平面向量及正余弦定理

1、平面向量【知識(shí)結(jié)構(gòu)】平面向量向量 解斜三角形向量的概念 向量的運(yùn)算 正弦定理 余弦定理 零向量 向量的加減法 平面向量的坐標(biāo)表示單位向量平行向量 三角形法則 實(shí)數(shù)與向量的積 線段的定比分點(diǎn)相等向量 平行四邊形法則 平面向量的數(shù)量積 坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)間的距離 平移【基礎(chǔ)知識(shí)要點(diǎn)】一、向量的基本概念1.向量既有大小又有方向的量叫做向量。物理學(xué)中叫做矢量。如力、速度、加速度、位移就是向量。向量可以用一條有向線段（帶有方向的線段）來表示，用有向線段的長度表示向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向。以為起點(diǎn)、為終點(diǎn)的有向線段記作。線段的長度也叫做有向線段的長度，記作。有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、

2、長度。向量也可以用一個(gè)小寫字母（注意：手寫體必須在小寫字母上畫上方向箭頭，如：）來表示；向量還可以用兩個(gè)大寫字母上加箭頭表示（其中前面的字母為起點(diǎn)，后面的字母為終點(diǎn)），如等。2.向量的長度（或“?！保┫蛄浚ɑ颍┑拇笮?，也就是向量（或）的長度（或稱“?！保?，記作，的模為。注意：向量是既有大小又有方向的量，不同于數(shù)量（只有大小而沒有方向）；數(shù)量可以直接比較大小，而向量不能直接比較大小，但可以比較向量的模的大小（因?yàn)橄蛄康哪Ｊ钦龜?shù)或0，可以進(jìn)行大小比較）。3.零向量長度為0的向量叫做零向量，記作。顯然，但零向量的方向是不確定的。4.單位向量長度等于1個(gè)單位長度的向量，叫做單位向量。表示與同（反）方向

3、的單位向量；表示與同（反）方向的單位向量。5.平行向量（或共線向量）方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量。平行向量也叫做共線向量。若向量平行，記作。規(guī)定：與任一向量平行。6.相等向量長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。若向量相等，記作零向量與零向量相等。任意兩個(gè)相等的非零向量，都可以用同一條有向線段表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)。二、向量的加法與減法1.兩個(gè)向量的和由于向量可以平行移動(dòng)而不會(huì)改變其大小和方向，當(dāng)把向量平移，使的起點(diǎn)與的終點(diǎn)重合，那么以向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，以向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量就叫做向量與向量的和。2.向量的加法求兩個(gè)向量的和的運(yùn)算，叫做向量的加法。3.向量加法的平行四邊形法

4、則以同一點(diǎn)為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量為鄰邊作，則以為起點(diǎn)的對角線就是，我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則。如圖（1）所示。B圖（1） 圖（2）OABA4.向量加法的三角形法則根據(jù)向量和的定義，以第一個(gè)向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)作第二個(gè)向量，則以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)，以第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量就是與的和，我們把這種作兩個(gè)向量和的方法叫做向量加法的三角形法則。如圖（2）所示。5.向量加法的運(yùn)算定律（1）交換律：（2）結(jié)合律：注意：由于向量的加法適合交換律與結(jié)合律，因此，多個(gè)向量的加法運(yùn)算就可按照任意的次序與任意的組合來進(jìn)行了。6.相反向量與長度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，記作

5、-。規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量。性質(zhì)：(1)；(2)。7.兩個(gè)向量的差向量加上的相反向量，叫做與的差，即。8.向量的減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法。法則：如圖(3)所示，已知，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作，則。即表示從向量的終點(diǎn)指向向量的終點(diǎn)的向量。 圖（3）OAB三、實(shí)數(shù)與向量的積1.實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（1）；（2）當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，。2.實(shí)數(shù)與向量的積所滿足的運(yùn)算律設(shè)為實(shí)數(shù)，那么（1）；（2）；（3）；3.向量共線的充要條件（定理）向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得。4.平面

6、向量基本定理如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使。我們把不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。四、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1.平面向量的坐標(biāo)表示在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與軸、軸正方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，對任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)對叫做向量的直角坐標(biāo)，記作。其中分別叫做在軸、軸上的坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示。相等的向量其坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等向量。2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）若，則；（2）如果，那么；（3）若，則；（4）如果，那么的充要條件是五、平面向量的數(shù)量積1. 平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念（1）已知兩個(gè)非

7、零向量，過點(diǎn)作，則叫做向量與的夾角。很顯然，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量同方向時(shí)，；當(dāng)且僅當(dāng)反方向時(shí)，；同時(shí)與其他任意非零向量之間不談夾角這一問題。（2）如果的夾角為，則稱與垂直，記作。（3）是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，則數(shù)叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即。規(guī)定：；當(dāng)時(shí)，這時(shí)。2.的幾何意義（1）一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影設(shè)是與的夾角，則稱作在的方向上的投影，稱作在的方向上的投影。在的方向上的投影是一個(gè)數(shù)，而不是向量。當(dāng)時(shí)，它是正值；當(dāng)時(shí) ，它是負(fù)數(shù)；當(dāng)時(shí) ，它是零。（2）的幾何意義等于的長度與在的方向上的投影的乘積。3.的性質(zhì)設(shè)、是兩個(gè)非零向量，是單位向量，于是有（1）；（2）；（3）當(dāng)與

8、同向時(shí)，；當(dāng)與反向時(shí)，；特別地，或；（4）；（5）。4.的運(yùn)算律（1）；（2）；（3）。5. 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示（1）若，則；（2）若，則，；（3）若，則；（4）若，則。六、線段的定比分點(diǎn)和平移1. 線段的定比分點(diǎn)（1）點(diǎn)分有向線段所成的比設(shè)、是直線上兩點(diǎn)，是上異于、的任意一點(diǎn)，則存在實(shí)數(shù)，使，稱為點(diǎn)分有向線段所成的比，同時(shí)，稱點(diǎn)為有向線段的定比分點(diǎn)。2. 線段的定比分點(diǎn)公式設(shè)點(diǎn)分有向線段所成的比為，即，并且，則 （），這就是有向線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式。特別地，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，有 ，這就是中點(diǎn)坐標(biāo)公式。七、正弦定理和余弦定理1. 三角形中的定理（1）內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式：；（2）任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；（3）正弦定理：，為的外接圓半徑。A（4）余弦定理：b；caC；B。（5）面積公式：；，該公式叫“海倫公式”；，為的內(nèi)切圓半徑；，為的外接圓半徑。（6）邊角之間的不等式關(guān)系：2.正余弦定理適用的題型（1）余弦定理適用的題型已知三邊，求三個(gè)角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角。（2）正弦定理適用的題型已知兩角和任一邊，求