改進數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點思考

1、改進數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點思考改進數(shù)學(xué)教學(xué)的幾點思考人民教育出版社人民教育出版社 章建躍章建躍一、提高一、提高“理解數(shù)學(xué)理解數(shù)學(xué)”的水平的水平 老師理解好數(shù)學(xué)是提高教學(xué)質(zhì)量的前提。老師理解好數(shù)學(xué)是提高教學(xué)質(zhì)量的前提。 理解數(shù)學(xué)概念的幾個方面理解數(shù)學(xué)概念的幾個方面：從表面到本質(zhì)：從表面到本質(zhì)把把握概念的深層結(jié)構(gòu)上的進步；從抽象到具體握概念的深層結(jié)構(gòu)上的進步；從抽象到具體對抽象概念對抽象概念的的形象描述，解讀概念關(guān)鍵詞，更形象描述，解讀概念關(guān)鍵詞，更多的典型、精彩的例子；從孤立到系統(tǒng)多的典型、精彩的例子；從孤立到系統(tǒng)對概對概念之間的關(guān)系、聯(lián)系的認識，有層次性、立體念之間的關(guān)系、聯(lián)系的認識，有層次性、立體化

2、的認識化的認識；等。；等。 提高解讀概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法的能力是提高解讀概念所反映的數(shù)學(xué)思想方法的能力是教師專業(yè)化發(fā)展的抓手教師專業(yè)化發(fā)展的抓手 。例例1 1 幾個數(shù)學(xué)概念的解讀幾個數(shù)學(xué)概念的解讀 函數(shù)概念的核心是什么？函數(shù)概念的核心是什么？ 直線與平面垂直的定義的關(guān)鍵在哪里？直線與平面垂直的定義的關(guān)鍵在哪里？ 如何理解兩個變量的線性相關(guān)問題？如何理解兩個變量的線性相關(guān)問題？ 如何理解誘導(dǎo)公式？如何理解誘導(dǎo)公式？ 推導(dǎo)等差數(shù)列前推導(dǎo)等差數(shù)列前n n項求和公式的思想方法項求和公式的思想方法是什么？是什么？ “直線與方程直線與方程”的核心是什么？的核心是什么？二、高立意與低起點二、高立意與低起

3、點 立意不高是普遍問題，許多教師的立意不高是普遍問題，許多教師的“匠氣匠氣”太太濃，課堂上題型、技巧太多，彌漫著濃，課堂上題型、技巧太多，彌漫著“功利功利”，缺少思想、精神的追求，嚴重影響數(shù)學(xué)育人。缺少思想、精神的追求，嚴重影響數(shù)學(xué)育人。 數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)的“育人育人”功能如何體現(xiàn)？功能如何體現(xiàn)？挖掘數(shù)學(xué)挖掘數(shù)學(xué)知識蘊含的價值觀資源，在教學(xué)中將知識教學(xué)知識蘊含的價值觀資源，在教學(xué)中將知識教學(xué)與價值觀影響融為一體。與價值觀影響融為一體。 關(guān)鍵：提高思想性。關(guān)鍵：提高思想性。 “技術(shù)技術(shù)”：加強：加強“先行組織者先行組織者”的使用。的使用。例例2 2不等式基本性質(zhì)不等式基本性質(zhì)“立意立意”比較比較 以往

4、做法：數(shù)軸上點的順序定義數(shù)的大以往做法：數(shù)軸上點的順序定義數(shù)的大小關(guān)系，再到小關(guān)系，再到“基本事實基本事實”（考察兩個（考察兩個實數(shù)的大小，只要考察它們的差），再實數(shù)的大小，只要考察它們的差），再由由“利用比較實數(shù)大小的方法，可以推利用比較實數(shù)大小的方法，可以推出下列不等式的性質(zhì)出下列不等式的性質(zhì)”： 性質(zhì)性質(zhì)1 1，2 2，33證明證明例題例題練習(xí)、習(xí)題練習(xí)、習(xí)題人教人教A A版的教學(xué)設(shè)計版的教學(xué)設(shè)計 數(shù)軸上點的順序定義數(shù)的大小關(guān)系，再數(shù)軸上點的順序定義數(shù)的大小關(guān)系，再到到“基本事實基本事實”（考察兩個實數(shù)的大小（考察兩個實數(shù)的大小統(tǒng)一化歸為比較它們的差與統(tǒng)一化歸為比較它們的差與0 0的大小

5、）；的大?。?； 從從“數(shù)及其運算數(shù)及其運算”的高度出發(fā)，以的高度出發(fā)，以“運運算中的不變性、規(guī)律性就是性質(zhì)算中的不變性、規(guī)律性就是性質(zhì)”為思為思想指導(dǎo)，以等式的基本性質(zhì)為起點，通想指導(dǎo)，以等式的基本性質(zhì)為起點，通過類比等式的基本性質(zhì)，得到不等式基過類比等式的基本性質(zhì)，得到不等式基本性質(zhì)的猜想；本性質(zhì)的猜想； 回到從回到從“基本事實基本事實”到到“基本性質(zhì)基本性質(zhì)”的的推理過程，給出證明；推理過程，給出證明； 引導(dǎo)學(xué)生用不同語言表述引導(dǎo)學(xué)生用不同語言表述“基本性質(zhì)基本性質(zhì)”； 從實例中概括基本不等式的作用從實例中概括基本不等式的作用明明確概括出思想方法。確概括出思想方法。 核心：將等式與不等式納

6、入數(shù)及其運算核心：將等式與不等式納入數(shù)及其運算的系統(tǒng)中，成為用運算律推導(dǎo)出的的系統(tǒng)中，成為用運算律推導(dǎo)出的“性性質(zhì)質(zhì)”。 既要講邏輯，更要講思想，加快學(xué)生領(lǐng)既要講邏輯，更要講思想，加快學(xué)生領(lǐng)悟思想的進程。悟思想的進程。三、提高概念的教學(xué)水平三、提高概念的教學(xué)水平 問題：不重視概念教學(xué)，問題：不重視概念教學(xué)，“一個定義，一個定義，三項注意三項注意”式的抽象講解，很快進入概式的抽象講解，很快進入概念的綜合應(yīng)用。念的綜合應(yīng)用。 概念教學(xué)的核心概念教學(xué)的核心概括：將凝結(jié)在數(shù)概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開，以典型學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開，以典型豐富的實例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、豐富的實例

7、為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念。屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念。概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié) 典型豐富的具體例證典型豐富的具體例證屬性的分析、比較、屬性的分析、比較、綜合；綜合； 概括共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性；概括共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性； 下定義（準確的數(shù)學(xué)語言描述）；下定義（準確的數(shù)學(xué)語言描述）； 概念的辨析概念的辨析以實例（正例、反例）為載體以實例（正例、反例）為載體分析關(guān)鍵詞的含義；分析關(guān)鍵詞的含義； 用概念作判斷的具體事例用概念作判斷的具體事例形成用概念作判形成用概念作判斷的具體步驟；斷

8、的具體步驟； 概念的概念的“精致精致”建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。例例3 3 函數(shù)奇偶性的教學(xué)函數(shù)奇偶性的教學(xué) 急功近利的做法急功近利的做法（1）給出函數(shù)）給出函數(shù)y=x2和和y=x的圖像，并提出的圖像，并提出問題：如果從圖象的對稱性觀察，兩個問題：如果從圖象的對稱性觀察，兩個圖像各有什么特點？圖像各有什么特點？（2）給表格并提問：數(shù)量關(guān)系上有啥特征？）給表格并提問：數(shù)量關(guān)系上有啥特征？（3）能否描述一下函數(shù)）能否描述一下函數(shù)y=x2的特征？的特征？ 學(xué)生回答：當(dāng)學(xué)生回答：當(dāng)x取任意數(shù)時取任意數(shù)時y都取正數(shù)；都取正數(shù)；在在(,0)上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，在(0,)上為增上為增

9、函數(shù)；函數(shù)圖像關(guān)于函數(shù)；函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱；自變量取軸對稱；自變量取一對相反數(shù)時，函數(shù)值相等；一對相反數(shù)時，函數(shù)值相等；（4）對于定義域內(nèi)任意一個）對于定義域內(nèi)任意一個x，是否都有，是否都有 f(x)f(x)？（5）能否描述一下偶函數(shù)的定義？）能否描述一下偶函數(shù)的定義？“一個函數(shù)打天下一個函數(shù)打天下”，缺乏概括的基礎(chǔ)。，缺乏概括的基礎(chǔ)。注重概括過程的做法注重概括過程的做法 典型、豐富的例證典型、豐富的例證不止一個：不止一個：y=x2，y=|x|， y=x22； 從觀察圖像、概括共同特征入手；從觀察圖像、概括共同特征入手； 列表，從數(shù)的角度描述特征；列表，從數(shù)的角度描述特征； 形、數(shù)對照形、數(shù)

10、對照從形到數(shù)從形到數(shù)用函數(shù)符號用函數(shù)符號語言描述特征；語言描述特征； 概念的精致：內(nèi)涵、外延的深加工，概念概念的精致：內(nèi)涵、外延的深加工，概念要素的具體界定；組織要素的具體界定；組織建立相關(guān)知識建立相關(guān)知識的聯(lián)系。的聯(lián)系。四、提高對抓四、提高對抓“基礎(chǔ)基礎(chǔ)”的認識的認識 我國我國“雙基雙基”的優(yōu)勢正在喪失；的優(yōu)勢正在喪失； 現(xiàn)象現(xiàn)象：（：（1 1）數(shù)學(xué)教學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)= =題型教學(xué)題型教學(xué)= =刺激刺激反應(yīng)（記憶、模范型學(xué)習(xí)）；（反應(yīng)（記憶、模范型學(xué)習(xí)）；（2 2）缺少）缺少知識的發(fā)生發(fā)展知識的發(fā)生發(fā)展過程，以訓(xùn)練代替概念過程，以訓(xùn)練代替概念教學(xué)教學(xué)應(yīng)用可以促進理解，但沒有理應(yīng)用可以促進理解，但沒

11、有理解的應(yīng)用是盲目的；（解的應(yīng)用是盲目的；（3 3）過分關(guān)注）過分關(guān)注“題題型型”與與“題型題型”對應(yīng)的技巧是雕蟲對應(yīng)的技巧是雕蟲小技，無法窮盡，結(jié)果是小技，無法窮盡，結(jié)果是“講過練過的講過練過的不一定會，沒講沒練的一定不會不一定會，沒講沒練的一定不會”；等。；等。如何改變？如何改變？ 要強調(diào)知識及其蘊含的思想方法教學(xué)的重要要強調(diào)知識及其蘊含的思想方法教學(xué)的重要性性無知者無能；無知者無能； 不斷回到概念去，從基本概念出發(fā)思考問題、不斷回到概念去，從基本概念出發(fā)思考問題、解決問題；解決問題； 加強概念的聯(lián)系性，從概念的聯(lián)系中尋找解決加強概念的聯(lián)系性，從概念的聯(lián)系中尋找解決問題的新思路。問題的新思

12、路。 應(yīng)追求解決問題的應(yīng)追求解決問題的“根本大法根本大法”基本概念基本概念所蘊含的思想方法，強調(diào)思想指導(dǎo)下的操作。所蘊含的思想方法，強調(diào)思想指導(dǎo)下的操作。例例4 4 向量加法運算及幾何意義的教學(xué)設(shè)計向量加法運算及幾何意義的教學(xué)設(shè)計 先行組織者：類比數(shù)及其運算，引進一個量就先行組織者：類比數(shù)及其運算，引進一個量就要研究運算，引進一種運算就要研究運算律。要研究運算，引進一種運算就要研究運算律。 力的合成、速度的合成等物理原理的回顧。力的合成、速度的合成等物理原理的回顧。 學(xué)生看書，匯報對定義和三角形法則、平行四學(xué)生看書，匯報對定義和三角形法則、平行四邊形法則的理解，其中特別要注意對邊形法則的理解，

13、其中特別要注意對“關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞”的理解，要求用自己的語言描述。的理解，要求用自己的語言描述。 向量向量a，b不共線，作出不共線，作出a+b，要求說明作法。，要求說明作法。 如果向量如果向量a，b共線，如何作共線，如何作a+b？與有理數(shù)加？與有理數(shù)加法運算有什么關(guān)系？法運算有什么關(guān)系？五、探究式教學(xué)的天時地利人和五、探究式教學(xué)的天時地利人和 天時：建設(shè)創(chuàng)新型社會，教育天時：建設(shè)創(chuàng)新型社會，教育“以培養(yǎng)以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力為重點學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力為重點”； 地利：教學(xué)內(nèi)容是否適合于地利：教學(xué)內(nèi)容是否適合于“探究探究”有的內(nèi)容不適宜，如公理、定義名稱、有的內(nèi)容不適宜，如公理、定義名稱

14、、規(guī)定等；但更多的內(nèi)容可采用探究式教規(guī)定等；但更多的內(nèi)容可采用探究式教學(xué)；學(xué)；例例5 5 直線與平面垂直的定義直線與平面垂直的定義 先先“直觀感受直觀感受”、舉例，再給出定義，、舉例，再給出定義，并把主要精力放在對并把主要精力放在對“合理性合理性”的認識的認識上，通過正、反例理解定義的關(guān)鍵詞。上，通過正、反例理解定義的關(guān)鍵詞。 提示學(xué)生：用提示學(xué)生：用“說得清道得明說得清道得明”的幾何的幾何關(guān)系（即關(guān)系（即“直線與直線垂直直線與直線垂直”）來定義）來定義“無法說清無法說清”的幾何關(guān)系（即的幾何關(guān)系（即“直線與直線與平面垂直平面垂直”）是一種公理化思想，學(xué)生）是一種公理化思想，學(xué)生則只要采用接受

15、式學(xué)習(xí)方式即可。則只要采用接受式學(xué)習(xí)方式即可。例例6 6 適宜探究的內(nèi)容舉例適宜探究的內(nèi)容舉例 類比兩條直線垂直的判定與性質(zhì)，提出類比兩條直線垂直的判定與性質(zhì)，提出兩個平面垂直的判定與性質(zhì)的猜想，再兩個平面垂直的判定與性質(zhì)的猜想，再給出證明。給出證明。 平面向量基本定理平面向量基本定理在在“用向量及其用向量及其運算表示幾何元素運算表示幾何元素”的思想下，聯(lián)系建的思想下，聯(lián)系建立直角坐標系的方法、兩條相交直線確立直角坐標系的方法、兩條相交直線確定一個平面等經(jīng)驗，讓學(xué)生探究而獲得定一個平面等經(jīng)驗，讓學(xué)生探究而獲得結(jié)論。結(jié)論。 人和：師生共同營造的人和：師生共同營造的“探究氛圍探究氛圍”，有，有賴于學(xué)生賴于學(xué)生“探究式學(xué)習(xí)的心向探究式學(xué)習(xí)的心向”，也有賴，也有賴于教師的于教師的“探究型教學(xué)的意識探究型教學(xué)的意識”。 數(shù)學(xué)思想方法在自主探究中有關(guān)鍵作用，數(shù)學(xué)思想方法在自主探究中有關(guān)鍵作用，需要教師的啟發(fā)引導(dǎo)需要教師的啟發(fā)引導(dǎo)注意使用注意使用“先行先行組織者組織者”。結(jié)束語結(jié)束語 教育改革需要一定的理想化色彩；教育改