多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分

1、62 多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分621 偏導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算 1偏導(dǎo)數(shù)定義對于二元函數(shù)，如果只有自變量x 變化, 而自變量y固定, 這時它就是x的一元函數(shù), 這函數(shù)對x的導(dǎo)數(shù), 就稱為二元函數(shù)對于x的偏導(dǎo)數(shù)。定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)(x0, y0)的某一鄰域內(nèi)有定義, 當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量Dx時, 相應(yīng)地函數(shù)有增量如果極限 存在, 則稱此極限為函數(shù)在點(diǎn)(x0, y0)處對x的偏導(dǎo)數(shù), 記作：，或。即：. 類似地，函數(shù)在點(diǎn)(x0, y0)處對y 的偏導(dǎo)數(shù)定義為：, 記作：，或。 偏導(dǎo)函數(shù)：如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)處對x的偏導(dǎo)數(shù)都存在, 那么這個偏導(dǎo)數(shù)就是x、y的函數(shù), 它就稱為函數(shù)對自變量的偏導(dǎo)

2、函數(shù), 記作， ， ， 或。偏導(dǎo)函數(shù)的定義式：. 類似地, 可定義函數(shù)對y的偏導(dǎo)函數(shù), 記為 , , ，或。 1 / 17偏導(dǎo)函數(shù)的定義式：.2偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算 求時, 只要把y暫時看作常量而對x求導(dǎo)數(shù)；求時, 只要把x暫時看作常量而對y求導(dǎo)數(shù)。 討論：下列求偏導(dǎo)數(shù)的方法是否正確？ ， ，。 偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù). 例如三元函數(shù)u=f(x, y, z)在點(diǎn)(x, y, z)處對x的偏導(dǎo)數(shù)定義為 , 其中(x, y, z)是函數(shù)u=f(x, y, z)的定義域的內(nèi)點(diǎn). 它們的求法也仍舊是一元函數(shù)的微分法問題. 例1 求z=x2+3xy+y2在點(diǎn)(1, 2)處的偏導(dǎo)數(shù). 解 , .,

3、. 例2 求z=x2sin 2y的偏導(dǎo)數(shù)。 解 ；。 例3 設(shè), 求證: . 證 , . 例4 求的偏導(dǎo)數(shù)。 解 ；。 例5 已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù)), 求證: . 證 因?yàn)? ; , ; , ; 所以. 例5 說明的問題: 偏導(dǎo)數(shù)的記號是一個整體記號, 不能看作分子分母之商。3偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義一元函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)從幾何上看表示曲線在該點(diǎn)處的切線斜率，那么二元函數(shù)的偏導(dǎo)在幾何上表示什么呢？我們知道，二元函數(shù)在空間中表示一曲面，在處對求偏導(dǎo)時把看成常量，這時是關(guān)于的一元函數(shù)，所以表示曲面與平面的交線在處沿軸正向的切線斜率(如圖)同理，表示曲面在該點(diǎn)處沿軸正向的切線斜率4偏

4、導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性對于多元函數(shù)來說, 即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在, 也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù). 例如 在點(diǎn)(0, 0)有, fx(0, 0)=0, fy(0, 0)=0, 但函數(shù)在點(diǎn)(0, 0)并不連續(xù).提示： , ; , . 當(dāng)點(diǎn)P(x, y)沿x軸趨于點(diǎn)(0, 0)時, 有 ; 當(dāng)點(diǎn)P(x, y)沿直線y=kx趨于點(diǎn)(0, 0)時, 有 . 因此, 不存在, 故函數(shù)f(x, y)在(0, 0)處不連續(xù). 622 全微分 1全微分的定義根據(jù)一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系, 有 偏增量與偏微分：，為函數(shù)對x的偏增量, f x(x, y)Dx為函數(shù)對x的偏微分; ，為函數(shù))對y的偏增量，為函數(shù)對y的偏

5、微分。全增量：計(jì)算全增量比較復(fù)雜, 我們希望用Dx、Dy的線性函數(shù)來近似代替之. 定義 如果函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)的全增量 可表示為 , 其中A、B不依賴于Dx、Dy 而僅與x、y 有關(guān), 則稱函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微分, 而稱ADx+BDy為函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)的全微分, 記作dz, 即 如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)處都可微分, 那么稱這函數(shù)在D內(nèi)可微分. 2可微與連續(xù)可微必連續(xù), 但偏導(dǎo)數(shù)存在不一定連續(xù). 這是因?yàn)? 如果z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微, 則 Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y)=ADx+BDy+o(r),

6、于是 , 從而 . 因此函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)處連續(xù). 3可微條件 定理1(必要條件) 如果函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)可微分, 則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)、必定存在, 且函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)的全微分為：。 證 設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)P(x, y)可微分. 于是, 對于點(diǎn)P的某個鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)P ¢(x+Dx, y+Dy), 有Dz=ADx+BDy+o(r). 特別當(dāng)Dy=0時有 f (x+Dx, y)-f(x, y)=ADx+o(|Dx|) 上式兩邊各除以Dx，再令Dx®0而取極限，就得 , 從而偏導(dǎo)數(shù)存在, 且. 同理可證偏

7、導(dǎo)數(shù)存在, 且. 所以：. 偏導(dǎo)數(shù)、存在是可微分的必要條件, 但不是充分條件. 例如，函數(shù)在點(diǎn)(0, 0)處雖然有f x(0, 0)=0及f y(0, 0)=0, 但函數(shù)在(0, 0)不可微分, 即Dz-fx(0, 0)Dx+fy(0, 0)Dy不是較r高階的無窮小. 這是因?yàn)楫?dāng)(Dx, Dy)沿直線y=x趨于(0, 0)時, . 定理2(充分條件) 如果函數(shù)z=f(x, y)的偏導(dǎo)數(shù)、在點(diǎn)(x, y)連續(xù), 則函數(shù)在該點(diǎn)可微分. 定理1和定理2的結(jié)論可推廣到三元及三元以上函數(shù). 按著習(xí)慣, Dx、Dy分別記作dx、dy, 并分別稱為自變量的微分, 則函數(shù)z=f(x, y)的全微分可寫作 .

8、二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理. 疊加原理也適用于二元以上的函數(shù), 例如函數(shù)u=f (x, y, z) 的全微分為 . 例1 計(jì)算函數(shù)z=x2y +y2的全微分. 解 因?yàn)? , 所以dz=2xydx+(x2+2y)dy . 例2 計(jì)算函數(shù)z=exy在點(diǎn)(2, 1)處的全微分. 解 因?yàn)? , , , 所以 dz=e2dx+2e2dy . 例3 計(jì)算函數(shù)的全微分. 解 因?yàn)? , , 所以 . *二、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用 當(dāng)二元函數(shù)z=f (x, y)在點(diǎn)P (x, y)的兩個偏導(dǎo)數(shù)f x (x, y) , f y (x, y)連續(xù), 并且|Dx

9、|, |Dy|都較小時, 有近似等式Dz »dz= f x (x, y)Dx+f y (x, y)Dy , 即 f (x+Dx, y+Dy) » f(x, y)+f x (x, y)Dx+f y (x, y)Dy . 我們可以利用上述近似等式對二元函數(shù)作近似計(jì)算. 例4 有一圓柱體, 受壓后發(fā)生形變, 它的半徑由20cm增大到20. 05cm, 高度由100cu減少到99cm. 求此圓柱體體積變化的近似值. 解 設(shè)圓柱體的半徑、高和體積依次為r、h和V, 則有 V=p r 2h . 已知r=20, h=100, Dr=0. 05, Dh=-1. 根據(jù)近似公式, 有 DV&#

10、187;dV=VrDr+VhDh=2prhDr+pr2Dh =2p´20´100´0. 05+p´202´(-1)=-200p (cm3). 即此圓柱體在受壓后體積約減少了200p cm3. 例5 計(jì)算(1. 04)2. 02的近似值. 解 設(shè)函數(shù)f (x, y)=x y . 顯然, 要計(jì)算的值就是函數(shù)在x=1.04, y=2.02時的函數(shù)值f(1.04, 2.02). 取x=1, y=2, Dx=0.04, Dy=0.02. 由于f (x+Dx, y+Dy)» f(x, y)+f x(x, y)Dx+f y(x, y)Dy =x y

11、+yxy-1Dx+x yln x Dy , 所以(1.04)2. 02»12+2´12-1´0.04+12´ln1´0.02=1.08. 例6 利用單擺擺動測定重力加速度g的公式是 .現(xiàn)測得單擺擺長l與振動周期T分別為l=100±0.1cm、T=2±0.004s. 問由于測定l與T的誤差而引起g的絕對誤差和相對誤差各為多少？ 解 如果把測量l與T所產(chǎn)生的誤差當(dāng)作|l|與|T|, 則利用上述計(jì)算公式所產(chǎn)生的誤差就是二元函數(shù)的全增量的絕對值|g|. 由于|l|, |T|都很小, 因此我們可以用dg來近似地代替g. 這樣就得到g的

12、誤差為 ,其中dl與dT為l與T的絕對誤差. 把l=100, T=2, dl=0.1, T=0.004代入上式, 得g的絕對誤差約為 . . 從上面的例子可以看到, 對于一般的二元函數(shù)z=f(x, y), 如果自變量x 、y 的絕對誤差分別為dx、dy, 即 |x |£dx, |y |£dy, 則z的誤差 ;從而得到z的絕對誤差約為 ;z的相對誤差約為 .623 方向?qū)?shù) 1方向?qū)?shù)的定義現(xiàn)在我們來討論函數(shù)z=f(x, y)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問題. 設(shè)l是xOy平面上以P0(x0, y0)為始點(diǎn)的一條射線, el=(cos a, cos b)是與l同方向的單位向量.

13、 射線l的參數(shù)方程為 x=x0+t cos a, y=y0+t cos b (t³0). 設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)P0(x0, y0)的某一鄰域U(P0)內(nèi)有定義, P(x0+t cos a, y0+t cos b)為l上另一點(diǎn), 且PÎU(P0). 如果函數(shù)增量f(x0+t cos a, y0+t cos b)-f(x0, y0)與P到P0的距離|PP0|=t的比值 當(dāng)P沿著l趨于P0(即t®t0+)時的極限存在, 則稱此極限為函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)P0沿方向l的方向?qū)?shù), 記作, 即. 從方向?qū)?shù)的定義可知, 方向?qū)?shù)就是函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)P0(x0,

14、 y0)處沿方向l的變化率. 2方向?qū)?shù)的計(jì)算 定理 如果函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)P0(x0, y0)可微分, 那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向l 的方向?qū)?shù)都存在, 且有 , 其中cos a, cos b是方向l 的方向余弦. 簡要證明: 設(shè)Dx=t cos a, Dy=t cos b, 則 f(x0+tcosa, y0+tcosb)-f(x0, y0)=f x(x0, y0)tcosa+f y(x0, y0)tcosb+o(t). 所以 . 這就證明了方向?qū)?shù)的存在, 且其值為 .提示: . Dx=t cos a, Dy=t cos b, . 討論: 函數(shù)z=f (x, y)在點(diǎn)P 沿x軸正向和

15、負(fù)向, 沿y軸正向和負(fù)向的方向?qū)?shù)如何? 提示： 沿x軸正向時, cosa=1, cosb=0, ; 沿x軸負(fù)向時, cosa=-1, cosb=0, . 例1 求函數(shù)z=xe2y在點(diǎn)P(1, 0)沿從點(diǎn)P(1, 0)到點(diǎn)Q(2, -1)的方向的方向?qū)?shù). 解 這里方向l即向量的方向, 與l同向的單位向量為. 因?yàn)楹瘮?shù)可微分, 且, ,所以所求方向?qū)?shù)為 . 對于三元函數(shù)f(x, y, z)來說, 它在空間一點(diǎn)P0(x0, y0, z0)沿el=(cos a , cos b , cos g)的方向?qū)?shù)為 . 如果函數(shù)f(x, y, z)在點(diǎn)(x0, y0, z0)可微分, 則函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向

16、el=(cos a , cos b , cos g)的方向?qū)?shù)為 例2求f(x, y, z)=xy+yz+zx在點(diǎn)(1, 1, 2)沿方向l的方向?qū)?shù), 其中l(wèi)的方向角分別為60°, 45°, 60°. 解 與l同向的單位向量為 el=(cos60°, cos 45°, cos60°). 因?yàn)楹瘮?shù)可微分, 且 fx(1, 1, 2)=(y+z)|(1, 1, 2)=3, fy(1, 1, 2)=(x+z)|(1, 1, 2)=3, fz(1, 1, 2)=(y+x)|(1, 1, 2)=2,所以 . 3梯度 設(shè)函數(shù)z=f(x, y)在

17、平面區(qū)域D內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則對于每一點(diǎn)P0(x0, y0)ÎD, 都可確定一個向量fx(x0, y0)i+fy(x0, y0)j, 這向量稱為函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)P0(x0, y0)的梯度, 記作grad f(x0, y0), 即 grad f(x0, y0)= fx(x0, y0)i+fy(x0, y0)j. 梯度與方向?qū)?shù): 如果函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)P0(x0, y0)可微分, el=(cos a , cos b )是與方向l同方向的單位向量, 則 , = grad f(x0, y0)×el =| grad f(x0, y0)|×cos(grad

18、f(x0, y0), el). 這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)間的關(guān)系. 特別, 當(dāng)向量el與grad f(x0, y0)的夾角q=0, 即沿梯度方向時, 方向?qū)?shù)取得最大值, 這個最大值就是梯度的模|grad f(x0, y0)|. 這就是說: 函數(shù)在一點(diǎn)的梯度是個向量, 它的方向是函數(shù)在這點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向, 它的模就等于方向?qū)?shù)的最大值. 討論: 的最大值; 結(jié)論: 函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個向量, 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致, 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值. 4等值線我們知道, 一般說來二元函數(shù)z=f(x, y)在幾何上表示一個曲面, 這曲面被

19、平面z=c(c是常數(shù))所截得的曲線L的方程為 . 這條曲線L在xOy面上的投影是一條平面曲線L*, 它在xOy平面上的方程為 f(x, y)=c. 對于曲線L*上的一切點(diǎn), 已給函數(shù)的函數(shù)值都是c, 所以我們稱平面曲線L*為函數(shù)z=f (x, y)的等值線. 若f x, f y不同時為零, 則等值線f(x, y)=c上任一點(diǎn)P0(x0, y0)處的一個單位法向量為 . 這表明梯度grad f(x0, y0)的方向與等值線上這點(diǎn)的一個法線方向相同, 而沿這個方向的方向?qū)?shù)就等于|grad f(x0, y0)|, 于是 . 這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與過這點(diǎn)的等值線、方向?qū)?shù)間的關(guān)系. 這就

20、是說: 函數(shù)在一點(diǎn)的梯度方向與等值線在這點(diǎn)的一個法線方向相同, 它的指向?yàn)閺臄?shù)值較低的等值線指向數(shù)值較高的等值線, 梯度的模就等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù). 梯度概念可以推廣到三元函數(shù)的情形. 設(shè)函數(shù)f(x, y, z)在空間區(qū)域G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則對于每一點(diǎn)P0(x0, y0, z0)ÎG, 都可定出一個向量 fx(x0, y0, z0)i+fy(x0, y0, z0)j+fz(x0, y0, z0)k, 這向量稱為函數(shù)f(x, y, z)在點(diǎn)P0(x0, y0, z0)的梯度, 記為grad f(x0, y0, z0), 即 grad f(x0, y0, z0)=fx

21、(x0, y0, z0)i+fy(x0, y0, z0)j+fz(x0, y0, z0)k. 結(jié)論: 三元函數(shù)的梯度也是這樣一個向量, 它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致, 而它的模為方向?qū)?shù)的最大值. 如果引進(jìn)曲面 f(x, y, z)=c為函數(shù)的等量面的概念, 則可得函數(shù)f(x, y, z)在點(diǎn)P0(x0, y0, z0)的梯度的方向與過點(diǎn)P0的等量面 f(x, y, z)=c在這點(diǎn)的法線的一個方向相同, 且從數(shù)值較低的等量面指向數(shù)值較高的等量面, 而梯度的模等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù). 例3 求. 解 這里. 因?yàn)?, , 所以 . 例4 設(shè)f(x, y, z)=x2+y2+z2

22、, 求grad f(1, -1, 2). 解 grad f=(fx, fy, fz)=(2x, 2y, 2z), 于是 grad f(1, -1, 2)=(2, -2, 4). *5。數(shù)量場與向量場如果對于空間區(qū)域G內(nèi)的任一點(diǎn)M, 都有一個確定的數(shù)量f(M), 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個數(shù)量場(例如溫度場、密度場等). 一個數(shù)量場可用一個數(shù)量函數(shù)f(M)來確定, 如果與點(diǎn)M相對應(yīng)的是一個向量F(M), 則稱在這空間區(qū)域G內(nèi)確定了一個向量場(例如力場、速度場等). 一個向量場可用一個向量函數(shù)(M)來確定, 而 F (M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k, 其中P(M), Q(M), R(M)是點(diǎn)M的數(shù)量函數(shù). 利用場的概念, 我們可以說向量函數(shù)grad f(M)確定了一個向量場梯度場, 它是由數(shù)量場f(M)產(chǎn)生的. 通常稱函數(shù)f(M)為這個向量場的勢, 而這個向量場又稱為勢場. 必須注意, 任意一個向量場不一定是勢場, 因?yàn)樗灰欢ㄊ悄硞€數(shù)量函數(shù)的梯度場. 例5 試求數(shù)