正態(tài)過(guò)程的定義(共4頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2.2 正態(tài)過(guò)程的定義定義1 設(shè)T為任意參數(shù)集，定義在上的隨機(jī)變量集合稱(chēng)為正態(tài)系，如對(duì)任意正整數(shù)及是維正態(tài)向量。特別，當(dāng)時(shí)就稱(chēng)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。 本節(jié)及下節(jié)均設(shè)。由2.1節(jié)引理2為維正態(tài)向量的充要條件是的任意線性組合為正態(tài)隨機(jī)變量，其中實(shí)數(shù)列不全為零，任意。得：定理1 是正態(tài)過(guò)程的充要條件為其任意有限多個(gè)元素的線性組合是正態(tài)隨機(jī)變量。 下面說(shuō)明正態(tài)分布函數(shù)中參數(shù)及的概率意義。定理2設(shè)的分布函數(shù)為，其中，則分析：通過(guò)特征函數(shù)求期望、方差。證明 的特征函數(shù)為 （1） 據(jù)2.1節(jié)引理2知識(shí)正態(tài)隨機(jī)變量，其特征函數(shù)可自（1）中令而得，即因而，。其次由公式 得 由上可見(jiàn)正態(tài)過(guò)程完全

2、由其均值及協(xié)方差所決定，由1.1節(jié)定理2知是是對(duì)稱(chēng)非負(fù)定的。上面是先有而得、，下面我們證明其反過(guò)來(lái)的問(wèn)題。 定理3 （實(shí)正態(tài)過(guò)程的存在性定理） 設(shè)已給參數(shù)集，實(shí)值函數(shù)及對(duì)稱(chēng)非負(fù)定的二元實(shí)值函數(shù)，則存在概率空間及定義在其上的實(shí)正態(tài)過(guò)程，使其均值為，協(xié)方差為。分析：給定兩個(gè)實(shí)值函數(shù)構(gòu)造實(shí)正態(tài)過(guò)程。證明 對(duì)及，構(gòu)造元特征函數(shù) （2）如此得到的特征函數(shù)族滿足相容性條件，即及其中是的任一排列。故 據(jù)1.1節(jié)定理1 設(shè)已給參數(shù)集及滿足相容性條件（A），（B）的分布函數(shù)族，則必存在概率空間存在及定義在其上的隨機(jī)過(guò)程使對(duì)任意自然數(shù)，任意實(shí)數(shù)及任意，有存在及定義在其上的隨機(jī)過(guò)程使對(duì)任意及，維向量的特征函數(shù)為（2

3、）。由上面的定理2知 換言之，的均值及協(xié)方差函數(shù)分別為及。定義2 設(shè)與為實(shí)過(guò)程，稱(chēng)復(fù)值過(guò)程為正態(tài)的，如對(duì)任意及為維正態(tài)向量。復(fù)正態(tài)過(guò)程存在性定理定理3 對(duì)復(fù)值函數(shù)及也成立，即存在復(fù)正態(tài)過(guò)程使 （3）分析： 證明（4）就有（3）成立 關(guān)鍵是找二元實(shí)值過(guò)程 從維著手，找出相應(yīng)的特征函數(shù) （需構(gòu)造出均值、協(xié)方差陣） 實(shí)際上，設(shè)只要能證存在二元實(shí)過(guò)程，使得是正態(tài)過(guò)程且滿足即可。因此由知 （5）又由（4），（5）得為證存在滿足（4）的二元正態(tài)過(guò)程，任取并令則是實(shí)對(duì)稱(chēng)非負(fù)定階矩陣。實(shí)際上，對(duì)任意不全為零的實(shí)數(shù)記則一方面另一方面，如令則由的非負(fù)定性，我們有 （7）最后一等式是因上式左方為實(shí)值，因而右方的虛部都應(yīng)等于零。由（6），（7）知非負(fù)定。今對(duì)造元特征函數(shù)其中與的關(guān)系同前。于是如