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決的實(shí)際問題。我們可以先通過物體受力分析。據(jù)平衡條件，找出F與關(guān)系。進(jìn)一步應(yīng)用數(shù)學(xué)知識求解極值。解 作出物體m受力分析如圖2，由平衡條件。Fx=Fcos-N=0 （1）Fy=Fsin+N-G=0 （2）由 cos（-）=1 即 =0時(shí) =30，=30說明 本題中我們應(yīng)用了數(shù)學(xué)上極值方法，來求解物理實(shí)際問題，這是在高考中考察的一項(xiàng)重要能力。在以后解題中我們還會遇到用如：幾何法、三角形法等數(shù)學(xué)方法解物理問題，所以，在我們學(xué)習(xí)物理時(shí)，逐步滲透數(shù)學(xué)思想，對解決物理問題是很方便的。但要注意，求解結(jié)果和物理事實(shí)的統(tǒng)一性。例7如圖1，A、B兩物體質(zhì)量相等，B用細(xì)繩拉著，繩與傾角的

10、斜面平行。A與B，A與斜面間的動摩擦因數(shù)相同，若A沿斜面勻速下滑，求動摩擦因數(shù)的值。分析 本題主要考察受力分析及物體平衡條件。選擇A為研究對象，分析物體A受力，應(yīng)用正交分解法。據(jù)平衡條件求解。解取A為研究對象，畫出A受力如圖2，建立如圖所示坐標(biāo)系。據(jù)物體平衡條件Fx=mgsin-f1-f2=0 （1）FyN1-NB-mgcos=0 （2）其中 f1=N1 （3）f2=NB （4）由B受力知 NBmgcos （5）聯(lián)立上面式（1）（2）（3）（4）（5）得說明（1）本題在進(jìn)行受力分析時(shí)，要注意A與斜面C的接觸力N1和f1，A與物體B的接觸力N2和f2，一定注意，N1和N2的取值。（2）本題可以變

11、化為若A沿斜面加速下滑，或沿斜面減速下滑。應(yīng)滿足關(guān)系？則加速時(shí) mgsinN1+NB（3）摩擦力公式fN，有時(shí)因物體只受水平作用力，f=N=mg，但當(dāng)物體受力變化以后， N就不一定等于mg了，如圖3的兩個(gè)情形。所以切記：公式一定要寫成N。對N求解不要想當(dāng)然，應(yīng)據(jù)題設(shè)進(jìn)行實(shí)際分析而得。【例8】如圖1所示，支桿BC一端用鉸鏈固定于B，另一端連接滑輪C，重物P上系一輕繩經(jīng)C固定于墻上A點(diǎn)。若桿BC、滑輪C及繩子的質(zhì)量、摩擦均不計(jì)，將繩端A點(diǎn)沿墻稍向下移，再使之平衡時(shí)，繩的拉力和BC桿受到的壓力如何變化？誤解一滑輪C點(diǎn)受桿BC的支持力F、繩AC的拉力T和繩CP的拉力Q（其中Q大小等于G），如圖2所示。

12、由平衡條件可得FGsin， TGcos當(dāng)繩的A點(diǎn)下移后，增大，所以F增大，而T減小。誤解二滑輪C點(diǎn)受到桿BC支持力F，繩AC的拉力T和繩CP的拉力Q（其中Q的大小等于G），如圖3，T與F的合力與Q等值反向。當(dāng) A點(diǎn)下移后，T與豎直方向的夾角要增大，滑輪C也要下降，使BC與墻間的夾角增大，但因這兩力的合力始終與Q等值反向，所以這兩個(gè)分力均要增大。正確解答滑輪C點(diǎn)受到F、T、Q三力作用而平衡，三力組成封閉三角形，如圖4，注意到同一條繩上各處張力都相同，則有T=Q=G，以桿受到壓力增大，而繩子拉力仍不變，大小為G。錯(cuò)因分析與解題指導(dǎo)當(dāng)不計(jì)繩子的質(zhì)量時(shí)，繩子各處張力都相等，兩個(gè)誤解都未認(rèn)識這個(gè)事實(shí)。另

13、外，誤解一自設(shè)T與 F垂直作為討論依據(jù)并將它擴(kuò)展到一般情況，是毫無道理的。誤解二則臆斷A點(diǎn)下移時(shí)，滑輪C也要下降，BC與墻間的夾角增大，與事實(shí)不符。值得一提的是：本題BC桿對滑輪C點(diǎn)的作用力是沿著桿子的，而這是有條件的，僅當(dāng)BC桿重力不計(jì)且只受兩個(gè)力作用而平衡時(shí)，上述結(jié)論才成立。1明確研究對象，對它進(jìn)行受力分析，畫出受力圖；2根據(jù)平衡條件列方程；3統(tǒng)一單位，代入數(shù)字、解方程、求答案。由題講話由題講話，促使學(xué)生積極思維，獲得更加全面的知識，加深對物理現(xiàn)象和規(guī)律的理解?，F(xiàn)舉一、二例加以說明。如圖1，OA是一根橫梁，一端安在軸O上，另一端用鋼索AB拉著，在B處安裝一小滑輪，可以改變鋼索的長度，OBO

14、A，在A端掛一重物G。（橫梁重不計(jì)）試求鋼索BA的拉力？學(xué)生不感到困難。根據(jù)M=0，解得：這時(shí)教師向?qū)W生發(fā)問：若將鋼索BA加長（即緩慢下放），鋼索的拉力F如何變化？學(xué)生根據(jù)上面的結(jié)果自然會想到，角將逐漸變小，力F必將逐漸增大。當(dāng)角趨近于零時(shí)，F(xiàn)將變得無限大！？F逐漸變大，與感性認(rèn)識不太相符；無限大，顯然不符合實(shí)際情況，感到疑惑不解。毛病出在哪里呢？讓學(xué)生去思索結(jié)癥在哪里。教師可以啟發(fā)學(xué)生，在緩慢下放的過程中，角變小，但F的力臂也隨著變小，（注意表達(dá)式Lsin不變），尤其G的力臂也在變小，不再是OA的長，顯然圖1不能反映一般的情況，應(yīng)該重新作圖分析，如圖2。為說明解題的方法是多種的，可以用共點(diǎn)力

15、平衡法去解。根據(jù)正弦定理：可見，下放時(shí)，角逐漸變小，力F1逐漸變大。這個(gè)結(jié)果與上面的“一致”。應(yīng)該指出表達(dá)式（2）在形式上與表達(dá)式（1）顯然不同，但（2）卻包括了（1）式的結(jié)果。再看，若角趨近零時(shí)，力F1又如何？學(xué)生自然會得出，F(xiàn)1趨近2G？！又會感到不解。在學(xué)生的思維里，應(yīng)為F1=G或F1=G/2才有理。這時(shí)教師可以讓學(xué)生求一下F2=？計(jì)算結(jié)果F2=G。又看到在下放的過程中F2卻始終不變，也是出乎意料。這兩個(gè)意外的結(jié)果有助于揭開謎底。這時(shí)應(yīng)指出在這個(gè)三角架裝置中，OA必須是桿，不能用繩來代替，它起著支撐的作用。通過計(jì)算已知，在下放的過程中，OA桿的支撐力始終不變，為G。所以當(dāng)角趨近于零時(shí)，力

16、F1將趨近GG=2G。必須指出趨近于零，并不是等于零。若等于零后，那么鋼索的拉力F1就是不定的了，已經(jīng)越過本題所討論的范圍。還可以讓學(xué)生研究一下逐漸上拉時(shí)的變化情況化？此題屬共點(diǎn)力平衡問題，一般可采用正交分解法，三角形法則，或是作圖法求解，過程并非簡單若換用轉(zhuǎn)動平衡條件M=0，只要支點(diǎn)選得適當(dāng)，會使問題一目了然先考查BC繩的張力F1，以A為支點(diǎn)，將繩AB與小球視為一剛體，平衡時(shí)應(yīng)有：MF1-MG=0 即 MF1=MG由于角保持不變，則重力的力矩MG將保持恒定，因而F1的大小變化主要依賴它對A點(diǎn)的力臂的變化，當(dāng)BC垂直于AB時(shí)，F(xiàn)1的力臂等于繩長AB，其它位置的力臂均小于AB，故由此可知在C點(diǎn)上

17、移的過程中，BC繩的張力F1先變小后變大再考慮AB繩的張力F2：以移動的C點(diǎn)為支點(diǎn)（設(shè)BC繩能滿足長度的需要），由于C點(diǎn)始終在豎直墻壁上，重力G的力矩仍保持不變，而AB繩的張力F2的力臂逐漸變長，如圖2所示故F2將逐漸變小運(yùn)用M=0求解決共點(diǎn)力的平衡問題，往往是將研究對象擴(kuò)大化，將質(zhì)點(diǎn)向外延伸為非質(zhì)點(diǎn)加上合適的支點(diǎn)選取，使力矩的個(gè)數(shù)減少，方程簡捷，物理過程簡單明了同時(shí)又能培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，變定勢思維為發(fā)散思維怎樣分析物體的平衡問題物體的平衡問題是力的基本概念及平行四邊形定則的直接應(yīng)用，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)力和運(yùn)動關(guān)系的基礎(chǔ)怎樣學(xué)好這部分知識呢？一、明確分析思路和解題步驟解決物理問題必須有明確的分析

18、思路而分析思路應(yīng)從物理問題所遵循的物理規(guī)律本身去探求物體的平衡遵循的物理規(guī)律是共點(diǎn)力作用下物體的平衡條件：F合=0，要用該規(guī)律去分析平衡問題，首先應(yīng)明確物體所受該力在何處“共點(diǎn)”，即明確研究對象在分析出各個(gè)力的大小和方向后，還要正確選定研究方法，即合成法或分解法，利用平行四邊形定則建立各力之間的聯(lián)系，借助平衡條件和數(shù)學(xué)方法，確定結(jié)果由上述分析思路知，解決平衡問題的基本解題步驟為：1明確研究對象在平衡問題中，研究對象常有三種情況：單個(gè)物體，若物體能看成質(zhì)點(diǎn)，則物體受到的各個(gè)力的作用點(diǎn)全都畫到物體的幾何中心上；若物體不能看成質(zhì)點(diǎn)，則各個(gè)力的作用點(diǎn)不能隨便移動，應(yīng)畫在實(shí)際作用位置上物體的組合，遇到這

19、種問題時(shí)，應(yīng)采用隔離法，將物體逐個(gè)隔離出去單獨(dú)分析，其關(guān)鍵是找物體之間的聯(lián)系，相互作用力是它們相互聯(lián)系的紐帶幾個(gè)物體的的結(jié)點(diǎn)，幾根繩、繩和棒之間的結(jié)點(diǎn)常常是平衡問題的研究對象2分析研究對象的受力情況分析研究對象的受力情況需要做好兩件事：確定物體受到哪些力的作用，不能添力，也不能漏力常用的辦法是首先確定重力，其次找接觸面，一個(gè)接觸面通常對應(yīng)一對彈力和摩擦力，找到接觸面后，判定這兩個(gè)力是否在；第三是加上其它作用力，如拉力、推力等；準(zhǔn)確畫出受力示意圖力的示意圖關(guān)鍵是力的方向的確定，要培養(yǎng)養(yǎng)成準(zhǔn)確畫圖的習(xí)慣在分析平衡問題時(shí)，很多同學(xué)常出錯(cuò)誤，其重要原因就是畫圖不重視、不規(guī)范，將力的方向搞錯(cuò)，導(dǎo)致全題做

20、錯(cuò)3選取研究方法合成法或分解法合成法或分解法實(shí)際上都是平行四邊形定則，采用這兩種方法的實(shí)質(zhì)是等效替代，即通過兩個(gè)力的等效合成或某個(gè)力的兩個(gè)等效分力建立已知力與被求力之間的聯(lián)系，為利用平衡條件解問題做好鋪墊在解題中采用合成法還是分解法應(yīng)視問題而定，當(dāng)受力較少時(shí)，兩種方法求解都很方便由于高中階段在對力進(jìn)行合成或分解時(shí)只要求會用直角三角形討論計(jì)算，因此，對物體受力進(jìn)行正交分解，利用正交分解法求解的平衡問題較為常見在建立正交坐標(biāo)系時(shí)，其基本原則是使盡可能多的力在坐標(biāo)軸上，這樣分解的力個(gè)數(shù)少，求解時(shí)方便4利用平衡條件建立方程利用合成法分析問題時(shí)，其平衡方程為：F合=0利用分解法特別是正交分解法分析平衡問

21、題時(shí)，其平衡方程為：Fx=0 Fy=05數(shù)學(xué)方法求解建立平衡方程后，利用數(shù)學(xué)方法即可得到結(jié)果在平衡問題中，常用的數(shù)學(xué)方法有：代數(shù)法、三角函數(shù)法、相似三角形法、極值問題等，通過對學(xué)生選擇數(shù)學(xué)方法解題過程的考查，可以鑒別其運(yùn)用數(shù)學(xué)工具處理物理問題的能力例1、圖中重物的質(zhì)量為m，輕細(xì)線AO和BO的A、B端是固定的，平衡時(shí)AD是水平的，BO與水平面的夾角為AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是：A、F1=mgcos； B、F1=mgctg；C、F2=mgsin； D、F2=mgsin析：如圖1，三根細(xì)繩在O，點(diǎn)共點(diǎn)，取O點(diǎn)（結(jié)點(diǎn)）為研究對象，分析O點(diǎn)受力如圖2O點(diǎn)受到AO繩的拉力F1、BO繩的拉力F2

22、以及重物對它的拉力T三個(gè)力的作用圖2（a）選取合成法進(jìn)行研究，將F1、F2合成，得到合力F，由平衡條件知：F=T=mg則： F1=Fctg=mgctgF2=Fsin=mgsin圖2（b）選取分解法進(jìn)行研究，將F2分解成互相垂直的兩個(gè)分力Fx、Fy，由平衡條件知：Fy=T=mg，F(xiàn)x=F1則： F2=Fy/sin=mg/sinF1=Fx=Fyctg=mgctg二、掌握題型抓關(guān)鍵明確分析思路和解題步驟后，各種各樣的平衡問題均可按此步驟分析求解但在實(shí)際解題過程中仍感到困難重重原因何在？原因在于命題者為增加試題難度，在上述解題步驟的某個(gè)環(huán)節(jié)上設(shè)置障礙，造成學(xué)生分析思維受阻若能找到這些障礙點(diǎn)，即關(guān)鍵之處

23、，并加以突破，問題便迎刃而解了1三力平衡問題物體在三個(gè)力的作用下處于平衡狀態(tài)，要求我們分析三力之間的相互關(guān)系的問題叫三力平衡問題，這是物體受力平衡中最重要、最典型也最基礎(chǔ)的平衡問題這種類型的問題有以下幾種常見題型（1）三個(gè)力中，有兩個(gè)力互相垂直，第三個(gè)力角度（方向）已知。例1即屬此類情況這是一種最常見的三力平衡問題通常利用上述解題步驟即可方便求解此類問題若出現(xiàn)解題障礙的話，障礙就出在怎樣確定研究對象上例2、如圖3，質(zhì)量為m的物塊放在傾角為的斜面上，求：斜面對物塊的支持力；假想把物塊分成質(zhì)量相等的a、b兩部分（實(shí)際上仍為一整體），哪一部分對斜面的壓力大？析：求斜面對物塊的支持力時(shí)，取物塊為研究對

24、象，并將其視為質(zhì)點(diǎn)，作出其受力分析圖如圖4（a），將重力G沿斜面和垂直斜面方向分解，并利用平衡條件不難求出：N=mgcos分析a、b兩部分誰對斜面壓力大時(shí)，要明確此時(shí)物體不能再看成質(zhì)點(diǎn)，因此物體受到的各力的作用點(diǎn)不能隨意移動，而應(yīng)畫在實(shí)際作用點(diǎn)上由于彈力和摩擦力的作用點(diǎn)都在接觸面上，利用三力平衡必共點(diǎn)的特點(diǎn)（即物體在互相不平行的三個(gè)力作用下處于平衡狀態(tài)時(shí)，這三個(gè)力必為共點(diǎn)力），得到物塊的受力如圖4（b）所示，彈力的作用點(diǎn)在a部分，說明a部分對斜面的壓力大（2）三個(gè)力互相不垂直，但夾角（方向）已知考試說明中規(guī)定力的合成與分解的計(jì)算只限于兩力之間能構(gòu)成直角的情形三個(gè)力互相不垂直時(shí)，無論是用合成法還

25、是分解法，三力組成的三角形都不是直角三角形，造成求解困難因而這種類型問題的解題障礙就在于怎樣確定研究方法上解決的辦法是采用正交分解法，將三個(gè)不同方向的力分解到兩個(gè)互相垂直的方向上，再利用平衡條件求解（3）三個(gè)力互相不垂直，且夾角（方向）未知三力方向未知時(shí)，無論是用合成法還是分解法，都找不到合力與分力之間的定量聯(lián)系，因而單從受力分析圖去求解這類問題是很難找到答案的要求解這類問題，必須變換數(shù)學(xué)分析的角度，從我們熟悉的三角函數(shù)法變換到空間幾何關(guān)系上去考慮，因而這種問題的障礙點(diǎn)是如何正確選取數(shù)學(xué)分析的方法解決這種類型的問題的對策是：首先利用合成法或分解法作出三力之間的平行四邊形關(guān)系和三角形關(guān)系，再根據(jù)

26、力的三角形尋找與之相似的空間三角形，利用三角形的相似比求解例4、如圖7，半徑為R的光滑半球的正上方，離球面頂端距離為h的O點(diǎn)，用一根長為l的細(xì)線懸掛質(zhì)量為m的小球，小球靠在半球面上試求小球?qū)η蛎鎵毫Φ拇笮∥觯喝⌒∏驗(yàn)檠芯繉ο螅∏蚴艿街亓g，繩的拉力T和半球面的支持力N三個(gè)力的作用，如圖8所示將T和N合成，得到合力F，由平衡條件知：F=mg由圖8可以看出，力的三角形ACD與空間三角形OAB相似，則：（4）三力的動態(tài)平衡問題即三個(gè)力中，有一個(gè)力為恒力，另一個(gè)力方向不變，大小可變，第三個(gè)力大小方向均可變，分析第三個(gè)力的方向變化引起的物體受力的動態(tài)變化問題這種類型的問題不需要通過具體的運(yùn)算來得出結(jié)

27、論，因而障礙常出現(xiàn)在受力分析和畫受力分析圖上在分析這類問題時(shí)，要注意物體“變中有不變”的平衡特點(diǎn)，在變中尋找不變量即將兩個(gè)發(fā)生變化的力進(jìn)行合成，利用它們的合力為恒力的特點(diǎn)進(jìn)行分析在解決這類問題時(shí)，正確畫出物體在不同狀態(tài)時(shí)的受力圖和平行四邊形關(guān)系尤為重要例5、如圖9所示，用豎直檔板將小球夾在檔板和光滑斜面之間，若緩慢轉(zhuǎn)動擋板，使其由豎直轉(zhuǎn)至水平的過程中，分析球?qū)醢宓膲毫蛯π泵娴膲毫θ绾巫兓觯喝⌒∏驗(yàn)檠芯繉ο?，小球受到重力G，檔板給小球的支持力N1和斜面給小球的支持力N2三個(gè)力作用，如圖10所示，將N1和N2合成，得到合力F，由平衡條件知，F(xiàn)=G為一定值由于N2總垂直接觸面（斜面），方向不變

28、，則N1方向改變時(shí)，其大?。^）只能沿PQ線變動，如圖示顯然在檔板移動過程中，N1先變小后變大，N2一直減小由牛頓第三定律，小球?qū)n板的壓力先變小后變大，小球?qū)π泵娴膲毫χ饾u減小2多力平衡問題巧解變動中的三力平衡問題在中學(xué)階段，力的平衡問題，多為三力平衡，按平衡條件，合力必為零，將三力首尾相聯(lián)即圍成一封閉三角形。一般來說，只要所給條件能滿足解這個(gè)三角形的條件（如已知兩邊夾一角或兩角夾一邊）就能按解三角形的方法解出這力三角形中要求的物理量。常遇到一類變動中的三力平衡問題。一般是其中一個(gè)力大小和方向確定；另一個(gè)力的方向確定，大小可變；第三個(gè)力大小和方向均變化。要依據(jù)所給條件，確定后兩力的變化規(guī)律

29、。為了幫助學(xué)生們很好地理解，采用力三角形來解答，現(xiàn)舉幾例如下：例題1一個(gè)光滑的圓球擱在光滑的斜面和豎直的檔板之間（圖1），斜面和檔板對圓球的彈力隨斜面傾角變化而變化的范圍是：A斜面彈力N1變化范圍是（mg，）B斜面彈力N1變化范圍是（0，）C檔板的彈力N2變化范圍是（0， +）D檔板的彈力N2變化范圍是（mg， ）答：A、C解：圓球受三個(gè)力，其中重力的大小和方向均為確定的，檔板對圓球的彈力N2的方向始終是水平的，亦為確定的。而斜面對圓球的作用力的大小和方向均在變化中，但不論如何變動，只要取一個(gè)確定的值，圓球就在三力作用下處于平衡狀態(tài)，則此三力就組成一個(gè)封閉的三角形，如圖2所示：由于090，所以

30、mgN1，0N2解出。例題2如圖3所示,用兩根繩子系住一重物,繩OA與天花板夾角不變,且45,當(dāng)用手拉住繩OB，使繩OB由水平慢慢轉(zhuǎn)向OB過程中，OB繩所受拉力將A始終減少 B始終增大C先增大后減少 D先減少后增大答：D解：重物受三個(gè)力，其中重力大小方向確定，OA方向不變，OB繩受力的大小方向變化。在變化過程中，重物所受三力平衡，可組成一個(gè)封閉三角形，現(xiàn)圖示如下：從圖中可很直觀地得出結(jié)論。由于45,+=90所以45,此時(shí)TOB取得最小值。例題3如圖4所示，一重球用細(xì)線懸于O點(diǎn)，一光滑斜面將重球支持于A點(diǎn)，現(xiàn)將斜面沿水平面向右慢慢移動，那么細(xì)線對重球的拉力T及斜面對重球的支持力N的變化情況是：A

31、T逐漸增大，N逐漸減?。籅T逐漸減小，N逐漸增大；CT先變小后變大，N逐漸減?。籇T逐漸增大，N先變大后變小。答：C解：重球受三個(gè)力：重力的大小及方向均為確定，在重球由A運(yùn)動到B的過程中，每一個(gè)位置上三力均圍成一個(gè)封閉的三角形（圖5）由于物體在水平面上滑動，則f=N，將f和N合成，得到合力F，由圖知F與f的夾角：不管拉力T方向如何變化，F(xiàn)與水平方向的夾角不變，即F為一個(gè)方向不發(fā)生改變的變力這顯然屬于三力平衡中的動態(tài)平衡問題，由前面討論知，當(dāng)T與F互相垂直時(shí)，T有最小值，即當(dāng)拉力與水平方向的夾角=90-arc ctg=arctg時(shí)，使物體做勻速運(yùn)動的拉力T最小例7、一質(zhì)量為50kg的均勻圓柱體，

32、放在臺階旁，臺階高度（r為柱體半徑）。柱體最上方A處施一最小的力F，使柱體剛能開始以P軸向臺階上滾，求此最小力析：圓柱體不能看作質(zhì)點(diǎn)，選其為研究對象，分析其受力如圖13（a）所示先將圓柱體在P點(diǎn)所受的支持力N和靜摩擦力f合成，得到合力Q，則圓柱體受mg、Q、F三個(gè)力作用，這三個(gè)力必為共點(diǎn)力，且Q、F二力的合力為定值，如圖13（b）所示，顯然當(dāng)F與Q垂直時(shí)，F(xiàn)有最小值，由題給條件知， OAP=30，則：Fmin=Tsin30=mgsin30=250N由以上兩例可以發(fā)現(xiàn)，將多力問題轉(zhuǎn)化為三力問題時(shí)，常先將同一接觸面上的彈力和摩擦力合成，在求解時(shí)用的較多的分析思路是三力的動態(tài)平衡問題的分析思路，請讀

33、者再進(jìn)一步加以體會（2）利用正交分解法分析求解當(dāng)受力較多時(shí)，利用合成法需要幾次合成才能得出結(jié)論，分析起來較繁瑣最常見的多力平衡問題就是直接建立正交坐標(biāo)系，在分析物體受力后，利用正交分析法求解例8、如圖14為一遵從胡克定律的彈性輕繩，其一端固定于天花板上的O點(diǎn)，另一端與靜止在動摩擦因數(shù)恒定的水平地面上的滑塊A相連當(dāng)繩處在豎直位置時(shí)，滑塊A對地面有壓力作用B為緊挨繩的一光滑水平小釘，它到天花板的距離BO等于彈性繩的自然長度現(xiàn)用一水平力F作用于A，使它向右作直線運(yùn)動在運(yùn)動過程中，作用于A的摩擦力A、逐漸增大 B、逐漸減小C、保持不變 D、條件不足，無法判斷析：取物體A為研究對象，分析A受力如圖15，

34、并沿水平和豎直方向建立正交坐標(biāo)系 由于物體向右做直線運(yùn)動，則y軸方向上受力平衡，即：TsinN=mg依題意，繩的拉力T=kx，x為彈性繩的形變量，則地面對物體的支持力與A物體在B正下方時(shí)地面對物體的支持力相同也就是說，在物體向右運(yùn)動過程中，地面對物體的支持力不變，由滑動摩擦力公式知，正確答案為C解決物理問題的關(guān)鍵在于有正確的分析思路和解題步驟上面我們雖然分成幾種情況來討論平衡問題，但不難發(fā)現(xiàn)，突破障礙后，其解題的思路和步驟是完全一樣的這就要求我們，在學(xué)習(xí)物理的平衡知識時(shí)，首先要建立一個(gè)解題的基本模式，即解題基本步驟及幾種常見題型的特點(diǎn)，則無論在何處遇到此類問題，都能夠迅速喚起基本模式，通過原型

35、啟發(fā)，迅速重視相關(guān)知識，從而順利地解決問題解平衡問題是這樣，解決其它問題也是這樣，如果我們堅(jiān)持這樣去做，就會達(dá)到會學(xué)、要學(xué)、樂學(xué)的高境界三、練習(xí)題1如圖16，AB為一輕質(zhì)桿，BC為一細(xì)繩，A總通過絞鏈固定于豎直墻上，若在桿上掛一重物，并使其逐漸由B向A移動，試分析墻對桿A端的作用力如何變化？ 2半徑為R的光滑球，重為G，光滑木塊，重為G，如圖示放置至少用多大的力F（水平力）推木塊，才能使球離開地面？木塊高為h3兩根長度相等的輕繩下端是掛一質(zhì)量為m的物體，上端分別固定在水平天花板上的M、N點(diǎn)M、N兩點(diǎn)間的距離為S，如圖18所示已知兩繩所能承受的最大拉力均為T，則每根繩的長度不得短于多少？球，在圖示情形下處于靜止?fàn)顟B(tài)，求繩對球的拉力大小及斜面給球的支持力的大小5如圖20，AB為一輕質(zhì)梯子，A端靠在光滑墻面上，B端置于粗糙水平面上當(dāng)重為G的人由B端逐漸爬上梯子的A端時(shí)，梯子始終沒動試分析墻對梯子的作用力與地面給梯子的作用力分別如何變化？6如圖21，一木塊質(zhì)量為m，放在傾角為的固定斜面上，木塊與斜面間的動摩擦因數(shù)為當(dāng)用水平方向的力F推這木塊時(shí)，木塊沿斜面勻速上升，則此水平推力多大？附答案：1先減小，后增大4