幾類常見遞推數(shù)列的解法

1、幾類遞推數(shù)列通項公式的常見類型及解法 江西省樂安縣第二中學 李芳林 郵編 344300已知數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式的方法大約分為兩類：一類是根據(jù)前幾項的特點歸納猜想出a的表達式，然后用數(shù)學歸納法證明；另一類是將已知遞推關(guān)系，用代數(shù)法、迭代法、換元法，或是轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列（等差或等比）的方法求通項第一類方法要求學生有一定的觀察能力以及足夠的結(jié)構(gòu)經(jīng)驗，才能順利完成，對學生要求高第二類方法有一定的規(guī)律性，只需遵循其特有規(guī)律方可順利求解在教學中，我針對一些數(shù)列特有的規(guī)律總結(jié)了一些求遞推數(shù)列的通項公式的解題方法一、型形如（d為常數(shù)）的遞推數(shù)列求通項公式，將此類數(shù)列變形得，再由等差數(shù)列的通項公式可求

2、得an.例1： 已知數(shù)列中，求的通項公式.解： 是以為首項，3為公差的等差數(shù)列.為所求的通項公式.二、型形如aa+ f (n)， 其中f (n) 為關(guān)于n的多項式或指數(shù)形式（a）或可裂項成差的分式形式可移項后疊加相消例2：已知數(shù)列a,a0,nN，aa（2n1），求通項公式a 解：a=a（2n1）a=a（2n1） aa =1 、aa=3 、 aa=2n3 a= a(aa)(aa)(aa)=0135(2n3)=1(2n3)( n1)=( n1)2 nN三、型形如（q為常數(shù)）的遞推數(shù)列求通項公式，將此類數(shù)列變形得，再由等比數(shù)列的通項公式可求得an.例3 ： 已知數(shù)列中滿足a1=1，求的通項公式.解：

3、 是以為首項，2為公比的等比數(shù)列.為所求的通項公式.四、型形如可轉(zhuǎn)化為.其中f (n) = （p0，m0,b c = km,kZ）或 =kn（k0）或= km( k 0, 0m且m 1) 例4：已知數(shù)列a, a=1，a0,( n1) a2 n a2aa=0，求a 解：( n1) a2 n a2aa=0 (n1) ana(aa)= 0 a0 aa 0 (n1) ana=0 五、a= f (a) 型形如a= f (a)，其中f (a)是關(guān)于a的函數(shù).-需逐層迭代、細心尋找其中規(guī)律例5：已知數(shù)列a，a=1, nN，a= 2a3 n ,求通項公式a解： a= 2 a3 n a=2 a3 n-1 =2(

4、2 a3 n-2)3 n-1 = 22(2 a3 n-3)2·3 n-23 n-1=2 n-2(2 a3 )2 n-3·3 22 n-4·3 32 n-5·3 422·3 n-32·3 n-23 n-1=2 n-12 n-2·3 2 n-3·3 22 n-4·3 322·3 n-32·3 n-23 n-1 六、apa+ q型 形如apa+ q ,pq0 ，p、q為常數(shù)當p 1時，為等差數(shù)列；當p 1時，可在兩邊同時加上同一個數(shù)x，即a+ x = pa+ q + x a+ x = p(a

5、+ )， 令x = x = 時，有a+ x = p(a+ x )， 從而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列 a+ 求解例6：已知數(shù)列a中，a=1，a= a+ 1，n= 1、2、3、，求通項a解： a= a+ 1 a2 =(a 2) 又a2 = -10 數(shù)列 a2首項為-1，公比為的等比數(shù)列 a2 = -1 即 a= 2 2 nN七、apa+ f (n)型形如apa+ f (n)，p0且 p為常數(shù)，f (n)為關(guān)于n的函數(shù)當p 1時，則 aa+ f (n) 即類型二當p 1時，f (n)為關(guān)于n的多項式或指數(shù)形式（a）若f (n)為關(guān)于n的多項式（f (n) = kn + b或kn+ bn + c，k、b、c為常數(shù)

6、），可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列例7：已知數(shù)列 a滿足a=1，a= 2an，nN求a解：令a+ xa(n+1)+ b(n+1) + c = 2(a+ an+ bn + c) 即 a= 2 a+ (2aax)n+ (2b -2ax bx)n +2c ax bx cx 比較系數(shù)得： 令x = 1，得： a+ (n+1)+2(n+1) + 3 = 2(a+ n+2n + 3) a+1+2×1+3 = 7令b= a+ n+2n + 3 則 b= 2b b= 7 數(shù)列 b為首項為7，公比為2的等比數(shù)列 b= 7× 2 即 a+ n+2n + 3 = 7× 2 a= 7

7、15; 2( n+2n + 3 ) nN若f (n)為關(guān)于n的指數(shù)形式（a）當p不等于底數(shù)a時，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列；當p等于底數(shù)a時，可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列例8：若a=1，a= 2 a+ 3，(n = 2、3、4) ，求數(shù)列a的通項a解: a= 2 a+ 3 令a+ x×3= 2(a+x×3) 得 a= 2 ax×3 令-x×3= 3 x = -1 a3= 2(a3) 又 a3 = - 2 數(shù)列是首項為-2,公比為2的等比數(shù)列=-2·2 即a= 3-2 nN例9：數(shù)列 a中,a=5且a=3a+ 3-1 (n = 2、3、4) 試求通項a解： a=3a+

8、 3-1 a 3 是公差為1的等差數(shù)列=+() = +() = n +a= ( nN八、a= p a+ q a型解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足解法二(特征根法)：對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）；當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組）。例10: 已知數(shù)列a中a= 1, a= 2且 ,; 求a的通項解:令a+x a= (1+x) a+ 2 a a+x a= (1+x)( a+ a)令x = x+ x 2 = 0 x

9、 = 1或 -2當x = 1時,a+ a=2(a+ a) 從而a+ a= 1 + 2 = 3數(shù)列 a+ a是首項為3且公比為2的等比數(shù)列. a+ a= 3 當x = - 2時, a- 2a= - (a-2a) , 而 a- 2a= 0 a- 2a= 0 由、得:a= 2 , 九、= 型形如= ，（pq 0）且的數(shù)列，可通過倒數(shù)變形為基本數(shù)列問題當p = q時，則有： 轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列；當p q時，則有：同類型六轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列例11：若數(shù)列a中，a=1，a= nN，求通項a解： 又 ， 數(shù)列 a是首項為1，公差為的等差數(shù)列=1 a= nN類型十 、解法：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且），那么，可作特征方程,當特征方程有且僅有一根時,則是等差數(shù)列;當特征方程有兩個相異的根、時，則是等比數(shù)列。例10：已知數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項公式. 解: 數(shù)列的特征方程為變形得其根為故特征方程有兩個相異的根，使用定理2的第（2）部分，則有即類型十一、 解法：這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。例11：已知數(shù)列中，求數(shù)列解：由兩邊取對數(shù)得，令，則，再利用待定系數(shù)法解得：。類型十二、雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的