高中數(shù)學(xué)必修4平面向量完整版

1、§2.1 平面向量的實際背景及基本概念1、數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運算、比較大??；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小. A(起點) B（終點）a2.向量的表示方法：用有向線段表示；用字母、（黑體，印刷用）等表示；用有向線段的起點與終點字母：；向量的大小長度稱為向量的模，記作|. 3.有向線段：具有方向的線段就叫做有向線段，三個要素：起點、方向、長度.向量與有向線段的區(qū)別：（1）向量只有大小和方向兩個要素，與起點無關(guān)，只要大小和方向相同，則這兩個向量就是相同的向量；（2）有向線段有起點、大小和方向三個要素，起點不同，盡管大小和方向相同，也是不同的有

2、向線段.4、零向量、單位向量概念：長度為0的向量叫零向量，記作0. 0的方向是任意的.注意0與0的含義與書寫區(qū)別.長度為1個單位長度的向量，叫單位向量.說明：零向量、單位向量的定義都只是限制了大小.5、平行向量定義：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我們規(guī)定0與任一向量平行.說明：（1）綜合、才是平行向量的完整定義；（2）向量、平行，記作.6、相等向量定義：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.說明：（1）向量與相等，記作；（2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān).7、共線向量與平行向量關(guān)系：平行向量就是共線向量，這是因為任一

3、組平行向量都可移到同一直線上（與有向線段的起點無關(guān)）.說明：（1）平行向量可以在同一直線上，要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系；（2）共線向量可以相互平行，要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.§ 向量的加法運算及其幾何意義二、探索研究：、向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法.、三角形法則（“首尾相接，首尾連”）如圖，已知向量a、.在平面內(nèi)任取一點，作a，則向量叫做a與的和，記作a，即 a，規(guī)定： a + 0-= 0 +aa aABCa+ba+baabbaa探究：（1）兩相向量的和仍是一個向量；（2）當(dāng)向量與不共線時，+的方向不同向，且|+|<|+|；OABaaabbb（3）

4、當(dāng)與同向時，則+、同向，且|+|=|+|，當(dāng)與反向時，若|>|，則+的方向與相同，且|+|=|-|；若|<|，則+的方向與相同，且|+b|=|-|.（4）“向量平移”（自由向量）：使前一個向量的終點為后一個向量的起點，可以推廣到n個向量連加例一、已知向量、，求作向量+ 作法：在平面內(nèi)取一點，作 ，則.加法的交換律和平行四邊形法則問題：上題中+的結(jié)果與+是否相同？ 驗證結(jié)果相同從而得到：）向量加法的平行四邊形法則（對于兩個向量共線不適應(yīng)） ）向量加法的交換律：+=+向量加法的結(jié)合律：(+) +=+ (+)證：如圖：使， ， 則(+) +=，+ (+) =(+) +=+ (+)從而，多

5、個向量的加法運算可以按照任意的次序、任意的組合來進(jìn)行.第3課時§ 向量的減法運算及其幾何意義1 用“相反向量”定義向量的減法（1） “相反向量”的定義：與a長度相同、方向相反的向量.記作 -a（2） 規(guī)定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量與它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0 如果a、b互為相反向量，則a = -b， b = -a， a + b = 0 （3） 向量減法的定義：向量a加上的b相反向量，叫做a與b的差. 即：a - b = a + (-b) 求兩個向量差的運算叫做向量的減法.2 用加法的逆運算定義向量的減法： 向量的減法是向量加法

6、的逆運算：OabBaba-b 若b + x = a，則x叫做a與b的差，記作a - b3 求作差向量：已知向量a、b，求作向量 (a-b) + b = a + (-b) + b = a + 0 = a 作法：在平面內(nèi)取一點O， 作= a， = b 則= a - b 即a - b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量.4 探究：） 如果從向量a的終點指向向量b的終點作向量，那么所得向量是b - a.a-bAABBBOa-baabbOAOBa-ba-bBAO-b）若ab， 如何作出a - b§ 平面向量基本定理復(fù)習(xí)引入：1實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量，記作：（1）|=

7、|；（2）>0時與方向相同；<0時與方向相反；=0時=2運算定律結(jié)合律：()=() ；分配律：(+)=+， (+)=+ 3. 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)，使=.平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)1，2使=1+2.探究：(1) 我們把不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2) 基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3) 由定理可將任一向量a在給出基底、的條件下進(jìn)行分解；(4) 基底給定時，分解形式惟一. 1，2是被，唯一確定的數(shù)量§§2.3.3 平面向量的

8、正交分解和坐標(biāo)表示及運算一、復(fù)習(xí)引入：1平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)1，2使=1+2(1)我們把不共線向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2)基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；(3)由定理可將任一向量在給出基底、的條件下進(jìn)行分解；(4)基底給定時，分解形式惟一. 1，2是被，唯一確定的數(shù)量二、講解新課：1平面向量的坐標(biāo)表示 如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，我們分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得我們把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上

9、的坐標(biāo)，式叫做向量的坐標(biāo)表示.與相等的向量的坐標(biāo)也為.特別地，.如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以原點O為起點作，則點的位置由唯一確定.設(shè)，則向量的坐標(biāo)就是點的坐標(biāo)；反過來，點的坐標(biāo)也就是向量的坐標(biāo).因此，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個平面向量都是可以用一對實數(shù)唯一表示.2平面向量的坐標(biāo)運算（1） 若，則，兩個向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差.設(shè)基底為、，則即，同理可得（2） 若，則一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo).=-=( x2， y2) - (x1，y1)= (x2- x1， y2- y1)（3）若和實數(shù)，則.實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量

10、的相應(yīng)坐標(biāo).設(shè)基底為、，則，即第6課時§ 平面向量共線的坐標(biāo)表示一、復(fù)習(xí)引入：1平面向量的坐標(biāo)表示分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作其中叫做在軸上的坐標(biāo)，叫做在軸上的坐標(biāo)， 特別地，.2平面向量的坐標(biāo)運算若，則，.若，則二、講解新課： (¹)的充要條件是x1y2-x2y1=0設(shè)=(x1， y1) ，=(x2， y2) 其中¹.由=得， (x1， y1) =(x2， y2) 消去，x1y2-x2y1=0探究：（1）消去時不能兩式相除，y1， y2有可能為0， &#

11、185; x2， y2中至少有一個不為0（2）充要條件不能寫成 x1， x2有可能為0(3)從而向量共線的充要條件有兩種形式： (¹)§2.4平面向量的數(shù)量積一、 平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義一、復(fù)習(xí)引入：1 向量共線定理 向量與非零向量共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)，使=.2平面向量基本定理：如果，是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)1，2使=1+23平面向量的坐標(biāo)表示 分別取與軸、軸方向相同的兩個單位向量、作為基底.任作一個向量，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)、，使得把叫做向量的（直角）坐標(biāo)，記作4平面向量的

12、坐標(biāo)運算若，則，.若，則5 (¹)的充要條件是x1y2-x2y1=06線段的定比分點及 P1， P2是直線l上的兩點，P是l上不同于P1， P2的任一點，存在實數(shù)，使 =，叫做點P分所成的比，有三種情況：>0(內(nèi)分) (外分) <0 (<-1) ( 外分)<0 (-1<<0)7. 定比分點坐標(biāo)公式：若點P(x1，y1) ，(x2，y2)，為實數(shù)，且，則點P的坐標(biāo)為（），我們稱為點P分所成的比.8. 點P的位置與的范圍的關(guān)系：當(dāng)時，與同向共線，這時稱點P為的內(nèi)分點.當(dāng)()時，與反向共線，這時稱點P為的外分點.9.線段定比分點坐標(biāo)公式的向量形式：在平面

13、內(nèi)任取一點O，設(shè)，可得=.10力做的功：W = |F|×|s|cosq，q是F與s的夾角.二、講解新課：1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角.說明：（1）當(dāng)時，與同向；（2）當(dāng)時，與反向；（3）當(dāng)時，與垂直，記；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的.范圍0°q180°C2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫與的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.×探究：兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很

14、大區(qū)別（1）兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是向量，符號由cosq的符號所決定.（2）兩個向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a×b；今后要學(xué)到兩個向量的外積a×b，而a×b是兩個向量的數(shù)量的積，書寫時要嚴(yán)格區(qū)分.符號“· ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在實數(shù)中，若a¹0，且a×b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a¹0，且a×b=0，不能推出b=0.因為其中cosq有可能為0.（4）已知實數(shù)a、b、c(b¹0)，則ab=bc Þ a=c.但是a×b =

15、b×c a = c 如右圖：a×b = |a|b|cosb = |b|OA|，b×c = |b|c|cosa = |b|OA|Þ a×b = b×c 但a ¹ c (5)在實數(shù)中，有(a×b)c = a(b×c)，但是(a×b)c ¹ a(b×c) 顯然，這是因為左端是與c共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線.3“投影”的概念：作圖 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時投影為正值；當(dāng)q為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)

16、q為直角時投影為0；當(dāng)q = 0°時投影為 |b|；當(dāng)q = 180°時投影為 -|b|.4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.5兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.1° e×a = a×e =|a|cosq2° ab Û a×b = 03° 當(dāng)a與b同向時，a×b = |a|b|；當(dāng)a與b反向時，a×b = -|a|b|. 特別的a×a = |a|2或4° cosq

17、=5° |a×b| |a|b| 二、平面向量數(shù)量積的運算律一、復(fù)習(xí)引入：1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角.2平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角是，則數(shù)量|a|b|cosq叫與的數(shù)量積，記作a×b，即有a×b = |a|b|cosq，（）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0. 3“投影”的概念：作圖C 定義：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)q為銳角時投影為正值；當(dāng)q為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)q為直角時投影為0；當(dāng)q = 0°時投影為 |b|；當(dāng)q = 180&#

18、176;時投影為 -|b|.4向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a×b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積.5兩個向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.1° e×a = a×e =|a|cosq； 2° ab Û a×b = 03° 當(dāng)a與b同向時，a×b = |a|b|；當(dāng)a與b反向時，a×b = -|a|b|. 特別的a×a = |a|2或4°cosq = ；5°|a×b| |a|b|二、講解新課：平面向量數(shù)量積

19、的運算律1交換律：a × b = b × a 證：設(shè)a，b夾角為q，則a × b = |a|b|cosq，b × a = |b|a|cosq a × b = b × a2數(shù)乘結(jié)合律：(a)×b =(a×b) = a×(b)證：若> 0，(a)×b =|a|b|cosq， (a×b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cosq，若< 0，(a)×b =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq，(a

20、5;b) =|a|b|cosq，a×(b) =|a|b|cos(p-q) = -|a|b|(-cosq) =|a|b|cosq.3分配律：(a + b)×c = a×c + b×c 在平面內(nèi)取一點O，作= a， = b，= c， a + b （即）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 | c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2， c×(a + b) = c×a + c×b 即：(a + b)×c = a×c + b×c說明：（1）一般地，(·)（·）（2）··，0（3）有如下常用性質(zhì)：，（）（）····()·三、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角一、復(fù)習(xí)引入：1兩個非零向量夾角的概念已知非零向量與，作，則（）叫與的夾角.2平面向量