D21-6格林公式及其應用習題課

1、一一、 平面曲線積分與路徑無關的條件平面曲線積分與路徑無關的條件二二 、 二元函數(shù)的全微分求積二元函數(shù)的全微分求積第三節(jié)第三節(jié)(2) 曲線積分與路徑無曲線積分與路徑無 關的條件關的條件第十一章第十一章Gyxo 1LQdyPdx1 、曲線積分與路徑義無關的定義曲線積分與路徑義無關的定義 2LQdyPdx1L2LBA如果在區(qū)域如果在區(qū)域G G內有內有 一、一、 平面曲線積分與路徑無關的條件平面曲線積分與路徑無關的條件2 2、平面上曲線積分與路徑無關的等價條件、平面上曲線積分與路徑無關的等價條件定理定理2. 設設D 是單連通域是單連通域 ,),(),(yxQyxP在在D 內內具有一階連續(xù)偏導數(shù)具有一

2、階連續(xù)偏導數(shù),(1) 沿沿D 中任意光滑閉曲線中任意光滑閉曲線 L , 有有.0dd LyQxP(2) 對對D 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分曲線積分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d (4) 在在 D 內每一點都有內每一點都有.xQyP LyQxPdd與路徑無關與路徑無關, 只與起止點有關只與起止點有關. 函數(shù)函數(shù)則以下四個條件則以下四個條件等價等價:在在 D 內是某一函數(shù)內是某一函數(shù)的全微分的全微分,即即 注意注意: :1. .常用常用 來判斷來判斷曲線積分與路徑無關曲線積分與路徑無關; ;2. .當曲線積分與路徑無關時，常選擇最簡當曲線積分與

3、路徑無關時，常選擇最簡路徑路徑平行于坐標軸的直線段組成的折線平行于坐標軸的直線段組成的折線作為積分路徑作為積分路徑; ;OAB,xQyP 如果如果D是復連通域是復連通域, ,即使即使曲線積分也不一定與路徑無關曲線積分也不一定與路徑無關。,xQyP 220,dd2Lx yy xxyL不包圍原點 L包圍原點注意以上的結果與L的形狀無關。.)(),( ,21),(22yxyxQyxyyxP .)(2yPyxxQ .,選取特殊路徑簡化積分選取特殊路徑簡化積分曲線積分與路徑無關曲線積分與路徑無關.)1 , 1()0 , 1()0 , 0(:1的有向折線段的有向折線段L.)1 , 1()0 , 0(2,d

4、)(d)21(2222的一段有向弧的一段有向弧到到上從上從是是其中其中計算積分計算積分yyxLyyxxyxyL 例例1 1解解xyO)1 , 1(L)0 , 1(1L )0, 1()0,0(22d)(d)21(yyxxyxy )1 , 1()0, 1(22d)(d)21(yyxxyxy 10210d)1(d1yyx.34371 Lyyxxyxyd)(d)21(22 1d)(d)21(22LyyxxyxyxyO)1 , 1(L)0 , 1(1L練習練習 證明下列曲線積分與路徑無關，并計算積分值(3,4)2322(1,2)(6)(63)xyy dxx yxydy解；2123PQxyyyx曲線積分與

5、路徑無關?？裳卣劬€積分(3,4)2322(1,2)(6)(63)xyy dxx yxydy3231(622 )xdx4222(6 33 3)yy dy 5二二、二元函數(shù)的全微分求積二元函數(shù)的全微分求積1. 1. 原函數(shù)原函數(shù): :如果存在一個函數(shù)如果存在一個函數(shù)u(x,y)，使得，使得du(x,y)= P(x,y)dx+Q(x,y)dy原函數(shù)原函數(shù)全微分式全微分式例如例如xdyydxxyd )(2)(xydxxdyxyd 全微分式全微分式2. 2. 判別定理判別定理定理定理3.3. 設函數(shù)設函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在單連通域在單連通域D內具有一階內具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則連續(xù)偏導數(shù)，則P(

6、x,y)dx+Q(x,y)dy在在D內為某一函數(shù)內為某一函數(shù)全微分全微分 在在D內恒成立內恒成立. .yPxQ 3.3.全微分求積全微分求積當當Pdx+Qdy為全微分式時，為全微分式時，求其原函數(shù)求其原函數(shù)u(x,y)的過程的過程. . ),(),(00),(yxyxQdyPdxyxu與路徑無關，可選平行于坐與路徑無關，可選平行于坐標軸的折線作為積分路徑標軸的折線作為積分路徑. .如圖取如圖取 為積分路徑為積分路徑, ,得得RMM0SMM0如圖取如圖取 為積分路徑為積分路徑, ,得得 yyxxdyyxQdxyxPyxu00),(),(),(0 xxyydxyxPdyyxQyxu00),(),(

7、),(0),(0yxS),(0yxR),(000yxM),(yxMxyO例222xy dxx ydy驗證: 在整個坐標平面內是某個函數(shù)u的全微分，并求u22,Pxy Qx y2PQxyyx22xy dxx ydy在整個坐標面上是某個函數(shù) 的全微分( , )u x y22(0,0( ,)( , )x yuxy dxx ydyx y 22( , )xy dxx ydydu x y注：起點可以任選，一般選原點2000 xydxx ydy222x y原函數(shù)可以相差一個常數(shù)22( , )2x yu x yC.dd,)0(dd)3 ,3()0 , 1(2222 yxxyyxxyxxyyx分分并計算曲線積并

8、計算曲線積求出一個這樣的函數(shù)求出一個這樣的函數(shù)數(shù)的全微分數(shù)的全微分是某個函是某個函內內在右半平面在右半平面驗證驗證,),(,),(2222yxxyxQyxyyxP ,0)(22222時恒成立時恒成立當當 xyPyxxyxQ.ddd),(22yxxyyxuyxu 使得使得存在函數(shù)存在函數(shù)練習練習解解,),()0 , 1(),0 , 1(積分積分到到從從在右半平面取點在右半平面取點yxxyO),(yxC)0 , 1(A)0 ,(xB BCAByxxyyxyxu22dd),( yxyyxxxx02212dd00.arctanarctan0 xyxyy BCAByxxyyxyxxyyx2222dddd

9、)3,3()0, 1()3,3()0, 1(22arctandd xyyxxyyx.3 oxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx( , )22(1,0)dd( , )x yx y y xu x yxy yyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或或), 1 (y)0(arctanxxy).,(,),()()(2),(0,24224yxuyxujyxxiyxxyyxAx并求并求的梯度的梯度個二元函數(shù)個二元函數(shù)為某為某函數(shù)函數(shù)內的向量值內的向量值使在右半平面使在右半平面確定常數(shù)確定常數(shù) ,)(2),(24 yxxyyxP 記記,)(),(24

10、2 yxxyxQ ,d),(d),(),(d),(),(),(),(gradyyxQxyxPyxujyxQiyxPyxAyxu 價于價于等等則有則有.,yPxQ 條件是條件是上式成立的充要上式成立的充要區(qū)域內區(qū)域內在右半平面這個單連通在右半平面這個單連通例例3 3解解, 0)1()(4),(),(22 yxxyxQyxP代入上式得代入上式得將將.1 從而得從而得得得的折線積分路徑的折線積分路徑在右半平面內取在右半平面內取為了求得為了求得,),()0 ,()0 , 1(),(yxxyxu ),()0, 1(242dd2),(yxyxyxxxyyxuCyyxxxxxyx dd002024214).

11、(arctan2為任意常數(shù)為任意常數(shù)CCxy )0 ,(x),(yxxyO)0 , 1(*全微分方程及其求法全微分方程及其求法定義定義: :.0d),(d),(稱為全微分方程稱為全微分方程則方程則方程 yyxQxyxPyyxQxyxPyxud),(d),(),(d 若有全微分形式若有全微分形式例如例如, 0dd yyxx),(21),(22yxyxu 因為因為,dd),(dyyxxyxu 所以原方程是全微分方程所以原方程是全微分方程. .xQyP 全微分方程全微分方程全微分方程的解法全微分方程的解法: :，設設全全微微分分方方程程為為0d),(d),( yyxQxyxP1 1應用曲線積分與路徑

12、無關應用曲線積分與路徑無關，因為因為xQyP 則全微分方程的通解為則全微分方程的通解為 yyxxyyxQxyxPyxu00d),(d),(),(0 xyxPyyxQxxyy 00d),(d),(0;C 22,Pxy Qx y2PQxyyx例例1 122dd0 xyxx y y求解方程。這是全微分方程這是全微分方程.有有取取, 0, 000 yx22(0,0( ,)( , )x yuxy dxx ydyx y 2000 xydxx ydy222x y方程的通解為方程的通解為22.2x yC2: 解 還可用下面的方法來求解全微分方程( , ),u x yc設要求方程的通解為故故2duxyx22( )2x yy( ).yy其中是 的待定函數(shù)2( ).ux yyy由此得2,uux yy又必須滿足故故22( ).x yyx y( )0,( ),yyC從而22.2x yCc所求通解為例例1 122dd0 xyx