高中數(shù)學(xué)必修2空間幾何典型例題及講解

1、數(shù)學(xué)必修2第一章一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)。2. 能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形（長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合）的三視圖與直觀(guān)圖，能識(shí)別上述三視圖與直觀(guān)圖所表示的立體模型。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：空間幾何體中的棱柱、棱錐、棱臺(tái)、圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征；空間幾何體的三視圖與直觀(guān)圖的畫(huà)法。難點(diǎn)：柱、錐、臺(tái)、球結(jié)構(gòu)特征的概括；識(shí)別三視圖所表示的空間幾何體;幾何體的側(cè)面展開(kāi)圖，計(jì)算組合體的表面積和體積。三、考點(diǎn)分析：三視圖是新課程改革中出現(xiàn)的內(nèi)容，是新課程高考的熱點(diǎn)之一，幾乎每年都考，同學(xué)們要予以足夠的重視。在高考

2、中經(jīng)常以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，屬于基礎(chǔ)或中檔題，但也要關(guān)注三視圖以提供信息為目的，出現(xiàn)在解答題中。這部分知識(shí)主要考查學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算求解能力。1. 多面體棱柱、棱錐、棱臺(tái)2. 旋轉(zhuǎn)體圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球3. 三視圖（1）正視圖、側(cè)視圖、俯視圖（2）三種視圖間的關(guān)系4. 直觀(guān)圖水平放置的平面圖形的直觀(guān)圖的斜二測(cè)畫(huà)法 4. 多面體的面積和體積公式名稱(chēng)側(cè)面積（S側(cè)）全面積（S全）體 積（V）棱柱棱柱直截面周長(zhǎng)×lS側(cè)+2S底S底·h=S直截面·h直棱柱chS底·h棱錐棱錐各側(cè)面面積之和S側(cè)+S底S底·h正棱錐ch棱臺(tái)棱臺(tái)各側(cè)面面積之和S側(cè)+

3、S上底+S下底h(S上底+S下底+)正棱臺(tái) (c+c)h表中S表示面積，c、c分別表示上、下底面的周長(zhǎng)，h表示高度，h表示斜高，l表示側(cè)棱長(zhǎng)。 5. 旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式名稱(chēng)圓柱圓錐圓臺(tái)球S側(cè)2rlrl(r1+r2)lS全2r(l+r)r(l+r)(r1+r2)l+(r21+r22)4R2Vr2h（即r2l）r2hh(r21+r1r2+r22)R3表中l(wèi)、h分別表示母線(xiàn)長(zhǎng)、高，r表示圓柱、圓錐與球冠的底面 半徑，r1、r2分別表示圓臺(tái)上、下底面的半徑，R表示半徑。知識(shí)點(diǎn)一 柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征例1. 下列敘述正確的是（ ）有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱。兩個(gè)底面平行且

4、相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)。有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)。直角三角形繞其一條邊旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐。直角梯形以它的一條垂直于兩底邊的腰所在的直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面圍成的旋轉(zhuǎn)體叫圓臺(tái)。用一個(gè)平面去截圓錐，底面和截面之間的部分是圓臺(tái)。通過(guò)圓錐側(cè)面上一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)條母線(xiàn)。以半圓的直徑所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成球體。A. B. C. D. 思路分析：遇到概念判斷問(wèn)題，一定要在理解透徹相關(guān)概念的基礎(chǔ)上，仔細(xì)分析，如果判斷它是正確的，必須能緊扣定義，而不是模棱兩可地去作判斷；如果判斷它是錯(cuò)誤的，只需找到一個(gè)反例即可。解答過(guò)程：如圖所示，由圖（1）可

5、知是錯(cuò)誤的；由圖（2）可知是錯(cuò)誤的；由圖（3）可知是錯(cuò)誤的；由圖（4）可知是錯(cuò)誤的。因?yàn)橥ㄟ^(guò)圓錐側(cè)面上一點(diǎn)和圓錐的頂點(diǎn)只能連一條射線(xiàn)，所以“通過(guò)圓錐側(cè)面上一點(diǎn)，有無(wú)數(shù)條母線(xiàn)?！笔清e(cuò)誤的，即是不正確的。以半圓的直徑所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的應(yīng)該是球面，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的才是球體。所以是錯(cuò)誤的。所以只有是正確的。故應(yīng)選D。解題后的思考：在作判斷的時(shí)候沒(méi)有嚴(yán)格的根據(jù)定義進(jìn)行多角度分析，而是只抓住定義中的某一點(diǎn)就作出判斷，容易導(dǎo)致錯(cuò)誤。知識(shí)點(diǎn)二 組合體例2. 如圖，下列組合體是由哪幾種簡(jiǎn)單幾何體組成的？解答過(guò)程：（1）由一個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐組成，為左右結(jié)構(gòu)（2）由兩個(gè)三棱錐組成，為上下結(jié)

6、構(gòu)（3）由圓錐和圓臺(tái)組成，為上下結(jié)構(gòu)知識(shí)點(diǎn)三 柱、錐的側(cè)面展開(kāi)圖例3. 小明在一個(gè)正方體盒子的每個(gè)面都寫(xiě)有一個(gè)字母，分別是：A、B、C、D、E、F，其平面展開(kāi)圖如圖所示，那么在該正方體盒子中，和“A”相對(duì)的面所寫(xiě)的字母是哪一個(gè)？思路分析：在每個(gè)格子中標(biāo)明你所想象的面的位置，如將A格標(biāo)明“上”，將B格標(biāo)明“前”等等。解答過(guò)程：為字母“E”解題后的思考：本題突出考查了學(xué)生將正方體各面展開(kāi)圖復(fù)原為正方體的空間想象能力。例4. 如圖所示，為一個(gè)封閉的立方體，在它的六個(gè)面上標(biāo)出A，B，C，D，E，F(xiàn)這六個(gè)字母，現(xiàn)放成下面三種不同的位置，所看見(jiàn)的表面上的字母已標(biāo)明，則字母A，B，C對(duì)面的字母分別是（ ）A

7、. D，E，F(xiàn) B. F，D，E C. E，F(xiàn)，D D. E，D，F(xiàn)思路分析：本題處理方法比較靈活，要將幾個(gè)圖結(jié)合起來(lái)一起分析。解答過(guò)程：由（1）（2）兩個(gè)圖知，A與B，C，D相鄰，結(jié)合第（3）個(gè)圖知，B，C與F共頂點(diǎn)，所以A的對(duì)面為F，同理B，C的對(duì)面分別為D，E，故選擇B。解題后的思考：本題考查推理能力以及空間想象能力。也可先結(jié)合圖（1）（3）進(jìn)行判斷。例5. 用長(zhǎng)和寬分別是和的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面，求圓柱的底面半徑？思路分析：要注意哪條邊是圓柱的母線(xiàn)，哪條邊是圓柱底面的圓周。解答過(guò)程：設(shè)圓柱底面圓的半徑為，由題意可知矩形長(zhǎng)為底面圓的周長(zhǎng)時(shí)，解得。矩形寬為底面圓的周長(zhǎng)時(shí)，解得。故圓柱的底

8、面半徑為或。解題后的思考：本題學(xué)生經(jīng)常會(huì)丟解，即主觀(guān)認(rèn)為只有圖中所示的情況，即以作為底面周長(zhǎng)，而忽視了它也可作為母線(xiàn)這種情況。知識(shí)點(diǎn)四 旋轉(zhuǎn)體中的有關(guān)計(jì)算例6. 一個(gè)圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)，兩底面面積分別為和，求：（1）圓臺(tái)的高；（2）截得此圓臺(tái)的圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)。思路分析：通過(guò)作截得此圓臺(tái)的圓錐的軸截面，構(gòu)造直角三角形與相似三角形求解。解答過(guò)程：（1）作 （2）與相似解題后的思考：通過(guò)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題。例7. 已知球的兩個(gè)平行截面的面積分別為和，且距離為3，求這個(gè)球的半徑。思路分析：兩截面的相互位置可能出現(xiàn)兩種情況，一種是在球心O的同側(cè)，另一種是在球心O的異側(cè)。解答過(guò)程：（1）

9、當(dāng)兩截面在球心O的同側(cè)時(shí)，如圖所示，設(shè)這兩個(gè)截面的半徑分別為，球心O到截面的距離分別為，球的半徑為R。又，即。又，解得又這種情況不成立。（2）當(dāng)兩截面在球心O的異側(cè)時(shí)，由上述解法可知，解得。綜上所述，這個(gè)球的半徑為3。解題后的思考：同學(xué)們要注意不要只對(duì)同側(cè)的情況進(jìn)行討論，而忽略對(duì)另一種位置關(guān)系的討論。知識(shí)點(diǎn)五 畫(huà)幾何體的三視圖例8. 畫(huà)出如圖所示的三棱柱的三視圖。思路分析：在正視圖中，中間的豎線(xiàn)看不到，應(yīng)畫(huà)成虛線(xiàn)；側(cè)視圖是從左側(cè)看三棱柱投射到豎直的正對(duì)著的平面上的正投影，所以不是三棱柱的一個(gè)側(cè)面，而應(yīng)該是過(guò)底面正三角形的一條高線(xiàn)的矩形。解答過(guò)程：解題后的思考：畫(huà)三視圖的時(shí)候要做到“長(zhǎng)對(duì)正、寬相

10、等、高平齊”，還要注意實(shí)線(xiàn)與虛線(xiàn)的區(qū)別。知識(shí)點(diǎn)六 三視圖中的推測(cè)問(wèn)題例9. 根據(jù)下列三視圖，說(shuō)出各立體圖形的形狀。思路分析：三視圖是從三個(gè)不同的方向看同一物體得到的三個(gè)視圖。正視圖反映物體的主要形狀特征，主要體現(xiàn)物體的長(zhǎng)和高，不反映物體的寬。而俯視圖和正視圖共同反映物體的長(zhǎng)相等。側(cè)視圖和俯視圖共同反映物體的寬相等。據(jù)此就不難得出該幾何體的形狀。解答過(guò)程：（1）圓臺(tái)；（2）正四棱錐；（3）螺帽。解題后的思考：三視圖的畫(huà)法里要注意“長(zhǎng)對(duì)正”，“高平齊”，“寬相等”，另外，還要熟悉基本空間幾何體的三視圖。七、直觀(guān)圖的還原與計(jì)算問(wèn)題例10. 已知ABC是水平放置的邊長(zhǎng)為的正三角形ABC的斜二測(cè)水平直觀(guān)

11、圖，那么ABC的面積為_(kāi)。思路分析：先根據(jù)題意，畫(huà)出直觀(guān)圖，然后根據(jù)ABC直觀(guān)圖的邊長(zhǎng)及夾角求解。解答過(guò)程：如圖甲、乙所示的實(shí)際圖與直觀(guān)圖。在圖乙中作CDAB于D，則。所以。故填。解題后的思考：該題求直觀(guān)圖的面積，因此應(yīng)在直觀(guān)圖中求解，需先求出直觀(guān)圖的底和高，然后用三角形面積公式求解。本題旨在考查同學(xué)們對(duì)直觀(guān)圖畫(huà)法的掌握情況。例11. 如圖所示，正方形OABC的邊長(zhǎng)為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀(guān)圖，則原圖形的周長(zhǎng)是_。思路分析：先根據(jù)題意，由直觀(guān)圖畫(huà)出原圖形解答過(guò)程：逆用斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則畫(huà)出原圖如下圖所示，由BC/OA且BC=OA，易知OABC為平行四邊形。在上圖中，易求OB=，所以O(shè)B

12、=。又OA=1，所以在RtBOA中，。故原圖形的周長(zhǎng)是，應(yīng)填。解題后的思考：該題考查的是直觀(guān)圖與原圖形之間的關(guān)系，及逆用斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則。例12：已知正三棱臺(tái)（上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下面底中心）的上、下底面邊長(zhǎng)分別是2cm與4cm，側(cè)棱長(zhǎng)是cm，試求該三棱臺(tái)的體積。思路分析：利用棱臺(tái)的體積計(jì)算公式，求出棱臺(tái)的高，上、下底面的面積，代入公式即可。解答過(guò)程：如圖所示，、是上、下底面的中心，連結(jié)、，在平面內(nèi)作于。是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，是中心，同理，則。在中，即棱臺(tái)高為cm。所以三棱臺(tái)的體積為（cm3）。解題后的思考：將求體積的立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，是立體幾何中的常用

13、方法。例13：一個(gè)球內(nèi)有相距9cm的兩個(gè)平行截面，它們的面積分別為49cm2和400cm2，求球的表面積和體積。思路分析：求球的表面積和體積關(guān)鍵是求出球的半徑，可考慮球的軸截面。解答過(guò)程：（1）當(dāng)截面在球心的同側(cè)時(shí)，如圖所示為球的軸截面。由球的截面性質(zhì)，知，且、分別為兩截面圓的圓心，則，。設(shè)球的半徑為。，。同理，。設(shè)，則。在中，在中，解得。，。（cm2），（cm3），球的表面積為2500cm2，體積為cm3。（2）當(dāng)截面位于球心的兩側(cè)時(shí)，如圖所示為球的軸截面。由球的截面性質(zhì)，知，且、分別為兩截面圓的圓心，則，。設(shè)球的半徑為。，。同理，。設(shè)，則。在中，。在中，解得，不合題意，舍去。綜上所述，球的

14、表面積為2500cm2，體積為cm3。解題后的思考：解題時(shí)要注意，球的截面可能位于球心的同側(cè)，也可能位于球心的兩側(cè)。 例14：求半徑為的球內(nèi)接正方體的表面積。思路分析：正方體內(nèi)接球時(shí)，球與正方體關(guān)系如圖（1），過(guò)不相鄰的兩條棱的平面截球，所得截面如圖（2），只有深刻理解其相互關(guān)系，才能畫(huà)出正確的截面圖進(jìn)行解題。解答過(guò)程：如圖（1）所示，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，為正方體的對(duì)角線(xiàn)，那么，。即正方體的表面積為。解題后的思考：組合體問(wèn)題，尤其是球與其他幾何體的組合問(wèn)題，一直是高考中的熱點(diǎn)，所以同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的解題中應(yīng)注意觀(guān)察，有關(guān)球的組合體中各圖形的位置關(guān)系。（答題時(shí)間：60分鐘）一、選擇題：1. 下列幾何體各

15、自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是（ ）A. B. C. D. 2. 將正三棱柱（底面為正三角形，側(cè)面為矩形的棱柱）截去三個(gè)角（如圖甲所示，A、B、C分別是GHI三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖乙所示，則該幾何體按如圖所示方向的側(cè)視圖為（ ）3. 如果用表示一個(gè)立方體，用表示兩個(gè)立方體疊加，用表示三個(gè)立方體疊加，那么下圖中由7個(gè)正方體疊加而成的幾何體的正視圖是（ ）4. 下列說(shuō)法正確的是（ ）A. 互相垂直的兩條直線(xiàn)的直觀(guān)圖一定是互相垂直的兩條直線(xiàn)B. 梯形的直觀(guān)圖可能是平行四邊形C. 矩形的直觀(guān)圖可能是梯形D. 正方形的直觀(guān)圖可能是平行四邊形5. 已知正三棱錐VABC的正視圖、俯視圖如圖所示，

16、其中VA=4，AC=，則該三棱錐得到側(cè)視圖的面積為（ ）A. 9 B. 6 C. D. 6. 若正方體的八個(gè)頂點(diǎn)中有四個(gè)恰好是正四面體的頂點(diǎn)，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比是（ ）A. B. C. D. 二、填空題：6. 一個(gè)三角形用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出來(lái)是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，則此三角形的面積是_7. 圓臺(tái)的兩底面半徑分別為2,5，母線(xiàn)長(zhǎng)是，則其軸截面面積是 三、解答題：8. 畫(huà)出下列幾何體的三視圖：9. 如下圖所示，梯形是一平面圖形的直觀(guān)圖。若，。請(qǐng)畫(huà)出原來(lái)的平面幾何圖形的形狀，并求原圖形的面積.一、選擇題：1. D解析：正方體的三視圖都相同，而三棱臺(tái)的三視圖各不相同，正確答案為D。2. A3. B4. D解析：梯形的上、下底互相平行，但其在直觀(guān)圖中的長(zhǎng)度不相等。5. C解析：由三視圖與原幾何體之間的關(guān)系可知此幾何體的側(cè)視圖不是一個(gè)等腰三角形，且此三角形的底邊長(zhǎng)等于正三角形ABC的高線(xiàn)CF的長(zhǎng)，其高的長(zhǎng)度等于原幾何體的高。由所給數(shù)據(jù)易解得原幾何體的高為，CF=3