概率統(tǒng)計習(xí)題及答案(2)

1、作業(yè)2（修改200810）4. 擲一枚非均勻的硬幣,出現(xiàn)正面的概率為,若以表示直至擲到正、反面都出現(xiàn)為止所需投擲的次數(shù),求的概率分布.解 對于,前次出現(xiàn)正面,第次出現(xiàn)反面的概率是,前次出現(xiàn)反面,第次出現(xiàn)正面的概率是,因而有概率分布,.5. 一個小班有8位學(xué)生,其中有5人能正確回答老師的一個問題.老師隨意地逐個請學(xué)生回答,直到得到正確的回答為止,求在得到正確的回答以前不能正確回答問題的學(xué)生個數(shù)的概率分布. 第1個能正確回答的概率是, 第1個不能正確回答,第2個能正確回答的概率是, 前2個不能正確回答,第3個能正確回答的概率是, 前3個不能正確回答,第4個能正確回答的概率是, 前4個都不能正確回答

2、的概率是. 設(shè)在得到正確的回答以前不能正確回答問題的學(xué)生個數(shù)為,則有分布01235/815/565/561/566. 設(shè)某人有100位朋友都會向他發(fā)送電子郵件,在一天中每位朋友向他發(fā)出電子郵件的概率都是0.04,問一天中他至少收到4位朋友的電子郵件的概率是多少?試用二項分布公式和泊松近似律分別計算.解 設(shè)一天中某人收到位朋友的電子郵件,則,一天中他至少收到4位朋友的電子郵件的概率是. 1) 用二項分布公式計算. 2) 用泊松近似律計算.8. 設(shè)服從泊松分布,分布律為.問當(dāng)取何值時最大？解 設(shè),則,數(shù)列是一個遞減的數(shù)列. 若,則最大. 若,則當(dāng)且時,最大.由此得 1) 若,則最大. 2) 若,則

3、. 由上面的1)和2)知,無論或,都有.12. 設(shè)隨機變量的概率密度為.求的分布函數(shù),并作出與的圖形.解 .11. 設(shè)隨機變量的概率密度為.求常數(shù)和的分布函數(shù),并求概率.解 , . .15. 設(shè)隨機變量的密度為.求常數(shù).解 .由上式得.15. 離散型隨機向量有如下的概率分布:012300.10.10.10.1100.10.10.12000.10.2求邊緣分布.又問隨機變量是否獨立？解 有分布 0120.40.30.3有分布 01230.10.20.30.4因為,所以,不獨立.18 設(shè)隨機向量服從矩形上的均勻分布,求條件概率.解 , , .22. 隨機向量有聯(lián)合密度,其中.求系數(shù)和落在圓內(nèi)的概率

4、.解 因而.而 .27. 設(shè),分別找出,使得.其中, ,.解1 . .代入的值查得,.解2 設(shè),則. . .代入的值查得,.28. 某商品的每包重量.若要求,則需要把控制在什么范圍內(nèi).解 設(shè),則. .28. 設(shè)服從自由度為的分布,即有密度.求的密度.解1 當(dāng)時,.當(dāng)時, .因而.解2 設(shè),則. 設(shè), ,則有反函數(shù), ,其中.因而有密度 .29. 由統(tǒng)計物理學(xué)知道分子運動的速率遵從麥克斯威爾(Maxwell)分布,即密度為.其中參數(shù).求分子的動能的密度.解1 當(dāng)時,.當(dāng)時, .因而.解2 設(shè),則. 設(shè), ,則有反函數(shù), ,其中.因而有密度 .30. 設(shè)服從上的均勻分布,.求的分布.解 有密度.有

5、分布函數(shù) .31. 質(zhì)點隨機地落在中心在原點,半徑為的圓周上,并且對弧長是均勻地分布的.求落點的橫坐標(biāo)的概率密度.解 設(shè)落點極坐標(biāo)是,則服從上的均勻分布,有密度.設(shè)落點橫坐標(biāo)是,則,的分布函數(shù)為.當(dāng)時,.當(dāng)時,.當(dāng)時.因而落點的橫坐標(biāo)有概率密度.34. 設(shè)隨機變量服從在上的均勻分布,求的分布.解 設(shè),則. 設(shè), ,則有反函數(shù), ,其中.因而有密度 .36. 設(shè)和獨立,密度分別為和,求的密度.解 .37. 設(shè)系統(tǒng)由兩個相互獨立的子系統(tǒng)聯(lián)接而成,聯(lián)接的方式分別為串聯(lián),并聯(lián)和備用(當(dāng)系統(tǒng)損壞時,系統(tǒng)開始工作),如圖7.1所示.和的壽命為和,分別有密度和,其中且.請就這三種聯(lián)接方式分別寫出系統(tǒng)的壽命的密度.解 ,獨立,分別服從參數(shù)為和的指數(shù)分布,因此分別有分布函數(shù)和. 1) 聯(lián)接的方式為串聯(lián)時, , . 2) 聯(lián)接的方式為并聯(lián)時, , . 3) 聯(lián)接的方式為備用時, . 因此, 當(dāng)時, , 當(dāng)時, .38. 相互獨立,.證明.(提示:稱為函數(shù),由微積分的知識知)解 (見命題A.2.1)43. 設(shè)獨立,都服從參數(shù)為的威布爾分布,即都有密度.證明仍服從威布