上海市2016-2017學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試卷(含解析)

1、2016學(xué)年第二學(xué)期高二數(shù)學(xué)期末考試一、填空題(本大題滿分54分)本大題共有12題，其中第1題至第6題每小題4分，第7題至第12題每小題5分，考生應(yīng)在答題紙上相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，否則一律得零分.1 .(X+1戶的展開(kāi)式中辯2項(xiàng)的系數(shù)為【答案】一【解析】(x+1)5的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為L(zhǎng)+1=匚!./T,令5T=2,求得r=3,可得展開(kāi)式中小項(xiàng)的系數(shù)為c；=10,故答案為10.2 .已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(一V瓦0)且方向向量為1(2,1),則原點(diǎn)O到直線的距離為.【答案】1【解析】直線的方向向量為Ql1)1，所以直線的斜率為直線方程為|x+2y+=0，由點(diǎn)到直線的距離可知了粵谷=1,故答案為

2、1.Vr+23 .已知全集U=R,集合A=x|x'-2x-3>0GR，B=x|m-2工X工E+WR,若(JA)nE=x|0與X53mER|,則實(shí)數(shù)m的值為.【答案】2【解析】試題分析：由題意A=x|x<一1畋>3,則C(jA=x|-lsx<3,由網(wǎng)門E=口|0£*玉3得信；,解得而不.考點(diǎn)：集合的運(yùn)算./X+y<12,4 .若變量滿足約束條件2x-y之。1則工=產(chǎn)-x的最小值為.x-2ys0.【答案】4【解析】由約束條件,解得A（2.4），化目標(biāo)函數(shù)W = y 4 X，得v 二丈+ Z，由圖可知，當(dāng)x+y<12,2x-y>0P作出可行

3、域如圖,直線V=X+z過(guò)點(diǎn)A（8.4）時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為.4，故答案為4.點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值，屬簡(jiǎn)單題.求目標(biāo)函數(shù)最值的一般步驟是“一畫(huà)、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是實(shí)線還是虛線）；（2）找到目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的最優(yōu)解對(duì)應(yīng)點(diǎn)（在可行域內(nèi)平移變形后的目標(biāo)函數(shù)，最先通過(guò)或最后通過(guò)的頂點(diǎn)就是最優(yōu)解）；（3）將最優(yōu)解坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求出最值.5 .直線:jig2在:（腳上與點(diǎn)A.2,3）的距離等于點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.【答案】（-二4）或（一：1,2）.【解析】解：因?yàn)橹本€二三時(shí).（t笨件上與點(diǎn)A（-23）的距離等于卜之的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-3,

4、4）和6 .某學(xué)生在上學(xué)的路上要經(jīng)過(guò)2個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是則這名學(xué)生在上學(xué)路上到第二個(gè)路口時(shí)第一次遇到紅燈的概率是.1【解析】設(shè)“這名學(xué)生在上學(xué)路上到第二個(gè)路口首次遇到紅燈”為事件A,則所求概率為p（A）=|x|=|,故答案為：.7 .某學(xué)校隨機(jī)抽取100名學(xué)生調(diào)查其上學(xué)所需時(shí)間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學(xué)所需時(shí)間的范圍是0,100,樣本數(shù)據(jù)分組為。,20）,20,40）,40,60）,60.80）,80,100.則該校學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間的均值估計(jì)為.（精確到1分鐘）.o.m【答案】34.【解析】由直方圖可得X+

5、0.025+0.0065+0,003x2x20=1.所以X=Q.01251該校學(xué)生上學(xué)所需時(shí)間的均值也計(jì)為：10X20x0.0125+30X20X0.025+50X20X0.0065+70x20x0.003+90x20x0.003=33,6分鐘,故該校新生上學(xué)所需時(shí)間的平均值為40分,故答案40.點(diǎn)睛：本題考查頻率分布直方圖，解題的關(guān)鍵是理解直方圖中各個(gè)小矩形的面積的意義及各個(gè)小矩形的面積和為1,本題考查了識(shí)圖的能力；根據(jù)直方圖求平均值的公式，各個(gè)小矩形的面積乘以相應(yīng)組距的中點(diǎn)的值，將它們相加即可得到平均值8 .一個(gè)口袋內(nèi)有4個(gè)不同的紅球，6個(gè)不同的白球，若取一個(gè)紅球記2分，取一個(gè)白球記1分，

6、從中任取5個(gè)球，使總分不少于7分的取法有多少種.【答案】186【解析】試題分析：設(shè)取紅球X個(gè),白球v個(gè)，則/ x + y = 5(0 < x < 4)(2x + y > 7(0 < y < 6)取法為Cy+C%+CN=186考點(diǎn)：古典概型9 .如圖，三棱錐P-ABC滿足：AB_AC,AB_LAP,AB=2,AP+AC=4,則該三棱錐的體積V的取值范圍是.【答案】(01【解析由于AB±AP,AB±ACrABnAP=A,，AB_L平面APC,V=35AApc-AB=|5附也，在AAPC中，AP+AC=4，要使AAPC面積最大,只需AP=ACZAPC

7、=90°，5Mpe的最大值為乂2x2=2,"的最大值為IX2m2=*該三棱錐的體積V的取值范圍是(0爭(zhēng).10.|p是雙曲線二1的右支上一點(diǎn)，M.N分別是圓(X+5/+J=4和(x-5)2+y2=1上的點(diǎn)，則|PM|-|PN|的最大值等于.【答案】9【解析】試題分析：兩個(gè)圓心正好是雙曲線的焦點(diǎn)，聲"L=|尸局+2,|PN|min=|PF2|-2,再根據(jù)雙曲線的定義得|PM|一|PN|的最大值為|網(wǎng)品師lmln=呼卜1叫1+4=耳考點(diǎn)：雙曲線的定義，距離的最值問(wèn)題.11.棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-AiBCiDi及其內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)P,集合Q=P|PA|三1,則集合Q構(gòu)成的幾

8、何體表面積為.【答案】,【解析】試題分析：5=，1，T+：,4n,1”=Jn.-404考點(diǎn)：幾何體的表面積.12 .在直角坐標(biāo)平面xoy中，已知兩定點(diǎn)FJ-1,。)與t(L0)位于動(dòng)直線hax+by+c=0的同側(cè)，設(shè)集合P=|點(diǎn)F與點(diǎn)F2到直線的距離之差等于|1),Q=(其,¥)酎+y2<Lx、vtR，記S=(x,y)|(x.v)在IJWPlT:(x,v)l(x.v)QnS.則由T中的所有點(diǎn)所組成的圖形的面積是.【答案】【解析】過(guò)F（-L。）與6（1,分別作直線的垂線，垂足分別為|B，C，則由題意值FB-F2c=1,即F1A=1,.三角形AFjB為正三角形，邊長(zhǎng)為1,正三角形的

9、高為，且£七八七二90%.集合p對(duì)應(yīng)的軌跡為線段AF?的上方部分，Q對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)榘霃綖?的單位圓內(nèi)部，根據(jù)T的定義可知，T中的所有點(diǎn)所組成的圖形為圖形陰影部分.陰影部分的面積為2/x1?+，1x字）=1+1故答案為+f.二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題只有一個(gè)正確答案.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號(hào)上，將代表答案的小方格涂黑，選對(duì)得5分，否則一律得零分.13 .已知。為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)工=sin29-l+i1）是純虛數(shù)，則z的虛部為（）A.2B.0C.-2D.-2【答案】C【解析】.復(fù)數(shù)z=sin29-1+iH2co59-1）是純虛數(shù)，那，化為rsin29 = 1I汽6, C

10、OSG h -y解得 = kn + £力 ,e # 2kn ± 4e = 2kn + y k o， J2c。電 1 =-2 , z的虛部為f-2,故選C.14 .已知條件n“直線在兩條坐標(biāo)軸上的截距相等"，條件B：“直線的斜率等于一1”，則口是日的A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充要條件D.既非充分又非必要條【答案】B【解析】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線在兩條坐標(biāo)軸上的截距相等，斜率可以為任意數(shù)，故arB不成立；當(dāng)直線的斜率等于-1，可設(shè)直線方程為V=_x+b，故其在兩坐標(biāo)軸上的截距均為b，故可得Bng成立，則是B的必要非充分條件，故選B.15 .如圖，在空間直角

11、坐標(biāo)系中，已知直三棱柱的頂點(diǎn)A在X軸上，AB平行于V軸，側(cè)棱AA1平行于N軸.當(dāng)頂點(diǎn)C在V軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下關(guān)于此直三棱柱三視圖的表述正確的是（）A.該三棱柱主視圖的投影不發(fā)生變化；B.該三棱柱左視圖的投影不發(fā)生變化；C.該三棱柱俯視圖的投影不發(fā)生變化；D.該三棱柱三個(gè)視圖的投影都不發(fā)生變化.【答案】B【解析】A該三棱柱主視圖的長(zhǎng)度是AB或者AC在V軸上的投影，隨C點(diǎn)得運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化，故錯(cuò)誤；R設(shè)0是z軸上一點(diǎn)，且AAi=001?則該三棱柱左視圖就是矩形AOO1A1,圖形不變.故正確；G該三棱柱俯視圖就是1ABC,隨C點(diǎn)得運(yùn)動(dòng)發(fā)生變化，故錯(cuò)誤.D與B矛盾.故錯(cuò)誤；故選B.點(diǎn)睛：本題考查幾何體

12、的三視圖，借助于空間直角坐標(biāo)系.本題是一個(gè)比較好的題目，考查的知識(shí)點(diǎn)比較全，但是又是最基礎(chǔ)的知識(shí)點(diǎn)；從正面看到的圖叫做主視圖，從左面看到的圖叫做左視圖，從上面看到的圖叫做俯視圖，根據(jù)圖中C點(diǎn)對(duì)三棱柱的結(jié)構(gòu)影響進(jìn)一步判斷.16 .如圖，兩個(gè)橢圓£+金=1，/=1內(nèi)部重疊區(qū)域的邊界記為曲線C,P是曲125T9x2594線C上任意一點(diǎn)，給出下列三個(gè)判斷：p到Fi（-4,0、F?（4用）、EK0,-4）、四點(diǎn)的距離之和為定值；曲線C關(guān)于直線V=X、V=-X均對(duì)稱；曲線C所圍區(qū)域面積必小于36.上述判斷中正確命題的個(gè)數(shù)為（）個(gè)【答案】C【解析】對(duì)于，若點(diǎn)P在橢圓(十(=1上，P到F1(-4,0

13、)、0(4,0)兩點(diǎn)的距離之和為定值、到E(0,-4)、E?(04)兩點(diǎn)的距離之和不為定值，故錯(cuò)；對(duì)于，兩個(gè)橢圓總十;二1，餐+專二1關(guān)于直線v=乂、v=.*均對(duì)稱，曲線c關(guān)于直線y=xy=.x均對(duì)稱，故正確；對(duì)于，曲線C所圍區(qū)域在邊長(zhǎng)為6的正方形內(nèi)部，所以面積必小于36,故正確；故選C.三、解答題(本大題滿分76分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟.17 .已知復(fù)數(shù)/滿足(Lt%=L+3i,z2=a-i(aER)(其中i是虛數(shù)單位)，若|zL-z|vZzJ,求1a的取值范圍.【答案】曰一4或曰2【解析】試題分析：化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為分式的形式，利用復(fù)數(shù)同乘分母

14、的共軻復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)為a+bi的形式即可得到zj,根據(jù)模長(zhǎng)之間的關(guān)系，得到關(guān)于a的不等式，解出3的范圍.試題解析：2=-1+2ii,=a+I,(_1_iz.5即a+9，解得日-4或己218 .如圖，直四棱柱ABCD-AiBiGD：底面ABCD直角梯形，AB”CD,士BAD=90°,P是棱CD上一點(diǎn)，AB=2|,AD=2,AAX=3,CP=3,PD=1.(1)求異面直線AF與所成的角；(2)求證：pB_L平面BCCiB.【答案】（1）arccOsv見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）本題中由于有DA,DC,DD1兩兩垂直，因此在求異面直線所成角時(shí)，可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角求出所

15、求角；（2）同（1）我們可以用向量法證明線線垂直，以證明線面垂直，而二畫(huà)=9,03），BC="應(yīng)20，易得詔'函=OrPBBC=o,當(dāng)然我們也可直線用幾何法證明線面垂直，首先PB±BB1,這由已知可直接得到，而證明PB±BC可在直角梯形ABCD通過(guò)計(jì)算利用勾股定理證明，PC=HPB=V3rBC=.”2尸十（必*二K，PC之二PB2+BC?，因此PB_LBC,得證.（1）以口原點(diǎn)，DA、DC、DD1分別為x軸、v軸、潮!建立空間直角坐標(biāo)系.貝依式心63）,P（0.L0）B詆2.0）|,J©4,3）.3分于是西=（桓-1,3）,BC；=（-,2,3）

16、,coSe=，異面直線AP與BJ所成的角的大小等于arccos.6分(2)過(guò)B作BM_LCD交CD于M,在RSBMC中，BM=MC=2,則BC=VG,二PJ=H+37=3"BQ=通+32=dPBnC=6PC：=PB'+B匚;，PB10BC11。分1-BXB±WBCD,BB_LPE.又及HcBC=B,|:pB平面.12分考點(diǎn)：（1）異面直線所成的角；（2）線面垂直.19.如圖，圓錐的頂點(diǎn)為p,底面圓心為d線段AB和線段CD都是底面圓的直徑，且直線AB與直線CD的夾角為；，已知|0A|=1,|PA|=2（1）求該圓錐的體積；（2）求證：直線AC平行于平面PBD,并求直線

17、AC到平面PBD的距離.【答案】（1）V=¥n（2）課【解析】試題分析：（1）利用圓錐的體積公式求該圓錐的體積；（2）由對(duì)稱性得AC/BD,即可證明直線AC平行于平面PBD,C到平面PBD的距離即直線AC到平面PBD的距離，由Vc-pbo=Vp_Ecd，求出直線AC到平面PRD的距離.試題解析：（1）設(shè)圓錐的高為h,底面半徑為，則r=1,h=«3，圓錐的體積v=：Sh=當(dāng)；（2）證明：由對(duì)稱性得AC/ED,.AC不在平面PBD,BDc平面PBD,.AC/WPBD,.-C到平面PBD的距離即直線AC到平面PB口的距離，設(shè)C到平面PRD的距離為d,則由Vjpb口=Vp.Es，得

18、Mmb口-d=爭(zhēng)的8，h,可得¥,/d=：1-1,d=,直線AC到平面PBD的距離為畢.20.閱讀:已知a,b三。十8卜8+13=1,求y=；+春的最小值.日口解法如下:y=；+；=C+3s+b）=:+T+313+22,當(dāng)且僅當(dāng)日=也即曰=&fb=2-C時(shí)取到等號(hào)，ao則y=1+j的最小值為3+2*2應(yīng)用上述解法，求解下列問(wèn)題：（1）已知a.b.cW（0,+b）,a+b+c=1,求y=：+：十；的最小值；3MC（2）已知xe（0），求函數(shù)v=1+W的最小值；（3）已知正數(shù)3，自？涕于,，電+叼+總口1,2222-+-,.a+曰：+&】fl+石&a“+gi2【答

19、案】（1）9（2）18（3）見(jiàn)解析【解析】試題分析：本題關(guān)鍵是閱讀給定的材料，弄懂弄清給定材料提供的方法（“1”的代換），并加以運(yùn)用.主要就是,=：+：=<：+；）x1=（：+）（己+b）,展開(kāi)后就可應(yīng)用基本不等式求得最值.（1）y=；+：=（；+：+；）X1=（；+：+1）（a+b+c）；（2）雖然沒(méi)有已知的“1”，但觀察求值式子的分母，可以湊配出“1"：2x+（l-2x）=1,因此有y=+號(hào)=導(dǎo)+患r）2x十（l-2x）,展開(kāi)后即可應(yīng)用基本不等式；（3）觀察求兒1£X工JC*2X證式的分母，結(jié)合已知有（a十%）十（Sj+百+（an+叼）=2（白十鼻之+即）=2,因

20、此有25=Ja+a+.）（3i+&a）+（a2+a3）+-+（an+%）Tao.tajarta.*-J99*胃丁.22221%不=缶！+%+，,+an）+'（a2+%）+r+T/（ai+立）+,ht+»；+«；'<ai+立:A+a+a-an+al）lC3jTu.v1此式中關(guān)鍵是湊配出基本不等式所需要的兩項(xiàng)，如一,3、十日）與3十8、）電、口？丁七十%'1合并相加利用基本不等式有始.g，+aj+|.（曰+呢）>2al與，從而最終得出2s>同+a2+an）2=1.(1)111rl11,.baaebV=£+6+£

21、;=g+6+c)(a+b+c)=3十仁+日+占十£+6十工而bacmcb叩；+三十二十二十人十二三6，at>acpc當(dāng)且僅當(dāng)a=b=匚=:時(shí)取到等號(hào)，則Ivm9,即y=H:的最小值為9.5分y=+山=囁+轟).3+1-2X)=1。+2,啜+8恐7分而|xe(O，)，2，詈+8,昌天2dls=8,當(dāng)且僅當(dāng)2與盧=8'，即x=<E(O=)時(shí)取到等號(hào)，則y>_8,ZXLNX6所以函數(shù)y=%吾乂的最小值為18.10分2j2日1a小己|.(3)2s=(-4-；+)(%+82)+(a2+a3)+(an+%>司十a(chǎn),a十。三十dj人工*nq222第=(al+a2+a

22、n)+【I7+G.g？+%)+£+%)+丁+急+(a】十立：+丁十孫)】三(aj+自；+m：)+(2日通a+2己之為+十23n3j)=(8_+白z+"尸二】當(dāng)且僅當(dāng)3-1=己9=r*=3n=工時(shí)取到等號(hào)，則5a今16分1znn2考點(diǎn)：閱讀材料問(wèn)題，“1”的代換，基本不等式.21.設(shè)橢圓E的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為ar短半軸長(zhǎng)為bj,橢圓J的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為叼、短半軸長(zhǎng)為bz,若微=段則我們稱橢圓鬲與橢圓Ea是相似橢圓.已知橢圓E:/十/=1，其左頂點(diǎn)為A、右頂點(diǎn)為B.(1)設(shè)橢圓E與橢圓r+=1是“相似橢圓”，求常數(shù)£的值；s2(2)設(shè)橢圓G;1十二MQvAu1),過(guò)A作斜率為、的直線k與橢圓G僅有一個(gè)公共點(diǎn)，過(guò)橢圓E的上頂點(diǎn)為D作斜率為k?的直線與與橢圓G僅有一個(gè)公共點(diǎn)，當(dāng)A為何值時(shí)同+|壇1取得最小