一類非線性瘧疾傳播模型的Hopf分支(xiugai)

1、一類非線性瘧疾傳播模型的Hopf分支,（1.甘肅工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅 天水 741025; 2. 陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，陜西 西安 710062）摘要：根據(jù)特征方程特征根的情況討論了一類非線性瘧疾傳播模型的模型的Hopf分支問(wèn)題. 使用消元法來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆€(wěn)定性是否依賴于時(shí)滯；最后運(yùn)用對(duì)模型的數(shù)值解進(jìn)行圖形擬合，驗(yàn)證了文中定理的可實(shí)現(xiàn)性.關(guān)鍵詞：時(shí)滯；穩(wěn)定性；Hopf分支；消元法中圖分類號(hào)：O175.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A0 引言眾所周知，傳染病歷來(lái)就是人類的大敵，盡管隨著醫(yī)療水平的提高和衛(wèi)生設(shè)施的改革如天花等曾肆虐傳染病已經(jīng)得到有效的控制，但世界衛(wèi)生組織的報(bào)告表明：目前全球60億人中約有

2、半數(shù)的人仍在受到不同傳染病的威脅。因此，對(duì)各種傳染病的發(fā)病機(jī)理，傳播過(guò)程和防治方法的研究已成為當(dāng)今人類需要迫切解決的一個(gè)重大問(wèn)題。傳染病動(dòng)力學(xué)是一種對(duì)傳染病的流行病的流行規(guī)律進(jìn)行理論定量研究的方法。文獻(xiàn)1-6中人們根據(jù)疾病在種群中的傳播規(guī)律，首先建立能夠反映傳染病動(dòng)力學(xué)的模型，然后對(duì)模型進(jìn)行定性分析和數(shù)值模型，為人們探索傳染病蔓延和預(yù)防提供理論依據(jù)，并已有大量的研究成果應(yīng)用于醫(yī)學(xué)等諸多領(lǐng)域。如文獻(xiàn)2中公共衛(wèi)生醫(yī)生Ross博士利用微分方程研究了瘧疾在蚊子和人類之間傳播的規(guī)律，其研究表明，若將蚊蟲(chóng)的數(shù)量控制在一個(gè)臨界值以下，瘧疾的流行將會(huì)得到控制。文獻(xiàn)3中Kermack與McKendrick構(gòu)造了

3、SIS模型為傳染病動(dòng)力學(xué)的研究奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，在以后的幾十年里，傳染病動(dòng)力學(xué)得到了蓬勃的發(fā)展.1 模型引入文獻(xiàn)1研究了一類具有潛伏期，接種率且無(wú)垂直傳染的瘧疾模型 的正平衡態(tài)的存在性，模型局部漸進(jìn)穩(wěn)定及Hopf分支的存在性條件.其中參數(shù)表示傳染率，表示人的傳染率即蚊蟲(chóng)被人感染的幾率，表示人類的死亡率與康復(fù)率之和，表示蚊子的死亡率，表示發(fā)生率即人類的新患者數(shù).同時(shí)，上述模型提出了無(wú)垂直傳染，即只有完全康復(fù)了才能再次被再次感染的假設(shè). 由于在傳染病動(dòng)力學(xué)中時(shí)滯是影響流行病傳播的重要因素，瘧原蟲(chóng)在人和蚊子體內(nèi)分別有一定的潛伏期，所以必須得考慮是指對(duì)穩(wěn)定性的影響，在本文中，將討論模型(1.1)由時(shí)滯

4、產(chǎn)生的分支問(wèn)題。 ( 1.1)模型（1.1）在滿足條件 其中 即 時(shí)存在著唯一的正平衡態(tài)，近似變換以后得到了如下的近似系統(tǒng) （1.2）下面根據(jù)特征方程特征根的情況討論（1.1）模型的分支問(wèn)題.2 局部分支的存在性模型（1.1）的特征矩陣為即有特征方程 (2.1)其中 下面將分三種情況進(jìn)行討論情形若，這是模型（1.1）的平衡態(tài)為，相當(dāng)于模型是自由病例的情況，此時(shí)（2.1）變?yōu)?(2.2)即 （2.3）因?yàn)?，所以模型?1.1)平衡態(tài)處是漸近穩(wěn)定的. 設(shè)是方程的一個(gè)根，記 顯然，不是方程（2.2）的根，將代入（2.2）式有 令 設(shè)，因?yàn)椋@時(shí)模型(1.1)的平衡態(tài)是不穩(wěn)定的.情形2當(dāng)且時(shí)，上述的特

5、征方程（2.1）具有下面的形式 (2.4)其中當(dāng)時(shí)，（2.4）式變?yōu)?因，這時(shí)方程（2.4）有兩個(gè)負(fù)實(shí)根，則在此情形下模型（1.3）的平衡態(tài)是漸近穩(wěn)定的.其生態(tài)學(xué)的意義是流行病或自由病例，最終疾病消失.設(shè)是方程（2.4）的一個(gè)根，記顯然，不是方程（2.4）的根，將代入有 令設(shè)，則上述方程變?yōu)?（2.5）對(duì)于方程（2.5）的系數(shù)，有以下的結(jié)論：（1） 當(dāng)或，且時(shí)，方程（2.3）存在負(fù)實(shí)根;（2） 當(dāng)時(shí)，方程（2.3）有兩個(gè)不同的正實(shí)根. 若上述的條件（2）成立，設(shè)方程存在著兩個(gè)正實(shí)根，分別記為且，則有 (2.6)其中由（2.1）式得，又,因此與符號(hào)是相同的. 將代入方程（2.2）得分離實(shí)虛二部由

6、上式有所以，存在.從上述的討論中，當(dāng)時(shí)模型（1.3）將產(chǎn)生分支周期解.通過(guò)如上討論，可得如下定理：定理2.1 假設(shè)成立，則（i）若，模型（1.3）在平衡態(tài)處是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的；(ii)若條件（1）成立，當(dāng)時(shí)模型（1.3）在平衡態(tài)處是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的；（iii）若條件（2）成立，模型（1.3）在平衡態(tài)處不穩(wěn)定.情形3當(dāng)時(shí)，特征方程（2.1）可以分解為 （2.7）即記 (2.8)顯然，零不是方程的根. 設(shè)，則下列方程至少有一個(gè)成立.假設(shè)成立，則; 因此要使得方程有正實(shí)根，必有即 （2.9）又由于從而則存在使得當(dāng)時(shí)，模型（1.3）是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)，模型（1.3）是不穩(wěn)定的，其中如上所述.同理，假如

7、方程成立，則; 因此很顯然，要使得方程有有正實(shí)根，必有即 （2.10）又由于從而則存在使得當(dāng)時(shí)，模型（1.3）在平衡態(tài)處是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)，模型（1.3）在平衡態(tài)處是不穩(wěn)定的，其中如上所述.綜上所述，有如下結(jié)論定理2.2 假設(shè)且，則（i）若，模型（1.3）在平衡態(tài)處是局部漸進(jìn)穩(wěn)定的；(ii)若，模型（1.3）在平衡態(tài)處是不穩(wěn)定的；（iii）若，模型（1.3）在平衡態(tài)處產(chǎn)生分支.其中3 消元法下面使用由Hertz和Zeheb提出的消元法來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆€(wěn)定性是否依賴于時(shí)滯.先假設(shè)，在這種情況下模型（1.3）的特征方程（2.1）變?yōu)?(3.1)其中.設(shè)，即，聯(lián)立方程得方程組 (3.2)記從而，方程

8、組（2.10）可以簡(jiǎn)化為 （3.3）即有消元行列式在此可以討論正平衡態(tài)為時(shí)，上述方程的解與之間的關(guān)系.再假設(shè)，且，在這種情況下模型（1.3的特征方程（2.1）變?yōu)?（3.4）作代換聯(lián)立方程得方程組 （3.5）記 從而，方程組（3.5）可以簡(jiǎn)化為 （3.6）下面根據(jù)特征方程的形式，檢驗(yàn)穩(wěn)定性不受時(shí)滯的影響。取，代入特征方程（2.1）得 （3.7）令，分離實(shí)虛二部有 （3.8）記方程（3,8）簡(jiǎn)化為 (3.9)由假設(shè)可知，則有從上述討論可以看出的符號(hào)不變，平衡態(tài)穩(wěn)定性也不發(fā)生變化。由于上述的結(jié)論較為復(fù)雜，所以可以通過(guò)數(shù)值處理進(jìn)行簡(jiǎn)化，比如取4 實(shí)例分析例1 令這時(shí)模型為解 此例模型的平衡態(tài)存在且唯

9、一。由于，滿足定理2.1的條件（1）即，則此時(shí)模型（1.3）在平衡態(tài)處是穩(wěn)定的。例2 令這時(shí)模型（1.3）為解 此例模型的正平衡態(tài)存在且唯一.由于 ，滿足定理2.2的條件知：當(dāng)時(shí)，模型（1.3）在平衡態(tài)處是漸進(jìn)穩(wěn)定的；當(dāng)時(shí)，模型（1.3）在平衡態(tài)處不穩(wěn)定產(chǎn)生周期解.小結(jié)：在傳染病動(dòng)力學(xué)中時(shí)滯是影響流行病傳播的重要因素，盡管本文內(nèi)容中討論了模型（1.3）產(chǎn)生的分支的條件，但是沒(méi)有辦法找到的顯性表達(dá)式，所以文中的討論僅僅是特征方程的特殊情形.通過(guò)用中心流形的理論推導(dǎo)時(shí)滯的臨界值，而得到臨界值的具體表達(dá)式，這部分工作有待進(jìn)一步完成。參考文獻(xiàn)1 Brauer F.Van den Driesssche

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