初中數(shù)學(xué)[最短路徑問題]典型題型及解題技巧

1、初中數(shù)學(xué)最短路徑問題典型題型及解題技巧最短路徑問題中，關(guān)鍵在于，我們善于作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，或利用平移和 展開圖來(lái)處理。這對(duì)于我們解決此類問題有事半功倍的作用。 理論依據(jù)：“兩點(diǎn)之間線段最短”， “垂線段最短”，“點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱”，“線段的平移” “立體圖形展開圖”。教材中的例題“飲馬 問題”，“造橋選址問題” “立體展開圖”?？嫉妮^多的還是“飲馬問題”。知識(shí)點(diǎn)：“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，“點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱”，“線段的平移”?！帮嬹R 問題”，“造橋選址問題”?？嫉妮^多的還是“飲馬問題”，出題背景變式有角、三角形、菱形、 矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等。解題總思路：找

2、點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”，近兩年出現(xiàn)“三折線”轉(zhuǎn)“直”等變 式問題考查。一、兩點(diǎn)在一條直線異側(cè)例：已知：如圖，A，B在直線L的兩側(cè)，在L上求一點(diǎn)P，使得PA+PB h 最小。解：連接AB,線段AB與直線L的交點(diǎn)P，就是所求。（根據(jù)：兩點(diǎn)之間線 段最短.）二、兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)例：圖所示，要在街道旁修建一個(gè)奶站，向居民區(qū) A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地 方，才能使從A、B到它的距離之和最短.解：只有A、C、B在一直線上時(shí)，才能使 AC+BC最小.作點(diǎn)A關(guān)于直線 “街道”的對(duì)稱點(diǎn)A '，然后連接A ' B,交“街道”于點(diǎn)C,則點(diǎn)C就是 所求的點(diǎn).、一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部例

3、：已知：如圖A是銳角/ MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在/ MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C,組成三角形，使三角形周長(zhǎng)最小.解：分別作點(diǎn)A關(guān)于0M , ON的對(duì)稱點(diǎn)AA連接AA，分別交OM , ON于點(diǎn)B、點(diǎn)C ,則點(diǎn)B、點(diǎn)C即為所求 分析：當(dāng)AB、BC和AC三條邊的長(zhǎng)度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時(shí)，三角形的周長(zhǎng)最小例：如圖，A.B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上建一座橋 MN，橋造在何 處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假設(shè)河的兩岸是平行的直線，橋 要與河垂直）解：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到 E,B2.連接AE交河對(duì)岸與點(diǎn)M,則點(diǎn)M為建橋的位置，MN為所建的橋 證明：由平移的性質(zhì)

4、，得 BN/ EM 且 BN=EM, MN=CD, BD / CE, BD=CE,所以 A.B 兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若橋的位置建在 CD處，連接AC.CD.DB.CE,則AB兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在厶ACE 中AC+CE >AE,二 AC+CE+MN >AE+MN,即 AC+CD+DB >AM+MN+BN所以橋的位置建在CD處，AB兩地的路程最短。例：如圖，A、B是兩個(gè)蓄水池，都在河流 a的同側(cè)，為了方便灌溉 作物，？要在河邊建一個(gè)抽水站，將河水送到 A、B兩地，問該站建在 2河邊什么地方，

5、？可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn)。作法：作點(diǎn)B關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)C,連接AC交直線a于點(diǎn)D，則點(diǎn)D為建抽水站的位 置。證明：在直線 a上另外任取一點(diǎn)E,連接AE.CE.BE.BD,點(diǎn)B.C關(guān)于直線a對(duì)稱,點(diǎn)D.E在直線 a 上，二 DB=DC,EB=EC, AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC在厶 ACE 中，AE+EC > AC,即 AE+EC >AD+DB所以抽水站應(yīng)建在河邊的點(diǎn) D處，D例：某班舉行晚會(huì)，桌子擺成兩直條（如圖中的AO，BO），AO桌面上擺 滿了桔子，0B桌面上擺滿了糖果，坐在 C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖 果，然后回到座位，請(qǐng)你幫助他設(shè)

6、計(jì)一條行走路線，使其所走的總路程最 短？作法：1作點(diǎn)C關(guān)于直線0A的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)D,2.作點(diǎn)C關(guān)于直線0B的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E,3連接DE分別交直線OA.OB于點(diǎn)M.N，OCD貝U CM+MN+CN 最短例：如圖：C為馬廄，D為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬,先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫他確定這一天的最短路線作法：1作點(diǎn)C關(guān)于直線OA的 對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)F,2.作點(diǎn)D關(guān)于直線0B的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)E,3連接EF分別交直線OA.OB于點(diǎn)G.H，貝U CG+GH+DH最短四、求圓上點(diǎn)，使這點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離最小的方案設(shè)計(jì)在此問題中可根據(jù)圓上最遠(yuǎn)點(diǎn)與最近點(diǎn)和點(diǎn)的關(guān)系可得最優(yōu)設(shè)計(jì)方 案。例:一點(diǎn)到圓上

7、的點(diǎn)的最大距離為9,最短距離為1,則圓的半徑為多少?（5 或 4）四、點(diǎn)在圓柱中可將其側(cè)面展開求出最短路程將圓柱側(cè)面展成長(zhǎng)方形，圓柱體展開的底面周長(zhǎng)是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，圓柱的高是長(zhǎng)方形的寬可求出最短路程例：如圖所示，是一個(gè)圓柱體，ABCD是它的一個(gè)橫截面, 一只螞蟻，要從A點(diǎn)爬行到C點(diǎn)，那么，最近的路程長(zhǎng)為（A. 7 B. C 二D. 5分析：要求螞蟻爬行的最短距離，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得 出結(jié)果.解：將圓柱體展開，連接A、C ,v /.| h I _ | 丄二二？ n?=4 , BC=31802 7T 5根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AC=5 -DCD*二SA五、在長(zhǎng)方體(正方

8、體)中，求最短路程1) 將右側(cè)面展開與下底面在同一平面內(nèi)，求得其路程2) 將前表面展開與上表面在同一平面內(nèi)，求得其路程3) 將上表面展開與左側(cè)面在同一平面內(nèi)，求得其路程了然后進(jìn)行比較大小，即可得到最短路程例：有一長(zhǎng)、寬、高分別是 5cm，4cm，3cm的長(zhǎng)方體木塊，一只螞蟻要 從長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)A處沿長(zhǎng)方體的表面爬到長(zhǎng)方體上和 A相對(duì)的頂點(diǎn)B處，則需要爬行的最短路徑長(zhǎng)為()A. 5 :cm B.!cm C . 4 . cm D. 3. icm分析：把此長(zhǎng)方體的一面展開，在平面內(nèi)，兩點(diǎn)之間線段最短.利用勾股定理求點(diǎn)A和B點(diǎn)間的線段長(zhǎng)，即可得到螞蟻爬行的最短距離.在直角三角形中，一條直角邊長(zhǎng)等于長(zhǎng)

9、方體的 高，另一條直角邊長(zhǎng)等于長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬之和，利用勾股定理可求得.解：因?yàn)槠矫嬲归_圖不唯一，故分情況分別計(jì)算，進(jìn)行大、小比較，再?gòu)母鱾€(gè)路線中確定最短的路線.(1 )展開前面、右面，由勾股定理得 AB2= (5+4) 2+32=90 ;(2 )展開前面、上面，由勾股定理得 AB2= (3+4) 2+52=74 ;(3)展開左面、上面，由勾股定理得 AB2= (3+5) 2+42=80 ;所以最短路徑長(zhǎng)為. icm .例：如圖是的四等分）一個(gè)長(zhǎng)4m，寬3m，高2m的有蓋倉(cāng)庫(kù)，在其內(nèi)壁的 A處（長(zhǎng)有一只壁虎，B處（寬的三等分）有一只蚊子，則壁虎爬到蚊7子處最短距離為（）A. 4.8 B. '

10、;I C. 5 D.:分析：先將圖形展開，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知.解：有兩種展開方法：將長(zhǎng)方體展開成如圖所示，連接 A、B,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AB=i;將長(zhǎng)方體展開成如圖所示，連接 A、B，則AB= ： =5<. J；所以最短距離5例：有一棵9米高的大樹，樹下有一個(gè) 在距地面4米處折斷（未完全折斷）， 之外才是安全的.1米高的小孩，如果大樹則小孩至少離開大樹分析：根據(jù)題意構(gòu)建直角三角形 ABC，利用勾股定理解答.解：如圖，BC即為大樹折斷處4m減去小孩的高1m，貝U BC=4 - 1=3m，AB=9 - 4=5m，在 Rt ABC 中，AC=-【=!:J=4 .例：如圖，在一個(gè)長(zhǎng)

11、為2米，寬為1米的矩形草地上，如圖堆放著一根長(zhǎng)方體 的木塊，它的棱長(zhǎng)和場(chǎng)地寬 AD平行且AD，木塊的正視圖是邊長(zhǎng)為 0.2米 的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A處，到達(dá)C處需要走的最短路程是米.（精確 到0.01米）8分析：解答此題要將木塊展開，然后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解答.解：由題意可知，將木塊展開，相當(dāng)于是長(zhǎng)為2+0.2 X 2=2.4米；寬為1米. 于是最短路徑為： 血 字+ 1 EGO米.AB+2個(gè)正方形的寬,例：如圖，AB為O O直徑，AB=2 , OC為半徑，OC丄AB,D為AC 等分點(diǎn)，點(diǎn)P為OC上的動(dòng)點(diǎn)，求AP+PD的最小值。分折：作D關(guān)于OC的對(duì)稱點(diǎn)D '于是有PA+PD &#

12、39; > AD ',（當(dāng)且僅當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到Po處，等號(hào)成立，易求AD ' = . 3 。六、在圓錐中，可將其側(cè)面展開求出最短路程將圓錐側(cè)面展開，根據(jù)同一平面內(nèi)的問題可求出最優(yōu)設(shè)計(jì)方案例：如圖，一直圓錐的母線長(zhǎng)為QA=8，底面圓的半徑r=2，若一只小螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，繞圓錐的側(cè)面爬行一周后又回到 A點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)是 （結(jié)果保留根式）小蟲爬行的最短路線的長(zhǎng)是圓錐的展開圖的扇形的弧所根據(jù)題意可得出：2n nOA,/180貝U,則n XnX8， 1802 XnX 2=解得：n=90由勾股定理求得它的弦長(zhǎng) AA一、題中出現(xiàn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。當(dāng)題中只出現(xiàn)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，可作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所

13、在直線的對(duì)稱點(diǎn) 或三角形兩邊之和小于第三邊求出最值.例：如圖，在正方形 ABCD中，點(diǎn)E為AB上一定點(diǎn)，且BE=10,CE=14,P為BD上一動(dòng)點(diǎn)，求PE+PC最小值。分析：作E關(guān)于BD對(duì)稱點(diǎn)E', E'在AB 上,有 PE+PC=PE' +PC > E' C 易求 E' C=26。，利用兩點(diǎn)之間線段最短1011、題中出現(xiàn)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)當(dāng)題中出現(xiàn)兩個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，應(yīng)作兩次定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn).利用兩點(diǎn)之 間線段最短求出最值。例：如圖，在直角坐標(biāo)系中有四個(gè)點(diǎn),A(-8,3),B(-4,5)C(0 ，n),D(m,O),當(dāng)四邊形ABCD周長(zhǎng)最短時(shí)

14、，求m。n分折:因AB長(zhǎng)為定值，四邊形周長(zhǎng)最短時(shí)有BC+CD+DA 最短，作B關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)B',A關(guān)于x軸對(duì)稱點(diǎn)A',DA+DC+BC=DA ' +DC+B ' C > B' A '(當(dāng) D,C 運(yùn)動(dòng)到 AB 和2777mxx軸y軸的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立),易求直線A'B'解折式y(tǒng)= 3 + 3 ,C0(0, 3),D0(- 2 ,0),此時(shí)n =-23三、題中出現(xiàn)三個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)在求解時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn):(1)作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)同時(shí)要考慮點(diǎn)點(diǎn)，點(diǎn)線,線線之間的最短問題例：如圖，在菱形 ABCD中,AB=2, / BAD=60,

15、E,F,P分別為AB,BC,AC 上 動(dòng)點(diǎn),求PE+PF最小值分折:作E關(guān)于AC所直線的對(duì)稱點(diǎn)E',于是有,PE+PF=PF+PE' > E' F,又因?yàn)镋在AB上運(yùn)動(dòng)，故當(dāng)EF和AD,BC 垂直時(shí)，EOF最短,易求BEOF= 3。例：如圖，/ AOB=45，角內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P , PO=10，在AO , BO上有兩 動(dòng)點(diǎn)Q，只，求厶PQR周長(zhǎng)的最小值。分折：作P關(guān)于OA，OB對(duì)稱點(diǎn)P1，P2 0于是有 PQ+QR+PR=QP1+QR+RP2 > P1P2，由對(duì)稱性易知 P1OP2 為等腰 RTA ,OP=OP1=OP2=1O,P1P2= 10 三總之，在這一類

16、動(dòng)點(diǎn)最值問題中，關(guān)鍵在于，我們善于作定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)， 或動(dòng)點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)。這對(duì)于我們解決此類問題有事半功倍的作用。1、運(yùn)用軸對(duì)稱解決距離最短問題運(yùn)用軸對(duì)稱及兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)，將所求線段之和轉(zhuǎn)化為一條線段的長(zhǎng)，是解決 距離之和最小問題的基本思路，不論題目如何變化，運(yùn)用時(shí)要抓住直線同旁有兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)到 直線上某點(diǎn)的距離和最小 這個(gè)核心，所有作法都相同.注意：利用軸對(duì)稱解決最值問題應(yīng)注意題目要 求 根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、利用三角形的三 邊關(guān)系，通過比較來(lái)說(shuō)明最值問題是常用的一種方法解決這類最值問題時(shí)，要認(rèn)真審題， 不要只注意圖形而忽略題意要求，審題不清導(dǎo)致答非所問.2、利用平移確定最短路徑選址選址問題的關(guān)鍵是把各條線段轉(zhuǎn)化到一條線段上.如果兩點(diǎn)在一條