淺談數(shù)學(xué)歸納法

1、淺談數(shù)學(xué)歸納法陳國良 井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院 江西 吉安 郵編：343009指導(dǎo)老師：曹艷華 摘要 用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)問題時，要注意它的兩個步驟缺一不可，第一步是命題遞推的基礎(chǔ)，第二步是命題遞推的依據(jù)，也是證明的關(guān)鍵和難點，兩個步驟各司其職，互相配合.數(shù)學(xué)歸納法經(jīng)歷無數(shù)數(shù)學(xué)的潛心研究與科學(xué)家們的利用，是數(shù)學(xué)歸納法得以發(fā)展和它為數(shù)學(xué)問題與科學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)做出了極大的貢獻。學(xué)好歸納法是科學(xué)問題研究的最基礎(chǔ)的知識.關(guān)鍵詞理論依據(jù)；數(shù)學(xué)歸納法；表現(xiàn)形式1 數(shù)學(xué)歸納法的萌芽和發(fā)展過程數(shù)學(xué)歸納法思想萌芽可以說長生于古希臘時代。歐幾里德在證明素數(shù)有無窮多多個時，使用了反證法，通過反設(shè)“假設(shè)有有限多個”，使問題變

2、成“有限”的命題，其中證明里隱含著：若有n個素數(shù)，就必然存在第n+1個素數(shù)，因而自然推出素數(shù)有無限多個，這是一種是圖用有限處理無限的做法，是人們通過過有限和無限的最初嘗試。 歐幾里德之后直到16世紀，在意大利數(shù)學(xué)家莫洛克斯的算術(shù)一書中明確提出一個“遞歸推理”原則，并用它證明了1+2+3+（2n-1）=,對任何自然數(shù)n都成立。不過他并沒有對這原則做出清晰的表述。 對數(shù)學(xué)歸納法首次作出明確而清晰闡述的是法國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家帕斯卡，他發(fā)現(xiàn)了一種被后來成為“帕斯卡三角形”的數(shù)表。他在研究證明有關(guān)這個“算術(shù)三角形”的一些命題時，最先準確而清晰的指出了證明過程且只需的兩個步驟，稱之為第一條引理和第二條引理

3、：第一條引理 該命題對于第一底（即(n=1)成立，這是顯然的。第二條引理 如果該命題對任意底（對任意n）成立，它必對其下一底（對n+1）也成立。由此可得，該命題對所有n值成立。因此，在數(shù)學(xué)史上，認為帕斯卡是數(shù)學(xué)歸納法的創(chuàng)建人，因其所提出的兩個引理從本質(zhì)上講就是數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟，在他的著作論算術(shù)三角形中對此作了詳盡的論述。帕斯卡的思想論述十一例子來陳述歸納法的，而在他的時代還未建立表示一般自然數(shù)的符號。直至十七世紀，瑞士數(shù)學(xué)家J。伯努利提出表示任意自然熟的符號之后，在他的猜度術(shù)一書中，才給出并使用了現(xiàn)代形式的數(shù)學(xué)歸納法。由此，數(shù)學(xué)歸納法開始得到世人的承認并得到數(shù)學(xué)界日益廣泛的應(yīng)用。十九世紀，

4、意大利數(shù)學(xué)家皮亞若建立自然數(shù)的公理體系時，提出歸納公理，為數(shù)學(xué)歸納法奠定了理論基礎(chǔ)。即：對于正整數(shù)的子集M，如果滿足：1M;若aM，則a+1M；則M=.2 數(shù)學(xué)歸納法的表現(xiàn)形式2.1 第一數(shù)學(xué)歸納法原理1：設(shè)是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果（1）當時，成立；（2）假設(shè)時命題成立,由此推得n=k+1時，也成立；那么，對一切正整數(shù)n ,成立。證明：反證法.假設(shè)該命題不是對于一切正整數(shù)都成立.令表示使該命題不成立的正整數(shù)作成的集合，那么，于是由最小數(shù)原理，中有最小數(shù),因為命題對于時成立，所以1，從而是個正整數(shù)，又由于條件（3）當也成立.因此，導(dǎo)致矛盾，因此該命題對于一切正整數(shù)都成立，定理證畢.在應(yīng)用數(shù)

5、學(xué)歸納法時，有些命題不一定從開始的，這時在敘述上只要將換成即可，第一數(shù)學(xué)歸納法主要可概括為以下三步：歸納基礎(chǔ)：證明時命題成立；歸納假設(shè)：假設(shè)時命題成立；歸納遞推;由歸納假設(shè)推出時命題也成立.22第二數(shù)學(xué)歸納法原理2：設(shè)是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果（1）當時，成立；（2）假設(shè)時命題成立,由此推得n=k+1時，也成立；那么，對一切正整數(shù)n ,成立。則這個命題對于一切正整數(shù)都成立其證明方法與上述證明方法類似由此我們可以看出第二數(shù)學(xué)歸納法與第一數(shù)學(xué)歸納法是等價的，在有些情況下，由歸納法“假設(shè)時命題成立”還不夠，而需要更強的假定.也就是說，對于命題，在證明成立，不僅依賴成立，而且依賴于前面各步成立.這

6、時一般要選用第二數(shù)學(xué)歸納法.第二數(shù)學(xué)歸納法可概括為一下三步：歸納基礎(chǔ)：證明時命題成立;歸納假設(shè)：假設(shè)時命題成立;歸納遞推：由歸納假設(shè)推出時命題也成立.第二數(shù)學(xué)歸納法與第一數(shù)學(xué)歸納法基本形式的區(qū)別在于歸納假設(shè).2.3.跳板數(shù)學(xué)歸納法原理原理3：設(shè)是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題.如果：（1）當n=1，2，3，L時，都成立；（2）假設(shè)時，成立，由此能推得n=k+L時，也成立；那么，對一切正整數(shù)n1,成立.2.4.反向歸納法反向歸納法是數(shù)學(xué)家柯西最先使用的，原理：設(shè)是一個與正整數(shù)有關(guān)的命題.如果：（1）對于無限多個正整數(shù)成立-（2）假設(shè)對正整數(shù)k>1, 成立，則也成立；那么，對一切正整數(shù)，成立.3 歸

7、納法的兩種分類歸納法有完全歸納法和不完全歸納法（經(jīng)驗歸納法）之分3.1完全歸納法也叫完全推理。這是根據(jù)某類事物中的每一事物都具有某種性質(zhì)P，推出該類中全部事物都具有該性質(zhì)P的歸納推理。運用完全歸納法，前提必須包括某類事物中的一切對象，無一遺漏，而且作為前提的判斷也必須是真實的。故完全歸納法得出的結(jié)論是真實的可靠的。3.2不完全歸納法是通過對一類事物的部分對象的考察，從中作出有關(guān)這一類事物的一般性的結(jié)論的猜想的方法。它的可靠性較弱些，但同時是一種創(chuàng)造性較強的方法。在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和數(shù)學(xué)創(chuàng)造的活動中有十分的重要作用。具體可表示如下：從具體問題或具體素材出發(fā)實驗歸納推廣形成普遍命題證明3.2.1 用經(jīng)驗歸

8、納法發(fā)現(xiàn)問題的結(jié)論 常見的有兩種形式:一是由特殊事物直接猜測問題的結(jié)論；二是根據(jù)規(guī)律先猜測一個遞推規(guī)律，然后憑借遞推關(guān)系去發(fā)現(xiàn)結(jié)論。例1 設(shè)正項數(shù)列的前n項和為且= ，求該數(shù)列的通項公式。分析：在= 中，依此令n=1,2,可得：n=1時，,從而得1；n=2時, ,即.解之，得（負值舍去）.類似的，可得于是可猜想：=。結(jié)論的正確性可以通過數(shù)學(xué)歸納法進行證明。3.2.2 用經(jīng)驗歸納發(fā)現(xiàn)解決問題的途徑。例2 證明正方形比可劃分為n(nN且n )個小正方形。證明：當n=5,6,7,8.時，命題顯然成立。假定當n=3k,n=3k+1(kN且k )時，命題也成立，己也可以劃分，那么，當n=3(3k+1)+

9、3,n=3(k+1)+1,n=3(k+1)+2時，亦即n=3k+3,n=(3k+2)+3時，只要將n=3k,n=3k+1,n=3k+2時各情形中的一個小正方形分成四個更小的正方形，即可使所劃分出的正方形數(shù)目增加3個，所以n=3k+3,n=(3k+2)+3時，命題也成立。這樣，命題便得到了證明。4 數(shù)學(xué)歸納法的形式步驟例3 對n,證明: 分析：這是一個典型的可用數(shù)學(xué)歸納法證明的命題，證明過程如下：（1）當n=1時，左=1，命題成立。（2）假設(shè)n=k時，成立，則當n=k+1時，即，命題也能成立。（3）綜上所述，由數(shù)學(xué)歸納法原理知，對n,成立。在證明第二步“n=k+1時等式成立”時，除了形式上的變形

10、外，其實質(zhì)是運用了先前的假設(shè)“n=k時等式成立“。因此，第二步一開始的假設(shè)不是可有可無，它不是擺設(shè)，而是在以后的證明中起著已知條件的作用，不可或缺，也只有這樣，才表明由n=k時命題成立到處n=k+1時命題成立的遞推關(guān)系的真實存在，在用數(shù)學(xué)歸納法證明時，第一步很簡單，第二步很關(guān)鍵，也是綜合性較強的一步，其歸納過渡作用。數(shù)學(xué)歸納法是一種非常有效的證明與自然數(shù)序列有關(guān)的命題的數(shù)學(xué)方法。他繞開了證明過程中的很多障礙顯得簡潔有力。這種證明方法的本質(zhì)特征用龐加萊的話來說：“把無窮的第二輪納入唯一的公式中。”具體運用歸納法原理證明數(shù)學(xué)命題是分三步：驗證n去第一個值時命題也正確性（奠基）；證明“由n=k”時命

11、題正確可推得n=k+1時命題也正確”（遞推依據(jù)）；由以上兩個步驟確認結(jié)論（斷言）。5 數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用舉例以及一些技巧數(shù)學(xué)歸納法形式上是三步，看似簡單，其使用起來也有很多技巧，尤其是第二部歸納過度推證，有時會用許多數(shù)學(xué)變形技巧，例4：設(shè)是一個正數(shù)列，對一切n=0,1,2,.,都有，證明，對一切n=1,2,都有.分析：由不等式得知，由于知 再結(jié)合平均不等式，即得.知當n=1時，所證不等式成立.假設(shè)當n=k時，不等式成立，即有，要證n=k+1時不等式也成立.分兩種情況討論：（1）若，則；（2）若，顯然有0 1- 1，所以；無論任何情況，所證不等式都對n=k+1成立。故根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法原理，對一切正整數(shù)

12、n，不等式均成立。在上述證明過程中，實施歸納過度是分成兩種情況考慮，用意十分明顯，因為我們要想從得出關(guān)于的上界估計，不僅需要關(guān)于“小于多少”的信息，而且需要關(guān)于“大于多少”的信息。然而這類信息既不能從歸納假設(shè)中得到，有無法從數(shù)列本身性質(zhì)中得到，迫不得已只好先對假定有。而對另一種情形采用另一種估計的辦法。6 數(shù)學(xué)歸納法的重要性如果所得的判斷得到的證明或者檢驗，就變成了科學(xué)規(guī)律性的認識，因此歸納與猜想是科學(xué)發(fā)現(xiàn)過程中的重要步驟和思想方法。例如，牛頓，愛因斯坦的科學(xué)成果，在相當大的程度上是從特殊事實出發(fā)，經(jīng)過歸納，得到大膽的猜想，提出更一般，廣泛的全新的科學(xué)方法或者結(jié)論，推動了科學(xué)的發(fā)展。在數(shù)學(xué)解題

13、中，往往需要從特殊，個體，簡單，局部的事實出發(fā)，探究，概括一般的規(guī)律。因此，在觀察基礎(chǔ)上，掌握歸納方法，會概括數(shù)學(xué)猜想的思維方法，對學(xué)好數(shù)學(xué)非常重要。正如波利亞所說：”從各個方面來看，數(shù)學(xué)是學(xué)習(xí)歸納推理最合適的材料。例如，數(shù)學(xué)家從： 通過歸納思維方式得出：對從1的連續(xù)的n個正奇數(shù)的和等于。上述過程得出的結(jié)論，也是不完全的歸納推理。在猜想是怎樣在某些事實的基礎(chǔ)上，借助邏輯思維而逐步形式的呢？我們說，這主要在觀察和比較的基礎(chǔ)上通過歸納和類比。拉普拉斯說過：“甚至在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納和類比?！备咚挂舱f過：“在數(shù)論中由于意外的幸運頗為經(jīng)常，所以用歸納法可萌發(fā)出即漂亮的新的真理。”歸納推

14、理是一種思維推理形式，歸納猜想則是里用歸納推理中的不完全歸納推理驚醒的一種猜想它是指在解決數(shù)學(xué)問題時，人們并沒有根據(jù)通常歸納推理中具有的那種必須的依據(jù)。而是根據(jù)以往的經(jīng)驗。利用以往對數(shù)學(xué)問題解決的方法，對數(shù)學(xué)問題進行的一種主次漸進的試錯與淘汰選擇的猜想形式。當然，歸納思維所得的結(jié)果，可能正確，也可能不正確，歸納法推理是一種似真理推理例如：數(shù)學(xué)家費馬對形如的數(shù)，當進行了驗證：都是質(zhì)數(shù)。由此費馬得出猜測：對任意自然數(shù)，形如的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。費馬是通過歸納猜測思維得到這個猜想的。事實上，這個猜想命題不真。后來由歐拉證明了當n=5時，是個合數(shù)，從而否定了費馬這一猜想。7 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)的心理困難教學(xué)實踐表

15、明，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法，常常是掌握了數(shù)學(xué)歸納法的技巧，卻不能真正理解它的含義。由菲施拜因等研究表明，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法，學(xué)生面臨的心理問題是：命題（歸納假設(shè)）在證明過程中出現(xiàn)了兩次，一是作為被證的命題，一是作偽命題成立的假設(shè)條件，理解的難點是：關(guān)鍵是第二步的證明過程整個建立在一個命題上，而他本身又未被預(yù)先證明，并且在推理過程中不加以證明。由于這種情況的影響，學(xué)生不能將歸納假設(shè)在歸納推理中看成一個命題，于是，他們就會產(chǎn)生以下的想法：（1）歸納假設(shè)的成立時沒有保證的；（2）歸納假設(shè)的成立時不能證明的；（3）歸納假設(shè)的根據(jù)是有限的（在某種情況下，它可能不成立）。數(shù)學(xué)歸納法推理需要建立在自身之上的證明，我

16、們要證明的蘊含關(guān)系pq對于其兩部分p和q來說，他們的客觀正確性在歸納推理這一過程中完全沒有關(guān)系的。這個想法無法被學(xué)生直觀的接受。這種情況被“前提p已經(jīng)包含了要求求證的定理“弄復(fù)雜了。學(xué)生的想法是想驗證前提是否成立，于是他們就弄不懂前提的承認要依賴于被證明的定理。我國的研究者也指出了學(xué)生同樣也面臨類似的心里困難。他們不知道如何用（甚至不使用）歸納假設(shè)，不能自覺尋找與遞推關(guān)系。 數(shù)學(xué)歸納法內(nèi)容抽象，思想新穎，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，加上學(xué)生原有的認知結(jié)構(gòu)對于同化“數(shù)學(xué)歸納法“無論是數(shù)學(xué)知識還是邏輯只是都不夠充分。所以他們不易領(lǐng)會和掌握，對于數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì) 往往停留在”形式“上，如何解決這一問題呢？一種有效的解

17、決辦法是類比。例如，通過多米諾骨牌游戲思考問題。這樣類比可以對數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用的前提和場合提供了形象化的參照物，對理解數(shù)學(xué)歸納做了感情上的墊鋪，同時有利于幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟缺一不可。另外，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的正確途徑是，向?qū)W生提出一些必須用數(shù)學(xué)歸納法才能解決的問題，迫使他們只管得去使用這個方法，從而發(fā)現(xiàn)這個方法，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)了和懂得了這個方法后，再去幫助他們用抽象的形式把它敘述出來。參考文獻1邵光華.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)思想與方法，上海教育出版社，2009.2徐利治.化歸與歸納·類比·聯(lián)想，大連理工大學(xué)出版社，2008.3鐘志華.模式觀與數(shù)學(xué)方法論，化學(xué)工業(yè)出版社，2

18、011.4王亞輝.數(shù)學(xué)方法論-問題解決的理論，北京大學(xué)出版社，2007.5周春荔.數(shù)學(xué)思維概論，北京師范大學(xué)出版社，2012.6王憲昌.數(shù)學(xué)思維方法，人民教育出版社，20027張奠宙.數(shù)學(xué)教育研究導(dǎo)引，南京：江蘇教育出版社，1994.Discussion On The Method Of Mathematical InductionGuoliang ChenCollege of Mathematics And Physics Of Jinggangshan University Jiangxi Ji'an zip code: 343009Guide Teacher:Yanhua CaoAbstract Induction to prove mathematical problems with mathematics, we s