一元二次方程能力拔高題

1、一元二次方程培優(yōu)專題復(fù)習(xí)考點(diǎn)一、概念（1）定義：|只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2,這樣的整式方程 就是一元(2)般表達(dá)式:ax2+ bx + c = 0(a式0)難點(diǎn)：如何理解“未知數(shù)的最高次數(shù)是 2”：該項(xiàng)系數(shù)不為“ 0”；未知數(shù)指數(shù)為“ 2”；若存在某項(xiàng)指數(shù)為待定系數(shù)，或系數(shù)也有待定，則需建立方程或不等式加以討論典型例題：例 1、下列方程中是關(guān)于x 的一元二次方程的是（,2J11A、3x12x1B、2卜-2=0 x x變式：當(dāng) k_時(shí)，關(guān)于 x 的方程kx2+2x = x2+3是一元二次方程。例 2、方程m 2 3mx 1=0是關(guān)于 x 的一元二次方程，則 m 的值為針對練習(xí)

2、:2 1、方程8x -7的一次項(xiàng)系數(shù)是 _ ，常數(shù)項(xiàng)是 _。 2、若方程m - 2丿川=0是關(guān)于 x 的一元一次方程，求 m 的值： _ ;寫出關(guān)于 x 的一元一次方程： _。 3、若方程m -1 x2m=1是關(guān)于 x 的一元二次方程，則 m 的取值范圍是 4、若方程nxm+xn-2x2=0 是一元二次方程，則下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2, n=1C. n=2,m=1D.m=n=1考點(diǎn)二、方程的解概念：|使方程兩邊相等的未知數(shù)的值，就是方程的解。應(yīng)用：|利用根的概念求代數(shù)式的值；典型例題：例 1、已知2y2 y - 3的值為 2，則4y2 2y 1的值為_。例2、關(guān)于x的一元二次

3、方程a - 2x? x，a2-4=0的一個(gè)根為0,則a的值為_次方程。)2C、ax bx c = 0例 3、已知關(guān)于 x 的一元二次方程ax2 bx c = 0 a = 0的系數(shù)滿足a c =b，則此方程 必有一根為_。2 2例 4、已知a,b是方程x 4xm=0的兩個(gè)根，b,c是方程y -8y，5m=0的兩個(gè)根， 貝U m的值為_ 。針對練習(xí)： 1、已知方程x2 kx -10 =0的一根是 2，貝 U k 為_ ，另一根是 _。2X +1 2、已知關(guān)于 x 的方程x kx - 2 = 0的一個(gè)解與方程3的解相同。求 k 的值;x -1方程的另一個(gè)解。2 2 3、已知 m 是方程x -x-1=

4、0的一個(gè)根，則代數(shù)式m -m二 _ 。2 2 4、已知a是x -3x *1=0的根，貝U 2a 6a =_。 5、方程ab x2 bc x ca =0的一個(gè)根為（）A-1B 1Cb-cD- a 6、若2x 5y -3 =0,貝94x32y=_?？键c(diǎn)三、解法方法：直接開方法；因式分解法；配方法；公式法關(guān)鍵點(diǎn)：|降次類型一、直接開方法：x2= m（m M 0 x= 扁對于（x + af = m,（ax + mf =（bx十nf等形式均適用直接開方法典型例題：例 1、解方程：12X2-8 = 0;2 25 -16X2=0；3 1 - x2- 9 = 0;例 2、解關(guān)于 x 的方程：ax2- b =0

5、例 3、若9 x -12=16x22，則 x 的值為_ 。針對練習(xí)：|下列方程無解的是（）2A.x 3 =2x -1B.x-2i；=0C.2x 3=1 - xD.x 9=0類型二、因式分解法：（x-為lxx2）=0二= x1,或x = x2方程特點(diǎn)：左邊可以分解為兩個(gè)一次因式的積，右邊為2 2 2=bx n,x ax b = x ax c ,x2ax a = 0例 1、2xx-3 = 5 x - 3的根為（）Bx=3Cx1,X2=323 4x y -4=0,則 4x+y 的值為變式 1 :a2b2【-a2b2- 6 =0,則a2b2-變式 2 :若x y 2-x-y *3 = 0，則 x+y

6、的值為_。2 2變式 3 :若x xy y =14，y xy 28，則 x+y 的值為_例 3、方程x2x - 6 =0的解為（）D.=2，x2_ _2例 4、解方程：x2+2(J3+1 x+23 + 4 = 0得=_,x2=_22x + y例 5、已知2x2-3xy-2y2=0,則的值為_。x y22X + V變式：已知2x -3xy-2y =0,且x 0, y 0,則的值為_x_ y針對練習(xí): 1、下列說法中：方程x2px q = 0的二根為為，x2，則x2px q = （x - xj（x - x2）-x26x - 8 = (x-2)(x -4).a2-5ab 6b2二(a-2)(a-3)

7、x2-y2=(x y)C. xy)C、x：-；y) 方程(3x 1)2-7 =0可 變形 為(3x V 7)(3x 1- . 7) =0正確的有( )A.1 個(gè)B.2 個(gè) C.3 個(gè)例 2、若4x yA.X1 =_3，x 2 2B.x1= 3,x2- -2C.x1= 3,x2- -3mD.4 個(gè) 2、以17與1 - 7為根的一元二次方程是()2 2 2A.x -2x-6=0B.x -2x 6 =0C.y 2y-6=0D.y22y 6= 03、寫出一個(gè)一元二次方程，要求二次項(xiàng)系數(shù)不為1，且兩根互為倒數(shù)： _寫出一個(gè)一元二次方程，要求二次項(xiàng)系數(shù)不為1，且兩根互為相反數(shù)： _ 4、若實(shí)數(shù) x、y 滿

8、足x 3 x y 2 = 0，則 x+y 的值為（）A、-1 或-2B、-1 或 2C、1 或-2D、1 或 2215、方程：x 2-2的解是_ 。x6、已知J6x2xy - J6y2= 0，且x0,y=0，求2丁6的值。J3x-y2 “ 丄CF亠 c k f b 彳 b2_ 4acax + bx + c = 0（a 式 0 Z x + i =- -i 2a 丿4a2在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代數(shù)式的值或極值 之類的問題。典型例題：例、已知 x、y 為實(shí)數(shù)，求代數(shù)式x2y2 2x -4y 7的最小值。針對練習(xí)：21111、 已知x2-x4=0，則xxxx2、若t =2 -

9、/-3x2 12x -9，則 t 的最大值為 _，最小值為_b 二 b2-4ac2aa = 0,且 b2- 4ac _ 0a = 0,且 b2-4ac _ 0典型例題：例、選擇適當(dāng)方法解下列方程：31 x2=6.x 3 x 6 - -8.2x4x1=02類型五、“降次思想”的應(yīng)用典型例題：例 1、若關(guān)于x的方程x22, kx0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 k 的取值范圍是例 2、關(guān)于 x 的方程m -1 x2 2mx m二0有實(shí)數(shù)根，則 m 的取值范圍是（）D.m 1例 3、已知關(guān)于 x 的方程x2- k 2 x 2k = 0（1）求證：無論 k 取何值時(shí)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）若等腰 ABC 的

10、一邊長為 1，另兩邊長恰 好是方程的兩個(gè)根，求 ABC 的周長。2例 4、已知二次三項(xiàng)式9x -（m 6）x m2是一個(gè)完全平方式，試求m的值.有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解？有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解?針對練習(xí):時(shí)，關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式x2kx 9是完全平方式。2、當(dāng)k取何值時(shí)，多項(xiàng)式3x2-4x 2k是一個(gè)完全平方式？這個(gè)完全平方式是什么?23x -4x -1 = 03 x -1 3x 1i=：ix-1 2x 5求代數(shù)式的值;解二元二次方程組。- 2（X-13_X2+1典型例題：例 1、已知X23x+2 = 0,求代數(shù)式-X1的值。例 2、如果x2x -0，那么代數(shù)式x32x2-7的值。2a3_2a2_5a

11、+1例 3、已知a是一元二次方程x -3x T = 0的一根，求a21的值。考點(diǎn)四、根的判別式b24ac根的判別式的作用:定根的個(gè)數(shù)；求待定系數(shù)的值；應(yīng)用于其它 。例 5、m為何值時(shí)，方程組“l(fā) 22X2+2y2=6,、mx + y = 3.1、當(dāng) k23、已知方程mx -mx 2 = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則 m 的值是y = kx +2,2（ 1 ）有兩組相等的實(shí)數(shù)解，并求此解； （2）、目4x2y + 1 = 0.4、k為何值時(shí)，方程組有兩組不相等的實(shí)數(shù)解；（3）沒有實(shí)數(shù)解5、當(dāng)k取何值時(shí)，方程x?-4mx 4x - 3m2-2m 4k = 0的根與m均為有理數(shù)？2（20122012

12、山東德州中考，15,4,15,4,）若關(guān)于 x 的方程ax - 2（a 2）x0有實(shí)數(shù)解，那么實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_ .（2012 湖北襄陽，12, 3 分）如果關(guān)于 x 的一元二次方程 kx2 . 2k 1 x+ 1 = 0 有兩個(gè)不相 等的實(shí)數(shù)根，那么 k 的取值范圍是11 1111A kv丄 B kv丄且 kz0 C ._wkv D 0時(shí)，才能用韋X1 X =,X1X =常用變形：aa22211x1x222為x2(X1x2)2X2，(捲冷)(x1x2)4x2，X1x2X-!x2| Xi-X2|h：；(X1X2)2-4X2，X1X22X；X2=X1X2(X1X2)，2 2 2X2X1X1

13、X2(X1X2) -4X1X2坐等X-1X2x X2X-1x2應(yīng)用：I整體代入求值。典型例題：例 1、已知一個(gè)直角三角形的兩直角邊長恰是方程2x2-8x 7=0的兩根，則這個(gè)直角三例 3、已知關(guān)于 x 的方程k2x2亠2k -1 x 1 = 0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1,x2, （1 ）求 k的取值范圍；（2）是否存在實(shí)數(shù) k，使方程的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)？若存在，求出k 的值;若不存在，請說明理由。例 4、小明和小紅一起做作業(yè)，在解一道一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1 ）時(shí)，小明因看錯常數(shù)項(xiàng)，而得到解為 8 和 2，小紅因看錯了一次項(xiàng)系數(shù)，而得到解為 -9 和-1。你知道原來 的方程是什么嗎？其正確

14、解應(yīng)該是多少？2 2例 5、已知a _ b,a 2a 1= 0,b 2b 1 = 0,求a b -_達(dá)疋理。主要內(nèi)容:角形的斜邊是（)A. .3B.3C.6D. . 6例 2、解方程組:(1)丿x + y = 10,沁=24;X2y2y =2.=10,22a b變式：若a -2a -1=0,b -2b -1=0，貝 U的值為_。b a例 6、已知:-/是方程X? 一x= 0的兩個(gè)根，那么:43二針對練習(xí) 1 .已知a?7a = 4,b?7b = -4 （a式b）,求+.1的值。2、已知Xi,x2 a Vb?32是方程x?-x-9=0的兩實(shí)數(shù)根，求x17x?3x?-66的值。3.（湖 北中 考題

15、）設(shè)a? 2a-1 =0,b4-2b?-仁0，且1-ab2=0，則ab?+b?-3a +1 = 。Ia丿4. （四川中考題）如果方程 x?+ px+ q= 0 的兩個(gè)根是 X1,x?,那么 X1+ x?=- p,X1x?= q 請 根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問題：（1 ）已知關(guān)于 X 的方程 X?+ mx + n = 0 （n豐0）,求出一個(gè)一元二次方程，使它的兩根別是已知方程兩根的倒數(shù)；（2）已知 a、b 滿足 a?- 15a-5 = 0, b?- 15b- 5 = 0,求a+ -的b a值；（3）已知 a、b、c 均為實(shí)數(shù)，且 a+ b+ c = 0, abc= 16,求正數(shù) c 的最小值.1

16、當(dāng) k 為何值時(shí)，關(guān)于 x 的方程k?-1 X? k 1 x -？= 0有實(shí)數(shù)根2.已知方程2xa b-xa_bab =0是關(guān)于 x 的一兀二次方程，求 a, b 的值3 設(shè)x33x -1 0和x3b，bx 0都是關(guān)于 X 的一元二次方程, 求：*b?01?ab?013的值。4 解下列方程:實(shí)根。2 2 2恰有一個(gè)公共實(shí)數(shù)根，求一的值。be ae ab(1)2x2- 2x-50(3)3x x 5 =5x 5(4)x2- x -2 = 05 已知方程2x2-14m-1 x =m22m求證：不論 m 為何值，次方程均有兩個(gè)不相等的6 已知三個(gè)關(guān)于 x 的一元二次方程ax2bx 02bx exa =

17、 02ex ax b = 08 關(guān)于 x 的方程x2-(k 1)x - 2 =0和方程x2-2x -k(k 1)-0只有一個(gè)相同的實(shí)根,求 k 的值及公共根。9 已知 a.b.c 分別是三角形ABC 的三邊長。當(dāng)m0 時(shí)，關(guān)于 x 的一元二次方程c x2 m Lb x2- m?-2t max =0有兩個(gè)不相等的實(shí)根，試判斷三角形ABC 的形狀。2 2 210 已知方程x 5x 0與方程2x 2x0的公共根和方程3x x - 24 = 0與、121方程x - x n = 0的公共根相同，求m,n的值。2 211 m, n 是方程x2- 2x -1 =0的兩個(gè)根，且7m2-14m a 3n2- 6

18、n - 7i=12求 a 的值。12 甲，乙兩同學(xué)分別同時(shí)解同一個(gè)一元二次方程，甲把以此項(xiàng)系數(shù)看錯了解的兩根為-3 和5。乙把常數(shù)項(xiàng)看錯了得兩根為2 6和2 - 6，求原一元二次方程。7 已知a22a -1 =0 b4-2b2-1=0試求ab2b21I a2012的值。13 已知關(guān)于 x 的方程x2- 2(m - 2) x - 3m2-1 = 0(1 )求證無論 m 為何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)根(2)設(shè)方程的兩根為xux2，xx2=2 3求 m 的值。2 214 要使關(guān)于 x 的一元二次方程x - 2(m - 2)x - 3m - 1 = 0的兩根的平方和最小, 求 m 的值。215 已知

19、函數(shù) y= 和 y=kx+1 (XM0)x(1) 若這兩個(gè)函數(shù)都經(jīng)過(1, a)求 a 和 k 的值(2) 當(dāng) k 取何值時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)圖像總有公共點(diǎn)16 某商店銷售一批名牌襯衫，平均每天可以銷售20 件，每件盈利 40 元，為了擴(kuò)大銷售，增加利潤，盡快減少庫存，商場決定采取降價(jià)措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)如果每件降價(jià)1 元則每天可以多銷售 2 件，若商場平均每天盈利1200 元，則每件應(yīng)該降價(jià)多少元？17 為實(shí)現(xiàn)國務(wù)院房地產(chǎn)調(diào)控政策，使“居者有其屋”市政府加快了廉租房的建設(shè)力度。從2010 年起，市政府開始投資，以后逐年增長，2011 年投資了 3 億元人民幣。預(yù)計(jì) 2012年底三年累計(jì)共投資9.5 億元

20、人民幣建設(shè)廉租房，若在這兩年內(nèi)投資的增長率相同，求市政府投資的年增長率?18 某商家從廠家以每件21 元價(jià)格購進(jìn)一批商品，該商家可自行定價(jià)。若每件商品售價(jià)a元，則可賣出（350-10a）件，但物價(jià)部門限定每件商品加價(jià)不得超過定價(jià)的20%。商店計(jì)劃要賺 400 元，需要賣出多少件商品？每件商品售價(jià)多少？元二次方程培優(yōu)訓(xùn)練1.已知方程 3ax2-bx-仁 0 和 ax2+2bx-5=0,有共同的根-1,貝 U a=_ = .2關(guān)于x的方程（m- .3）xm-x=0是一元二次方程，則m= _;2 2 2 23設(shè)a, b是一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長，且（a b ）（a b 1） = 12，則這個(gè)直角

21、三角形的斜邊長為_；2114. 當(dāng) X =_時(shí)，代數(shù)式X-一X-一的值為 0225.已知：m -1 = 2,則關(guān)于x的二次方程（m +1）x2（m +5）x + 4 = 0的解是_;6.方程（2 .3）x2二x的解是_ ;7. 若一元二次方程 ax2+bx+c=0（a豐0）有一個(gè)根為 1,則 a+b+c= ;若有一個(gè)根為-1,則 b 與 a、c 之間的關(guān)系為;若有一個(gè)根為零，則 c= .8. 3x 4 y一6y 9=0則 xy=_9、寫出以 4, -5 為根且二次項(xiàng)的系數(shù)為1 的一元二次方程是 _10、 如果x2-2 m 1 x 4是一個(gè)完全平方公式，則 m =_。11、 已知兩個(gè)數(shù)的差等于

22、4，積等于 45,則這兩個(gè)數(shù)為 _和_。2 212、 當(dāng) m=_時(shí)，關(guān)于x的方程(m 1X十(m1只一 2 =0為一元二次方程。13寫出一個(gè)一元二次方程，使它的一個(gè)根為2_.14當(dāng) x=_ 時(shí)，代數(shù)式x2+4x 的值與代數(shù)式 2x+3 的值相等15、 方程2x2 3x =0的根是_。2 216、用配方法解方程x-4x-6=0,貝U x - 4x _ = 6 -_,所以x1 =_。_2 217、 要使關(guān)于 x 的一元二次方程x - 2(m - 2)x - 3m -1 = 0的兩根的平方和最小， 求 m 的值。7、下列方程是一元二次方程的是(A、x 2y =1B 、2x x -1 =2x23C8、

23、關(guān)于x的一元二次方程x2k = 0有實(shí)數(shù)根，則(A、k v010、方程x(x 1)(x -2) =0的解是11、_ 當(dāng) y=時(shí)，y2-2y 的值為 3；212、 已知方程 x +kx+3=0 的一個(gè)根是-1 ，貝 U k=_ , 另一根為_ ;13、 寫出以 4， 5 為根且二次項(xiàng)系數(shù)為 1 的一元二次方程是 _;14、 某校去年投資 2 萬元購買實(shí)驗(yàn)器材，預(yù)期今明兩年的投資總額為 8 萬元，若該校這兩年購買實(shí)驗(yàn)器材的投資的年平均增長率為 x,則可列方程_；D49、將方程x22x3=0 化為(xmf=n的形式，指出m, n分別是(B、-1 和 3C、1 和 4D、 一1 和 415、設(shè)a,b是

24、一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長，且(a2b2)(a2b21)=12，則這個(gè)直角三角形的斜邊長為_ ；三部分1.方程不一定是一元二次方程的是2A.(a-3)x=8 (a 工 0)5.關(guān)于x的方程(a2- a - 2) x2 ax b = 0是一元二次方程的條件是-()A a=：-1 B a = 2 C a=：-1且a = 2Da=，-1或a = 226 等腰三角形的兩邊的長是方程x-20 x 91 =0的兩個(gè)根，則此三角形周長為A.27B. 33C. 27 和 33 D. 以上都不對7.某班同學(xué)畢業(yè)時(shí)都將自己的照片向全班其他同學(xué)各送一張表示留念，全班共送1035 張照片,如果全班有 x 名同學(xué)，根

25、據(jù)題意，列岀方程為()A. x(x+1)=1035 B.x(x1)=1035X2C. x(x1)=1035 D.2x(x+1)=10358.一元二次方程 2x(x 3) = 5(x 3)的根為()555A. x = B . x = 3 C . X1= 3, X2= D . x =-2222 29. 已知x -5xy 6y = 0,則y : x等于()111A.-或 1B.6 或 1C.-或D.2 或 36329.使分式x_5x_6的值等于零的 x 是 ()x +1A.6B.-1或 6C.-1D.-610 方程 x2-4 | x | +3=0 的解是()()2+bx+c=0B.axC.(x+3)

26、(x-2)=x+5D.2、若關(guān)于x 的一元二次方程、3x23x 一 2 = 057丄2x a1 x2- 1二0的一個(gè)根是 0,貝 y a 的值是3、把方程4, 13B、-1或-12 -x -8x，3=0化成x -n的形式，則B、-4, 19 C、-4, 134, 19m、n 的值是(4、已知直角三角形的兩條邊長分別是方程2X2-14X 48 =0的兩個(gè)根，則此三角形的第三邊是()10或2J7 C、10或8 D、27A.x= 1 或 x= 3 B.x=1 和 x=3 C.x=-1 或 x=-3 D.無實(shí)數(shù)根11.關(guān)于 x 的方程 x2-k2-16=0 和 x2-3k+12=0 有相同的實(shí)數(shù)根，k 的值是()(11) (y + 2f=(3y-12(12)-x24x-2 =012、 請判別下列哪個(gè)方程是一元二次方程（）23A、x 2y =1B、x 5=0C、2x 8D、3x 8 = 6x 2x13、 請檢驗(yàn)下列各數(shù)哪個(gè)為方程x2-6x8 =0的解（）A、5B、2C、-8D、-214、 下面是某同學(xué)在一次數(shù)學(xué)測驗(yàn)中解答的填空題，其中答對的是（）A、若x2=4,則 x = 2；B、若 3x2=6x，則 x = 2；C、x2x-k=o 的一個(gè)根是 1，則 k=2；D、若分式- 的值為零，貝U x=2。x2-3x +215、如果 x2+bx + 16 = （x 4