九年級數(shù)學相似三角形復習

1、 篤學 精博 嚴謹 創(chuàng)新 數(shù)學需要專心聽講、積極思考。數(shù)學也需要練習，練習的目的不是為了完成，是為了加強記憶，加強理解。而訂正的目的是為了糾正錯誤，防止再次的情況發(fā)生。九年級數(shù)學上冊（華東師大版）第3章 圖形的相似1. 相似圖形形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡單的是相似三角形. 2. 比例線段的相關概念 如果選用同一單位量得兩條線段的長度分別為，那么就說這兩條線段的比是，或寫成注意：在求線段比時，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應先化成同一單位在四條線段中，如果的比等于的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段注意：(1)當兩個比例式的每一項都對應相同，兩個比例式才是同一比例式(

2、2)比例線段是有順序的，如果說是的第四比例項，那么應得比例式為：3. 比例的性質（1） 比例的基本性質比例式化積、積化比例式.a:b=c:d 注意：由一個比例式只可化成一個等積式，而一個等積式共可化成八個比例式，如，除了可化為，還可化為，更比性質(交換比例的內項或外項)：(2)反比性質 (把比的前項、后項交換) (3)合、分比性質 分子加（減）分母,分母不變. (k=1、2、3)應用: 已知 證明: (4)等比性質:分子分母分別相加，比值不變. 若則注意：(1)此性質的證明運用了“設法” ，這種方法是有關比例計算，變形中一種常用方法(2)應用等比性質時，要考慮到分母是否為零(3)可利用分式性質

3、將連等式的每一個比的前項與后項同時乘以一個數(shù)，再利用等比性質也成立如：；其中(5)比例中項:若的比例中項.4.平行線分線段成比例定理 (1).平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比.例. 已知l1l2l3, A D l1 B E l2 C F l3可得(2).推論:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例. A D E B C由DEBC可得：.此推論較原定理應用更加廣泛,條件是平行.(3).推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊. (即利用比例式證平行線)(4).定

4、理:平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例. 5.黃金分割把線段分成兩條線段，且使是的比例中項，叫做把線段黃金分割，點叫做線段的黃金分割點，其中0.6186. 相似三角形的概念對應角相等，對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符號“”表示，讀作“相似于” 相似三角形對應邊的比叫做相似比(或相似系數(shù))相似三角形對應角相等，對應邊成比例注意：對應性：即兩個三角形相似時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應位置上，這樣寫比較容易找到相似三角形的對應角和對應邊順序性：相似三角形的相似比是有順序的兩個三角形形狀一樣，但大小不一定一樣全等三角形是相似比為1

5、的相似三角形二者的區(qū)別在于全等要求對應邊相等，而相似要求對應邊成比例7. 相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似定理的基本圖形：用數(shù)學語言表述是：，8. 相似三角形的等價關系(1)反身性：對于任一有 (2)對稱性：若，則 (3)傳遞性：若，且，則9. 相似三角形的判定方法（1）定義法：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似（2）平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似（3）相似三角形的判定定理 兩角對應相等的兩個三角形相似(此定理用的最多); 兩邊對應成比例且夾角相等的兩

6、個三角形相似; 三邊對應成比例的兩個三角形相似; 直角邊和斜邊對應成比例的兩個直角三角形相似.10. 直角三角形中的相似問題斜邊的高分直角三角形所成的兩個直角三角形與原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD， AC²=AD·AB，BC²=BD·BA（在直角三角形的計算和證明中有廣泛的應用）.11. 相似三角形性質(1)相似三角形對應角相等，對應邊成比例(2)相似三角形對應高的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比(3)相似三角形周長的比等于相似比(4)相似三角形面積的比等于相似比的平方(5)相似三角形性質可用來證明線段成

7、比例、角相等，也可用來計算周長、邊長等12. 相似多邊形如果兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應角相等，對應邊成比例，這兩個多邊形叫做相似多邊形相似多邊形對應邊的比叫做相似比(相似系數(shù))13. 相似多邊形的性質(1)相似多邊形周長比，對應對角線的比等于相似比(2)相似多邊形中對應三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比(3)相似多邊形面積比等于相似比的平方注意：相似多邊形問題往往要轉化成相似三角形問題去解決，因此，熟練掌握相似三角形知識是基礎和關鍵14. 與位似圖形有關的概念1. 如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應頂點的連線都交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形. 2. 這個點叫做位似中心，這

8、時的相似比又稱為位似比. 拓展： （1） 位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對應頂點的連線相交于一點. （2） 位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形. （3） 位似圖形的對應邊互相平行或共線. 15. 位似圖形的性質位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比. 拓展：位似圖形有許多性質，它具有相似圖形的所有性質.16. 畫位似圖形1. 畫位似圖形的一般步驟： （1） 確定位似中心 （2） 分別連接原圖形中的關鍵點和位似中心，并延長（或截取）. （3） 根據已知的位似比，確定所畫位似圖形中關鍵點的位置. （4） 順次連結上述得到的關鍵點，即可得到一個放大或

9、縮小的圖形. 2. 位似中心的選?。?（1） 位似中心可以在圖形外部，此時位似中心在兩個圖形中間，或在兩個圖形之外. （2） 位似中心可取在多邊形的一條邊上. （3） 位似中心可取在多邊形的某一頂點上. 說明：位似中心的選取決定了位似圖形的位置，以上位似中心位置的選取中，每一種方法都能把一個圖形放大或縮小.17. 相似三角形中的常見圖形 （1）若DEBC（A型和X型）則ADEABC （2）射影定理 若CD為RtABC斜邊上的高（雙直角圖形） 則RtABCRtACDRtCBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB； （3）滿足1、AC2=AD&

10、#183;AB，2、ACD=B，3、ACB=ADC，都可判定ADCACB（4）當或AD·AB=AC·AE時，ADEACB （3） （4）2、 典型例題解析：例1.如果xyz135，那么_例2.如圖，有一塊呈三角形形狀的草坪，其中一邊的長是20 m，在這個草坪的圖紙上，這條邊長5 cm，其他兩邊的長都是3.5 cm，求該草坪其他兩邊的實際長度.例3.已知線段d是線段a、b、c的第四比例項，其中a2 cm，b4 cm，c5 cm，則d等于（）（A）1 cm（B）10 cm（C） cm（D） cm例4如圖，l1l2l3，BC3，2，則AB_例5.如圖，在ABC中，AB15 cm，

11、AC12 cm，AD是BAC的外角平分線，DEAB交AC的延長線于點E，那么CE_cm 例6.如圖，在ABC中，M、N是AB、BC的中點，AN、CM交于點O，那么MONAOC面積的比是_ 例7.如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是AD的中點，BF與AC交于點G，則BGC與四邊形CGFD的面積之比是_例8.如圖，點C、D在線段AB上，PCD是等邊三角形（1）當AC、CD、DB滿足怎樣的關系時，ACPPDB？（2）當ACPPDB時，求APB的度數(shù) 例9.已知：如圖，在正方形ABCD中，P是BC上的點，且BP3PC，Q是CD的中點求證：ADQQCP例10.已知：如圖，ABC中，ABAC，AD是中線，P是A

12、D上一點，過C作CFAB，延長BP交AC于E，交CF于F求證：BP2PE·PF例11.如圖，在梯形中，梯形的高為動點從點出發(fā)沿線段以每秒2個單位長度的速度向終點運動；動點同時從點出發(fā)沿線段以每秒1個單位長度的速度向終點運動設運動的時間為（秒）（1）當時，求的值；（2）試探究：為何值時，為直角三角形 例12.如圖，在平面直角坐標系中，已知OA=12cm，OB=6cm，點P從O點開始沿OA邊向點A以1cm/s的速度移動：點Q從點B開始沿BO邊向點O以1cm/s的速度移動，如果P、Q同時出發(fā)，用t(s)表示移動的時間（），那么：（1）設POQ的面積為，求關于的函數(shù)解析式。（2）當POQ的面

13、積最大時， POQ沿直線PQ翻折后得到PCQ，試判斷點C是否落在直線AB上，并說明理由。（3）當為何值時， POQ與AOB相似？例13.亮亮和穎穎住在同一幢住宅樓，兩人準備用測量影子的方法測算其樓高，但恰逢陰天，于是兩人商定改用下面方法：如圖，亮亮蹲在地上，穎穎站在亮亮和樓之間，兩人適當調整自己的位置，當樓的頂部，穎穎的頭頂及亮亮的眼睛恰在一條直線上時，兩人分別標定自己的位置，然后測出兩人之間的距離，穎穎與樓之間的距離（，在一條直線上），穎穎的身高，亮亮蹲地觀測時眼睛到地面的距離你能根據以上測量數(shù)據幫助他們求出住宅樓的高度嗎？3 課堂實戰(zhàn)演練1. 已知 ，則下列式子中正確的是（ ）A.a:b=

14、c²：d² B.a:d=c:d C.a:b=(a+c):(b+d) D.a:b=(a-d):(b-d)2. 一個運動場的實際面積是6400m²，那么它在比例尺1:1000的地圖上的面積是（ ）² B.640cm² C.64cm² D.8cm²3. 測得線段AB=2.8m，CD=310cm，則線段AB與CD的比為（ ） 4. 已知線段d是線段b、c、a的第四比例項，其中a=5cm,b=2cm,c=4cm,則d等于（ ）5. 如果線段d是線段a、b、c的第四比例項，則有 ； 如果點C是線段AB的中點，那么AC是AB、BC的比例中

15、項； 如果點C是線段AB的黃金分割點，且AC>BC，那么AC是AB與BC的比例中項； 如果點C是線段AB的黃金分割點，且AC>BC，AB=2，則AC= .其中正確的判斷有（ ）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個6. 如圖，DEBC,在下列比式中，不能成立的是（ ） 7. 下列圖形中相似的多邊形是（ ）A.所有的矩形 B.所有的菱形 C.所有的正方形 D.所有的等腰梯形8. 下列判斷中，正確的是（ ）A.各有一個角時67°的兩個等腰三角形相似； B.鄰邊之比都為2:1的兩個等腰三角形相似； C.各有一個角時45°的兩個等腰三角形相似；D.鄰邊之比都為2:3的兩

16、個等腰三角形相似.9. 在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，則ABC中相似三角形共有（ ）A.1對 B.2對 C.3對 D.4對10. 點D、E分別是ABC的邊AB、AC的中點，則SADE:SABC=（ ）A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:211. ，則k=（ ） A.2 B.-1 C.2或-1 D.無法確定12. 下列說法正確的是（ ）A.兩位似圖形的面積比等于位似比；B.位似圖形的周長之比等于位似比的平方；C.分別在ABC的邊AB、AC的反向延長線上取點D、E，使DEBC，則ADE是ABC放大后的圖形； A. B. C. D.D.位似多邊形中對應對角線之比等于位似比13. 如果

17、一個直角三角形的兩條直角邊分別是6和8，另一個與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值（ ）A.只有1個 B.可以有2個 C.有2個以上，但有限 D.有無數(shù)個14. 如圖，在ABC中，D為AC邊上一點，DBC=A，BC=6，AC=3，則CD的長為( )A.1 B. C.2 D. 15. 如圖，在RtABC中，C=90°，CDAB于D，且ADBD=9:4，則AC:BC的值為（ ）A.9:4 B. 9:2 C.3:4 D.3:2 二填空題16. _, _.17. 如果x:y:z=1:3:5,那么 _.18. E、F為線段AB的黃金分割點，已知AB=10cm，則EF的長度為_c

18、m.19. 在陽光下，身高1.68m的小強在地面上的影長為2m，在同一時刻，測得學校的旗在地面上的影長為18m.則旗桿的高度為_（精確到0.1m）.20. 兩個相似三角形對應高的比為1:2,則它們的周長之比為_;面積之比為_.21. ABC的三邊長分別為5、10、15， 的兩邊長分別為1和2，如果ABC ，那么 的第三邊長為_.22. 如圖，在平行四邊形ABCD中，延長AB到E,使AB=2BE，延長CD到F，使DF=DC，EF交BC于G，交AD于H.則SBEG:SCFG=_.23. 如圖，AB是斜靠在墻上的一個梯子，梯腳B距墻1.4m，梯墻一點D距強1.2m， BD長0.5m，則梯長為_. （

19、23題） (24題)24. 如圖，在ABC中，BAC=90°，D是BC中點，AEAD交CB延長線于點E，則BAE相似于_. 25. 如圖，在ABC中，M、N是AB、BC的中點， AN、CM交于點O，那么MOCAOC面積的比為_.一、 作圖題（5分）26. 三角形的頂點坐標分別是A（2,2），B(4,2)，C(6,4)，試將ABC縮小，使縮小后的DEF與ABC的對應邊比為1:2，并且直接寫出點D、E、F的坐標.二、 解答題（27題、28題5分，29題10分，共20分）27. 如圖，DEBC，DFAC，AD=4cm，BD=8cm，DE=5cm，求線段BF的長.28. 如圖，已知ABC中，AE:EB=