相似常見題型

1、圖形的相似模塊一 成比例線段1. 線段的比：如果選用同一個長度單位量得兩條線段，的長度分別為，那么這兩條線段的比就是它們長度的比，即：。其中，線段，分別叫做這個線段比的前項和后項，如果把表示成比值，那么，或.2. 比例的性質(zhì)：基本性質(zhì)： 反比性質(zhì)：更比性質(zhì): 合比性質(zhì)：分比性質(zhì)： 合分比性質(zhì)： 等比性質(zhì)： （其中k為正整數(shù)，且b1b2b3bk0）1. 若 ，則 ;2.已知 ，則 .4. 已知，則下列等式成立的是( ) ABCD2. 已知a，b，c為非零的整數(shù)，求k的值.已知，則 .模塊二 三角形相似的判定1.兩角分別相等的兩三角形相似如圖，在ABC中，點D、E、F分別在AB、AC、BC上，DE

2、BC，EFAB。若AB=8，BD=3，BF=4，則FC的長為 .2.如圖，在ABC中，AB=AC，BD=CD，CEAB于E。求證：ABDCBE.3.如圖，點在等邊的邊上，為等邊三角形，與交于點.證明：.除了外，請寫出圖中其他所有相似的三角形.4.如圖，RtABC中，ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，動點P從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒（0t2），連接PQ。（1）若BPQ與ABC相似，求t的值。（2）連接AQ，CP，若AQCP，求t的值。（3）試證明：PQ的中點在ABC的

3、一條中位線上。如圖，在ABC中，AD是BAC的平分線，AD垂直平分線交AD于E，交BC的延長線于F，求證ABFCAF如圖，已知ABBD，CDBD。（1）若AB=9，CD=4，BD=10，請問在BD上是否存在P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？若存在，求BP的長；若不存在，請說明理由。（2）若AB=9，CD=4，BD=12，請問在BD上存在多少個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似？并求BP的長。（3）若AB=9，CD=4，BD=15，請問在BD上存在多少個P點，使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點

4、的三角形相似？并求BP的長。（4）若AB=m，CD=n，BD=l，請問m，n，l滿足什么關(guān)系時，存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的一個P點？兩個P點？三個P點？如圖，矩形ABCD為臺球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E點位置，AE=60cm如果小丁瞄準BC邊上的點F將球打過去，經(jīng)過反彈后，球剛好彈到D點位置（1）求證：BEFCDF；（2）求CF的長2.兩邊成比例且夾角相等的兩三角形相似1.如圖，若給出下列條件：（1）B=ACD；（2）ADC=ACB；（3） ；（4）。其中能獨立判定ABCACD的條件有（  ）。A: 4

5、個 B: 3個C: 2個 D: 1個2.如圖所示,兩對角線AC,BD相交于O點,且將四邊形ABCD分成甲、乙、丙、丁四個三角形,若OA:OC=OB:OD=1:2,則此四個三角形的關(guān)系,下列說法中,正確的是( )A. 甲、丙相似,乙、丁相似  B. 甲、丙相似,乙、丁不相似 C. 甲、丙不相似,乙、丁相似  D. 甲、丙不相似,乙、丁不相似3.已知：如圖，在四邊形ABCD中，B=ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的長.4.已知,如圖,求證: .如圖，和為等邊三角形，、分別為兩個等邊三角形的高，求證：

6、如圖，在ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上，AED=B。射線AG分別交線段DE，BC于點F，G，且。（1）求證：ADF ACG 。（2）若，求的值。如圖,ACB為等腰直角三角形,點D為斜邊AB上一點,連CD,DECD,DE=CD.連AE.求證:（1）ACFEDF;（2）AFECFD;（3）AEBC;（4）ACEOCD如圖，在ABC 中，B 90°，點D，E 在BC上，且ABBDDEEC 求證：（1）ADECDA；（2）ADBAEBACB90°如圖,A、B、C、P四點均在邊長為1的小正方形網(wǎng)格格點上.(1)判斷PBA與ABC是否相似

7、,并說明理由;(2)求BAC的度數(shù);(3)在線段BC所經(jīng)過的格點上是否存在一點Q(點P除外),使得以A、C、Q為頂點的三角形與ABC相似?若存在,請標出點Q的位置,并證明;若不存在,請說明理由.已知：點C、A、D在同一條直線上，ABC=ADE=，線段BD、CE交于點M（1）如圖1，若AB=AC，AD=AE問線段BD與CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；求BMC的大?。ㄓ帽硎荆?；（2）如圖2，若AB=BC=kAC，AD=ED=kAE，則線段BD與CE的數(shù)量關(guān)系為 (_) ，BMC= (_) （用表示）；（3）在（2）的條件下，把ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)180&

8、#176;，在備用圖中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡），連接EC并延長交BD于點M則BMC=(_) （用表示） 3.三邊成比例的兩三角形相似如圖,四個4×4的正方形網(wǎng)格(每個網(wǎng)格中的小正方形邊長都是1),每個網(wǎng)格中均有一個“格點三角形”(三角形頂點在小正方形的頂點上),是相似三角形的為(    )A. (1)(3) B. (1)(2) C. (2)(3) D. (2)(4)4.如圖，點的坐標分別是，以為頂點的三角形與相似，你能找出幾個點總結(jié)二、相似的基本圖形【

9、模型一】金字塔模型【模型二】8字或X字型模型【模型三】雙垂直模型【模型四】一線三等角【模型五】旋轉(zhuǎn)型模塊三 利用相似三角形測高1.興趣小組的同學(xué)要測量樹的高度.在陽光下，一名同學(xué)測得一根長為1米的竹竿的影長為0.5米，同時另一名同學(xué)測量樹的高度時，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級臺階上，測得此影子長為0.2米，一級臺階高為0.3米，如圖所示，若此時落在地面上的影長為4.4米，則樹高為  米. 2.小明想測量一棵樹的高度，他發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在地面和一斜坡上，如圖，此時測得地面上的影長為8米，坡面上的影長為4米。已知斜坡的坡角為30°，同一時刻，一根長為

10、1米且垂直于地面放置的標桿在地面上的影長為2米，則樹的高度為（  ）。A:（6+）米B: 12米C: （4-）米D: 10米3.一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子來測量一路燈D的高度，如圖，當李明走到點A處時，張龍測得李明直立身高AM與其影子長AE正好相等，接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點B處時，李明直立身高BN的影子恰好是線段AB，并測得AB=1.25m.已知李明直立時的身高為1.75m，求路燈的高CD.（結(jié)果精確到0.1m）4.小紅家的陽臺上放置了一個曬衣架.如圖是曬衣架的側(cè)面示意圖，立桿AB、CD相交于點O，B、D兩點立于地面，經(jīng)測

11、量：AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，現(xiàn)將曬衣架完全穩(wěn)固張開，扣鏈EF成一條線段，且EF=32cm.求垂掛在衣架上的衣物的總長度小于多少時，才不會拖落到地面上？模塊四 相似三角形的基本題型根據(jù)相似求線段長如圖，已知ABC，DCE，F(xiàn)EG，HGI是4個全等的等腰三角形，底邊BC，CE，EG，GI在同一直線上，且AB=2，BC=1。連接AI，交FG于點Q，則QI=_ 。已知:如圖,在平行四邊形ABCD中,E、F分別是邊BC,CD上的點,且EFBD,AE、AF分別交BD與點G和點H,BD=12,EF=8.求:(1) 的值;(2)線段GH的長.在矩形ABCD

12、中，點E是BC邊的中點，點F，G分別在AB，CD上，且FEG=90°，若BF=1，CG=3，試求FG的長。如圖，在平行四邊形ABCD中，過點A作AEBC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點，且AFE=B  （1）求證：ADFDEC； （2）若AB=8，AD=，AF=，求AE的長如圖，在平行四邊形中，的平分線交于點，交的延長線于點，垂足為，若，則線段的長為 . 如圖，在菱形中，,相交于點（1）求邊的長；（2）如圖，將一個足夠大的直角三角板角的頂點放在菱形的頂點處，繞點左右旋轉(zhuǎn)，其中三角板角的兩邊分別與邊，相交于點連接與相交于點判斷是哪一種特殊三角形，并

13、說明理由；旋轉(zhuǎn)過程中，當點為邊的四等分點時，求的長已知直線，相鄰的兩條平行直線間的距離均為，矩形的四個頂點分別在這四條直線上，放置方式如圖所示，求如圖，在矩形紙片中，點是中點.將這張紙片依次折疊兩次：第一次折疊紙片使點與點重合，如圖，折痕為，連接、；則 ；第二次折疊紙片使點與點重合，如圖，點落到處，折痕為，連接，則= .如圖，正方形的對角線與相交于點，的角平分線分別交、于兩點若，則線段的長為 .求線段的比值如圖,在ABC中,E,F是邊BC上的兩個三等分點,D是AC的中點,BD分別交AE,AF,AC于P,Q,D,求（1）BP:PQ:QD（2）AP:AE（3）AQ:FQ在ABC中，AD：BD=1：

14、1，AE：CE=1：2，BE與CD交于點P，則BP：PE=（ ） 如圖，在ABC中，點D為AC上一點，且CD:AD=1：2，過點D作DEBC交AB于點E，連接CE，過點D作DFCE交AB于點F。若AB=15，則EF=_。如圖,AD為 ABC的中線, ,BE交AC于點F,DHBF,則 =    .如圖,在等腰三角形ABC中,AB=AC, A=36° ,BD平分ABC.（1）ABC和BCD相似嗎？（2）證明（3）求AD:AC（4）若以長為2的線段AB為邊作正方形ABCD,取AB的中點P,連接PD,在BA的延長線上取點F

15、,使PF=PD,以AF為邊作正方形AMEF,點M在AD上.(1)求AM,DM的長;(2)求證: ;(3)根據(jù)(2)的結(jié)論你能找出圖中的黃金分割點嗎?如圖,在矩形ABCD中,點E為AD的中點,將ABE沿BE折疊后得到GBE,點G恰好在矩形ABCD的對角線AC上,延長BG交CD于F,連接EF.求的值.如圖，在ABC中，D為AC上一點，E為CB延長線上一點，且 ，DGAB，求證：AD=EB。找相似三角形的組數(shù)如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是AD、CD邊上的點，連接BE、AF，他們相交于G，延長BE交CD的延長線于點H，則圖中的相似三角形共有（  ）。A: 2對

16、 B: 3對C: 4對 D: 5對如圖,在 ABC中,CEAB于點E,BFAC于點F,則圖中相似三角形共有(    )A. 5對 B.6對C.7對 D.8對如圖，已知ABC中，EFGHIJBC，則圖中相似三角形共有_對如圖，M為線段AB的中點，AE與BD交于點C，DMEAB.且DM交AC于F，ME交BC于G，(1)寫出圖中三對相似三角形，并證明其中的一對；(2)連接FG，如果45°，AB4，AF3，求FG的長相似三角形的性質(zhì)在ABC，ED交AB于E，交AC于D，且ABC的面積與ADE的面積差是64cm2，

17、求ABC和ADE的面積.若ABC的周長與ADE的周長差是16，求ABC和ADE的周長.如圖，在中，點在上，且，的平分線交于點，點是的中點，連接.（1）求證：.（2）若四邊形的面積為，的面積.如圖，矩形內(nèi)接于，且邊落在上.若，那么的長為 .【變式】如圖，是一張銳角三角形的硬紙片.是邊上的高,.從這張硬紙片剪下一個長是寬的倍的矩形，使它的一邊在上，頂點分別在上，與的交點為.求證：.求這個矩形的周長.如圖:已知中,點在上(與不重合), 在上.當?shù)闹荛L是周長的一半時,求的長.當?shù)闹荛L與四邊形的周長相等時,求的長.試問:在上是否存在點,使得為等腰直角三角形?若不存在,請簡要說明理由;若存在,請求出的長.

18、 如圖,小紅作出了邊長為的第個正,算出了正的面積,然后分別取三邊的中點,作出了第個正,算出了正的面積,用同樣的方法,作出了第個正,算出了正的面積,由此可得,第個正的面積是 .相似三角形解決折疊問題如圖在 RtABC中, C=90°,翻折 C使點C落在斜邊AB上某一點D處,折痕為 EF(點E,F分別在邊AC,BC上). (1)若 CEF與 ABC相似,當 AC=BC=2時,AD的長為 . AC=3, BC=4時,AD的長為 (2)當點D是AB的中點時, CEF與

19、60;ABC相似嗎?請說明理由.將三角形紙片ABC按如圖所示的方式折疊,使點B落在邊AC上,記為點B',折痕為EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以點B'、F、C為頂點的三角形與ABC相似,那么BF的長度是 巧用中點構(gòu)造相似三角形1.三點定形法如圖， ABC中，點D在線段BC上，且 ABC DBA，則下列結(jié)論一定正確的是（ ）A、 B、C、 D、1.如圖，在ABCD中，AMBC，ANCD，垂足分別為M、N，(1)求證：AMBAND； (2)求證：如圖，點E是四邊形ABCD的對角線BD上的一點，且BACBDCDAE求證：BE·ADCD·AE2.如圖2517，在RtABC中有正方形DEFG，且E，F(xiàn)在斜邊BC上，D，G分別在AB，AC上，求證： =BE·FC四邊形為正方形，是對角線，平分交于點，交于為延長線上一點，且 求證： 求證：.3.如圖,已知CE是RtABC斜邊AB上的高,在EC的延長線上任取一點P,連接AP,BGAP垂足為G,交CE于D,求證: .如圖所示，已知E為 ABCD的邊CD延長線上的一點，連接BE交AC于O，交AD于F求證：（1）ABOCEO（2）BO2OFOE如圖，在ABC中，已知CAB90°，ADBC，AEEC，延長ED交AB的延長線于F求