數(shù)值計(jì)算問(wèn)題詳解石瑞民

1、習(xí)題一1、取3.14,3.15，22，X1113 3551 1131作為 的近似值，求各自的絕對(duì)誤差，相7113對(duì)誤差和有效數(shù)字的位數(shù)。解：x13.141 1013Xi1 10 10 3 1 10 2 362所以，X1有三位有效數(shù)字絕對(duì)誤差：e3.14，相對(duì)誤差：er3.14絕對(duì)誤差限:10 2，相對(duì)誤差限:13 112x23.153.150.00840174所以，X2有兩位有效數(shù)字 絕對(duì)誤差：e0.84074 10 20.510 10.5 101 2絕對(duì)誤差限:22£ y2270.00126453.15，相對(duì)誤差：er2 101,相對(duì)誤差限:0.12645 10 20.5 103.

2、150.5 101 3所以，X3有三位有效數(shù)字絕對(duì)誤差：e22，相對(duì)誤差:227絕對(duì)誤差限:10 2，相對(duì)誤差限:0.000000320.32 10 60.5 10 60.5 101 7所以，X4有七位有效數(shù)字絕對(duì)誤差：e絕對(duì)誤差限：355，相對(duì)誤差：er113-10 6，相對(duì)誤差限:2355而103、下列各數(shù)都是對(duì)準(zhǔn)確數(shù)四舍五入后得到的近似數(shù)，試分別指出它 們的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限，有效數(shù)字的位數(shù)。解:X10.031512XX1X2X3X4x-i0.0315, x20.3015, x3 31.50, x4 5000m=-14 丄 10 13 2Xi有三位有效數(shù)字1210所以，n=3，絕對(duì)誤

3、差限：10 4，相對(duì)誤差:12a1011020.3015x x2m=01-102n=4 ,所以， 絕對(duì)誤差限:31.50m=21 102所以，n=4絕對(duì)誤差限：X X312X1有四位有效數(shù)字120 41010 4，相對(duì)誤差:1 102 42X1有四位有效數(shù)字1 10 2，相對(duì)誤差:212a12a1010丄10 365000m=412所以，n=4絕對(duì)誤差限:X x4相對(duì)誤差:1 4 4-102，X1有四位有效數(shù)字12丄2a1001000.5，10九103 1024、計(jì)算J0的近似值，使其相對(duì)誤差不超過(guò)解：設(shè)取n位有效數(shù)字，由定理1.1知，r由.1010 0.3162 ，所以，a13由題意，應(yīng)使1

4、 10 n 1 0.1%，即10 10n60.1%2a6 1010所以，n=4 ,即10的近似值取4位有效數(shù)字近似值x 3.1626、在機(jī)器數(shù)系下F(10,8,L,U)中取三個(gè)數(shù)x 0.23371258 10 4 , y 0.33678429 102 , z 0.33677811 102，試按(x y) z 禾口 x (y z)兩 種算法計(jì)算x y z的值，并將結(jié)果與精確結(jié)果比較。(x y)z(0.233712584210 40.33678429 102)20.33677811 102r(0.00000023371258 1020.33678429102)0.336778110.3367845

5、2371258 1020.336778111020.336784522 2100.33677811 100.000006413100.64100000 10(y z)0.2337125810 42(0.33678429 1020.33677811102)0.2337125810 40.61800000000 10 30.02337125810 30.61800000000 10 30.64137125810 30.6413712610 3y z0.2337125810 40.33678429 1020.336778111020.000000233712581020.33678429 1020.

6、33677811 1020.000006413712581020.6413712610 3xx102所以，x (y z)比(x y) z精確，且x (y z)與x y z相同；因此，在做三個(gè)以上的數(shù)相加時(shí)，需要考慮相加的兩個(gè)同號(hào)數(shù)的階數(shù) 盡量接近。8、對(duì)于有效數(shù)為 3.105 , X2 0.001 , X30.100，估計(jì)下列算式的相對(duì)誤差限。 yi Xi X2 X3, yi XiX2X3 , y3X2X3解:XiXi3.i05, m=i;3 i2ii0 i所以(Xi)10同理（X2）i0 3（X3）e(Xi)i0 3er (Xi)e(xi)Xie（X2）i0 3er (Xi)e（X2）X21

7、 i0 321 E2 3.i025|-i0 3- 或0.00ir(Xi)r(X2)egi0 3erge(X3)X31 3-i02 或0.i00r(X3)er (XiX2X3)e Xier(yi)丄i032 3i00i0 3x2 x3 e XiXiX2X3e x2 e x3XiX2X3er (Xi X2 X3)0.49975 i0e（y2）所以,知2）0.505i6eO3)x2er()X30(X2) e(X3)所以,e（y3）0.505e(XiX2X3) e(XiX2) e(X3)5(X2) 0(X3)綜合得:30.505r(yi) 0.49975 i0 ,r(y2)0.505i6 ,(丫3)9

8、、試改變下列表達(dá)式，使其結(jié)果比較精確（其中 X i表示X充分接近0，xi表示x充分大）（i）lnX-iln x2，xix2（2）彳i1 XX1iX1 X1r1（3）XXX1Xx VX（4）icosxX0且:X11(5) - cot x , x0且 xx答案：(1 ) In 冬;(3)x(4)法一：用 1 cosx1 cosx 1法一：2一 x3 x 、.一 x3 x2x2得出結(jié)果為:2cosx sin x1x21 cosx xx sin x sin x sin x1 cosx sin xsin x 11 cosxsin xcosx2sin2(X0)12、試給出一種計(jì)算積分xx2sin( )co

9、s()22tan2dx近似值的穩(wěn)定性遞推算法解：顯然，In >0, n=1,2.當(dāng)n=1時(shí)，得，丨1ex 1dx0當(dāng)n >2時(shí)，由分部積分可得：I n Qxnex 1dx 1 nl n 1 , n=2,3,114另外，還有：Inxnex1dxxndx 一00n 1由遞推關(guān)系In=1-nln-1，可得計(jì)算積分序列In的兩種算法: I n 1 nI n 1 n = 2,3 1 I In1 n n 2,3,.,n下面比較兩種算法的穩(wěn)定性若已知In1的一個(gè)近似值"1，則實(shí)際算得的In的近似值為I n 1 n I n 1所以，I n I n ( n)(丨 n 1 I n 1 )In

10、I nnI n 1I n 1由此可以看出In1的誤差放大n倍傳到了 In，誤差傳播速度逐 步放大1 I由 In 計(jì)算 In 1 In1 1 n N,N 1,1若已知In的一個(gè)近似值是In ,則實(shí)際計(jì)算的In 1的近似值為所以，In1 I1I n 1I n 1I nI nnInIn)-(Innn 1的誤差將縮小由此可以看出步衰減。綜上可看出，計(jì)算積分I n e 11 Innnn倍傳到了 In，誤差傳播速度逐10xneXdx的一種穩(wěn)定性算法為N, N 1, N 2,1.習(xí)題二1、利用二分法求方程13X3232x 4s 7 03，4內(nèi)的根，精確到10 ，10即誤差不超過(guò)2解：令 f (x) x3 2

11、x2 4x 7f(3)100，f(40 90，說(shuō)明在3，4內(nèi)有根，利用二分法計(jì)算步驟得出 x103.632324219， x113.6321835938b11 a11 x11 x100.4882181 10 3 丄 10 3 滿足精度要求2所以，x*&3.6321，共用二分法迭代11次。2、證明1 x sinx 0在0,1內(nèi)有一個(gè)根，使用二分法求誤差不大于 -10 4的根。2證明：令f(x) 1 x sin xf(0)10; f (1)sin10，所以，f(0) f (1) 0由零點(diǎn)定理知，f(x)在0,1內(nèi)有一根根據(jù)計(jì)算得出：X* X15 0.98283，此時(shí)共迭代15次4、將一元非

12、線性方程2cosx ex 0寫成收斂的迭代公式，并求其在Xo 0.5附近的根，精確到10 2。解：令 f (x) 2cosx ex令f(x) =0，得到兩種迭代格式xe1 arccos2不滿足收斂定理 (x) (x)2 (x0 )2 In (2cosx)2sin xtanx2cosx2(0.5)0.008727 1 ,滿足收斂定理由方程寫出收斂的迭代公式為Xk 1 ln (2cosxQ取初值為X。0.5，得出近似根為：x*X2 0.693074175、為方程x3 x2 1 0在X0 1.5附近的一個(gè)根，設(shè)方程改寫為下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式：(1)X 12，迭代公式Xk 1X1 1 ；

13、1 2 ,Xk(2)X3X2 1，迭代公式Xk 11/3(Xk1)(3)X，迭代公式Xk 1X 111/2(Xk 1)解：(1 )利用局部收斂定理判斷收斂性，判斷初值X0 1.5附近的局部收斂(2 )局部收斂(3)不滿足局部收斂條件但由于1(X).2(X),所以i(x)比2(x)收斂的慢取第二種迭代格式Xk 1(Xk2 1)1/3取初值X0 1.5，迭代9次得X*x91.466解:f(x) -0.325Xf (x)12 ， X由牛頓迭代公式Xk 1Xkf (Xk)f (Xk)7、用牛頓法求解X3 3x 1 0在初始值 2臨近的一個(gè)正根，要求 Xk 1 Xk 103解：令f(x) X3 3X 1

14、由牛頓迭代法知.xk 1f(Xk)Xk、33Xk 12f (Xk)3(Xk1)迭代結(jié)果為：k01231.88881.87941.8793Xk2959滿足了精度要求，X*X31.879398、用牛頓法解方程-CX0，導(dǎo)出計(jì)算C的倒數(shù)而不用除法的一種簡(jiǎn)單迭代公式，用此公式求0.324的倒數(shù)，設(shè)初始值X。3，要求計(jì)算結(jié)果有5位有效數(shù)字。迭代結(jié)果為:k01233.083.08643.0864Xk341820滿足精度要求xx33.0864所以，0.324的倒數(shù)為3.086411、用快速弦截法求方程x3 3x 10在X02附近的實(shí)根，(取捲=1.9，要求精度到10 3)解：f(x) x3 3x 1 ,迭代

15、結(jié)果：k012341.1.88101.8794111.8793Xk2994609滿足精度要求*Xx41.879394cosx ex 在 x0附近的根，4要求有二位12、分別用下列方式求方程有效數(shù)字(1 )用牛頓法，取Xo-4(2 )用弦截法，取XoXi42(3 )用快速弦截法，取XoXi42解：求出的解分別為：Xi 0.905 X20.905 X3 0.905習(xí)題三1、用高斯消元法解下列方程組2x1X23x31(1)4x12X25x34X12X2711x13x22x3323x111x：2X30X12x2 2x31(2)解：(1 )等價(jià)的三角形方程組為4x12X22X2 5x340.5X31，回

16、代求解為7 21X38 4(2 )等價(jià)的三角形方程組為X1X2X323x57X22311x2 x3047 X32319X357Xi2、將矩陣10解：L 20010010200111501001 ，2235721110101,U回代求解為X2X3411931061932231930111作LU分解。1000010021503、用LU緊湊格式分解法解方程組01165567781091081097X1X2X3X41111100057910山6/510002/54/53解：LU7/51/21000517/2103/510001/101201/512Y,X1/253/103X12 x2 2x314、用列

17、主元的三角分解法求解L方程組3x1X24X372x13x2 2x301 221解：A 314723201 0031472L2/310 ,U07/314/3,Y14/3 ,X11/37/500 042 1/25 、用追趕法解三角方程組 Ax b ,其中2 1 00011 2 1000A 01210,b 00 0 12101 0 01201211/213/21解：L2/31,U4/313/415/414/5 16/515/61/22/3Y 1/3， X1/21/41/31/51/64x-|2x2 4x3106 .用改進(jìn)的Cholesky分解法解方程組2x117x210x334x110x2 9x37

18、10 0424102解：L1/21 0，U0168 ，Y8X111/2 1001114110片77、用改進(jìn)的cholesky分解法解方程組1310X281152X340024x4641-10710 11/4-3/4025/42解：UY5X0050/112-6/11100078/25156/2528、設(shè) x (1, 2,3)t,求 x2和 xn解: IIX1x 6i 1X2,x214¥ i 1x max x 31 1 09、設(shè)A2 25 4-3 ,求|A11LIIA2和 a|解:制18，IA10， /Ar 2J (AtAt)7.14171 10110、設(shè) A2 2-3 ， x3，計(jì)算

19、IIx，1 All 及|Ax| ,并比較 I Ax|5 412和 |x|?A|的大小。解: HI3，|A|=10，|Ax|=912 2 x11211、給定方程111 X2022 1 x310(1) 寫出 Jacobi 和 Gauss-Seidel 迭代格式；(2) 證明Jacobi迭代法收斂而Gauss-Seidel迭代法發(fā)散；(3) 給定x(0) (o,o,o)T，用迭代法求出該方程的解，精確到x(k 1)x(k)解:(3 )用Jacobi迭代得,(12, 46,58)T13、已知5x1X1XX1X2 x310x2 x3 x4x2 5x3 x4 x2 x3z 10x4X4412834,考察J

20、acobi迭代格式和X12X22x312(1)Jacobi迭代公式X2X1X3X32x12X210(kX11)2x2(k)3x3(k)12Gauss-Seidel迭代公式(k 1)X2(k 1)Xn2x2(k)8x2(k)(k)X3(k)6 X31238Gauss-Seidel 迭代格式的收斂性。14、方程組Ax b，其中，x, b R31A 4aa利用迭代收斂的充分必要條件確定使Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收斂的a的取值范圍解:Jacobi迭代矩陣為0Bj4aa當(dāng)Bj 1得,Gauss-Seidel迭代矩陣為:Bja4a22aa4a22a當(dāng)Bs 1得,、 55430

21、x115、設(shè)方程組341 X2014 X32430分別用Gauss-Seidel 迭代法和24w=1.25的SOR法求解此方程， 解：Gauss-Seidel迭代法共迭代17次，此時(shí)近似解為* (17)Tx x( 7(3.000,4.000,5.000)SOR法w=1.25時(shí)，迭代11次，此時(shí)的近似解為* (11)x x( 1(3.000,4.000,5.000)16、用SOR方法解方程組(分別取松弛因子w=1.03 ，w=1，4x1 x21X1 4X2 3X3 4 精確 解 x* (1/2,1, 1/2)，要求當(dāng)x 2 4 X335 10 6時(shí)，終止迭代，準(zhǔn)確到4位有效數(shù)字(取x(0)(1,

22、1,1)T)w=1.1)x* x(k)并且對(duì)每一個(gè)w值確定迭代次數(shù)。解：當(dāng)w=1.03時(shí)，迭代5次, 當(dāng)w=1時(shí)，迭代6次，x* 當(dāng) w=1.1時(shí),迭代6次，xx* X(5)(6)X(6)X(0.5,1, 0.5)T(0.5,1, 0.5)T(0.5,1, 0.5)T習(xí)題四1、設(shè) X0值誤差。0,Xi寫出f(x)e x的一次插值多項(xiàng)式L1(x)，并估計(jì)插解：Li (x)yoyi匹(xX1 X0Xo)1(-1)xe|Ri(x)|Ri(x)|M (x2(xx°)(x X1)，18Xo)(XXi)其中MmaxXo X X1f (x)12、給定函數(shù)表Xi-0.10.30.71.1f (Xi)

23、0.9950.9950.7650.454選用合適的三次插值多項(xiàng)式來(lái)近似計(jì)算f(0.2)和f(0.8)。解：、求f(0.2)，選用插值節(jié)點(diǎn)為X0 -0.1，Xi 插值多項(xiàng)式為：(X Xi)(X X2)L2(x)y°0.3，X2 0.7，用 lagrange(X Xo)(X X2)(X0 Xi)(X0 X2)(Xi解得 f(-0.1) L2(-0.1)0.979、求f (0.8)，選用插值節(jié)點(diǎn)(X Xi)(X X2)(XL2(x)y°(X0Xi)(X0 X2)(XiX°)(Xi X2)解得：f(0.8) L2(0.8)0.6975(Xx°)(xXi)(X2X

24、°)(X2Xi)0.7，X21 .1 ,(XX°)(XXi)(X2X°)(X2Xi)y2y2X°)(X1 X2)*x00.3， x-iX°)(X X2)yi4、給定數(shù)據(jù)(f(x) X)(1)(2)差。Xi2.02.1 2.22.41.14211.44911.48321.5491f (Xi)38試用線性插值計(jì)算試用二次Newtonf(2.3)的近似值，并估計(jì)誤差。插值多項(xiàng)式計(jì)算f (2.15)的近似值，并估計(jì)誤解：(1 )取 Xo 2.2 ,Xi2.4Li(x)y° 辿(x x°) Xi X00.32995X0.75731f(

25、2.3)|Ri(x)|Ri(2.3)|Li(2.3)1.516195M20.0766(x X°)(x X1)M max f (x)0.0766X0 X Xi2.4)0.00038312(2.3 2.2)(x(2 )寫出二次Newt on插值差商表Xif (Xi)一階差商 二階差商2.01.142142.11.449130.349242.2 | 1.483200.34062-0.0431N2(x)1.4142140.34924(x2)0.0431(x 2)( x 2.1)f(2.15) N2(2.15)1.4663R2(2.15)0.0000041435、給出函數(shù)值164688試求各階

26、差商，并寫出Newton插值多項(xiàng)式和差值余項(xiàng)。解:Xiy一階差商二階差商二階差商四階差商001161624630738821-3-5/240-88-109/3-25/2-7/6N4(x)16x7x(x 1)5/2x(x 1)(x2)7/6x(x 1)(x 2)(x 4)RJx)f (x) N4(x)fX0,X1,X2,X3,X4,XW5(X)f(6)()-F(x 0)(x 1)(x 2)(x 4)(x 5)6!6、給定數(shù)據(jù)表0.1250.250.3750.5000.6250.750f(x)0.79610.77330.74370.70410.65630.6022841328試用三次牛頓差分插值公

27、式計(jì)算f (0.158)和f (0.636)。解：、求 f(0.158)，取 xo 0.125，x10.25，X2 0.375,X3 0.500，h=0.125差分表為Xif (Xi)一階差分二階差分三階差分0.1250.796180.250.77334-0.022840.3750.74371-0.02963-0.006790.50.70413-0.03958-0.00995-0.00316kfi fXi,Xi 1,Xi 2,Xi kkk! h由牛頓插值公式有f(0.158) N3(0.158)0.79061、求 f (0.636)，取 X0 0.375，人 0.500，x? 0.625, X

28、3 0.750，h=0.125Xif(Xi)一階差分二階差分三階差分0.3750.743710.50.70413-0.039580.6250.65632-0.04781-0.008230.750.60228-0.05404-0.006230.002求解得 f 0.636)N3(0.636) 0.651799、給出sinx在0,pi的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，用線性插值計(jì)算 sinx的近 似值，使其截?cái)嗾`差為1 10 4，問(wèn)該函數(shù)表的步長(zhǎng)h應(yīng)取多少才能滿2足要求?解：設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為Xiih , (i=0,1h) , h n由 |Rn(x)丨 f (x)h2m22F(x)=sinx， f (x)sin x，所

29、以 f (x)1，即 m21所以h 0.02步長(zhǎng)h應(yīng)取為0.02才能滿足要求。14、已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下Xi1925313844yi19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如y a bx2的經(jīng)驗(yàn)公式，并計(jì)算均方差解：設(shè)擬合多項(xiàng)式為ya bx2，則正規(guī)方程組為S0 S1S2 aT。S1 S2 S30T1S2 S3 S4 bT251575327a271.4即：157532719233109776.153271923317277699 b369321.5a 0.968b 0.05所以，經(jīng)驗(yàn)公式為：y 0.968 0.05x2均方誤差為0.00301915、觀測(cè)物體的直線運(yùn)動(dòng)，得出以下數(shù)據(jù)

30、時(shí)間t(s)00.91.93.03.95.0距離S(m)010305080110求運(yùn)動(dòng)方程。解：設(shè)擬合多項(xiàng)式為y abx ex2，則正規(guī)方程組為S。S1S2aT0S1S2S30T1S2S3S4bT2614.753.63a280即：14.753.63218.907b107853.63 218.90795103023c4533.2a=-0.5834 ，b=11.0814 ，c=2.2488所以擬合多項(xiàng)式為y0.5834 11.0814x 2.2488x2。習(xí)題五1、分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算下列積分，并比較結(jié)果。1 x（1）-一 dx（ n=8）0 4 x解：用復(fù)合梯形公式 h ,n 8, f