向量空間的定義和基本性質(zhì)

1、5.2向量空間的定義和基本性質(zhì)授課題目：5.2線性空間的定義和基本性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：理解并掌握線性空間的定義及基本性質(zhì)授課時數(shù)：3學(xué)時教學(xué)重點(diǎn)：線性空間的定義及基本性質(zhì)教學(xué)難點(diǎn)：性質(zhì)及有關(guān)結(jié)論的證明教學(xué)過程：一、線性空間的定義1. 引例定義產(chǎn)生的背景例1 設(shè)則向量的加法和數(shù)與向量的乘法滿足下述運(yùn)算律.（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）這里2. 向量空間的定義抽象出的數(shù)學(xué)本質(zhì) Def: 設(shè)V 是一個非空集合，其中的元素稱為向量。記作；F是一個數(shù)域,如果在集合V中定義了一個叫做加法的代數(shù)運(yùn)算，且定義了FV到V的一個叫做純量乘法的代數(shù)運(yùn)算.（F中元素與V中的乘積記作）。如果加法和純

2、量乘法滿足：1）2）3） （找出元）4）使得=稱為的負(fù)向量（找出負(fù)元）5）6）1 / 87）8）V是F上的一個線性空間，并稱F為基數(shù)域.3. 進(jìn)一步的例子加深定義的理解例1：復(fù)數(shù)域C對復(fù)數(shù)的加法和實數(shù)與復(fù)數(shù)的乘法作成實數(shù)域R上的線性空間.例2：任意數(shù)域F可看作它自身的線性空間.例3 其加法定義為, 數(shù)乘定義為, 則V是數(shù)域F上的線性空間.注: V=0對普通加法和乘法是數(shù)域F上的線性空間, 稱為零空間.例4：設(shè)F是有理數(shù)域，V是正實數(shù)集合，規(guī)定練習(xí) 集合V對規(guī)定的是否作成數(shù)域F上的線性空間？解 顯然V對滿足條件1）7），但對任意的有故集合V對規(guī)定的不作成數(shù)域F上的線性空間.由此例可以看出, 線性

3、空間定義中的條件8)是獨(dú)立的, 它不能由其他條件推出.二、線性空間的簡單性質(zhì)1、線性空間V的加法和純量乘法有以下基本性質(zhì).Th5.2.11） V的零向量唯一，V中每個向量的負(fù)向量是唯一的.2）證明：1）設(shè)是V的兩個零向量，則.設(shè)是的負(fù)向量, 則有 于是 *由于負(fù)向量的唯一性, 以后我們把的唯一負(fù)向量記作. 2） 因 所以3） *我們規(guī)定: 且有定理5.2.2 對F的任意數(shù)a, b和V中任意向量, 則有 1) 2) 特別地, 3) 4) 證明: 1) 因為 所以 類似地可證 2) 因為 所以是的負(fù)向量, 即. 同理可證 3) 設(shè) 如果 則有 于是 4) 注: 線性空間的定義中與定理5.2.2的性

4、質(zhì)3)在其他條件不變的情況下等價.事實上, 由線性空間的定義可推出定理5.2.2的性質(zhì)3).反之, 由線性空間定義中的條件1)7)及定理5.2.2的性質(zhì)3）可推得因為 由性質(zhì)3） 課堂討論題：檢驗以下集合對于指定的線性運(yùn)算是否構(gòu)成相應(yīng)數(shù)域上的線性空間：1）起點(diǎn)在原點(diǎn)，終點(diǎn)在一條直線上的空間向量的全體作成的集合V，按通常集合向量的加法及數(shù)乘運(yùn)算；2）按通常數(shù)域F上n維向量的加法及乘法運(yùn)算；3）按通常數(shù)域F上矩陣的加法及乘法運(yùn)算；4） 按通常數(shù)域F上多項式的加法及數(shù)乘運(yùn)算；5）全體實數(shù)R的集合按通常數(shù)的加法與乘法運(yùn)算是否構(gòu)成復(fù)數(shù)域C上線性空間？全體復(fù)數(shù)域C的集合按通常數(shù)的加法與乘法運(yùn)算是否構(gòu)成實數(shù)

5、域R上線性空間？6）數(shù)域F上的n階方陣全體，按通常數(shù)與矩陣乘法，但加法定義為 三、子空間1、子空間的定義定義2：子空間的定義：V是F上一個線性空間，W是V的一個非空子集，如果W對V的加法和FV到V的純量乘法，也作成F上的一個線性空間，則稱W是V的子空間。例5：Fx是Fx的子空間.例6：V是它本身的一個子空間. 0也是V的子空間. V和零空間叫做V的平凡子空間，V的其他子空間叫做V的真子空間.2、子空間的判斷：Th5.2.3 設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間, W是V的一個非空子集，則W是V的子空間的充要條件：（1）（2）證明：(1) W對加法封閉, 即對任意(2) W對純量乘法封閉, 即對任意證明:

6、必要性. 設(shè)W是V的子空間, 則V的加法是W的代數(shù)運(yùn)算, 從而W對V的加法封閉; 另外, 到V的純量乘法也是到W的純量乘法, 因此W對純量乘法也封閉.充分性. 由于W對V的加法封閉, 對到V的純量乘法封閉, 所以V的加法是W的代數(shù)運(yùn)算, 到V的純量乘法也是到V的純量乘法的代數(shù)運(yùn)算. 線性空間定義中的算律1), 2), 5), 6), 7), 8)對V中任意向量都成立, 自然對W的向量也成立. 由W對純量乘法的封閉性和定理5.2.2, 對于, 所以V中的零向量屬于W, 它自然也是W的零向量, 并且, 因此條件3)和條件4)也成立, 故W是V的子空間.推論1：W是V的一個非空子集，則W是V的子空間的充要條件： 3、生成子空間例7：設(shè)是數(shù)域F上的線性空間V的一組向量.則作為V的一個子空間.所以又因4、子空間的交與并Th4: W,W是V的兩個子空間，則W W仍是V的子空間. (問WW是否為V的子空間.)證明: 因為W,W是V的兩個子空間，所以所以是V的子空間.推廣：若W，W是V的子空間，則也是V的子空間. 例：A是一個n階矩陣，S（A）=B|AB=BA則S（A）是的一個子空間.證： 又 2.兩個子空間的并則不一定是子空間.（WW=） 證： 當(dāng)時=當(dāng)時=由已知，均為V的子空間.“