項目n維向量與向量組線性相關(guān)性

1、項目項目n維向量與向量組線性維向量與向量組線性相關(guān)性相關(guān)性2向量通常寫成一行：向量通常寫成一行：有時也寫成一列：有時也寫成一列：12naaa 稱為行向量。稱為行向量。稱為列向量。稱為列向量。 它們的區(qū)別它們的區(qū)別只是寫法上只是寫法上的不同。的不同。分量全為零的向量分量全為零的向量 稱為零向量。稱為零向量。 0,0,0 如果如果 n 維向量維向量 12,na aa 12,nb bb 的對應(yīng)分量都相等，即的對應(yīng)分量都相等，即 1,2,iiabin 就稱這兩個，記為就稱這兩個，記為 12,na aa 稱為向量稱為向量 的負(fù)向量的負(fù)向量 ),(21naaa3定義定義6.3 向量向量 1122,nnab

2、 abab 稱為向量稱為向量 12,na aa 12,nb bb 的和，記為的和，記為 由向量的加法和負(fù)向量定義由向量的加法和負(fù)向量定義,定義向量的減法：定義向量的減法：() 定義定義6.4 設(shè)設(shè)k為數(shù)域?yàn)閿?shù)域R中的數(shù)，向量中的數(shù)，向量 12,nka kaka稱為向量稱為向量 12,na aa 與數(shù)與數(shù)k的數(shù)量乘積。記為的數(shù)量乘積。記為k 任務(wù)任務(wù)20-2（）（） n維向量的線性運(yùn)算維向量的線性運(yùn)算各分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量各分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量.本書只討論實(shí)向量本書只討論實(shí)向量.4 0)4(0)3()()(2()1( kkklklkkllk )8()7()()()6(1)5( 注

3、：注：（1）對任意的向量）對任意的向量, 存在唯一的零向量存在唯一的零向量, o使得使得o（2）對任意的向量）對任意的向量, 存在唯一的負(fù)向量存在唯一的負(fù)向量, 使得使得()o （4）如果）如果0, 則則00 或或 00; ( 1); 00. （3）向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算,它它滿足下面的運(yùn)算律滿足下面的運(yùn)算律:(5)全體全體n維實(shí)向量構(gòu)成的集合叫做維實(shí)向量構(gòu)成的集合叫做n維向量空間。記維向量空間。記 .nR51. 線性組合與線性表示線性組合與線性表示任務(wù)任務(wù)20-3(6.3.3) 線性相關(guān)性線性相關(guān)性 給定向量組給定向量組12:,mA

4、對于任何一組實(shí)數(shù)對于任何一組實(shí)數(shù)12,mk kk向量向量1122mmkkk 稱為向量組稱為向量組A的一個的一個線性組合，線性組合，12,mk kk稱為這個線性組合的系數(shù)。稱為這個線性組合的系數(shù)。定義定義6.5給定向量組給定向量組12:,mA 和向量和向量 如果存在一組實(shí)數(shù)如果存在一組實(shí)數(shù)12,m 使得使得1122mm 則稱向量則稱向量 是向量組是向量組A的線性組合，的線性組合，或稱向量或稱向量 能由向量組能由向量組A線性表示。線性表示。 6案例如：案例如：12342100050100,3001000001 有有210005010025303001000001 1234=2530 即即所以，稱所

5、以，稱 是是 的線性組合，的線性組合，或或 可以由可以由 線性表示。線性表示。 1234, 1234, 7判斷向量判斷向量 可否由向量組可否由向量組 線性表示。線性表示。 12,m 向量向量 可由向量組可由向量組 線性表示的線性表示的 充分必要條件是：充分必要條件是： 12,m 以以12,m 為系數(shù)列向量，以為系數(shù)列向量，以 為常數(shù)項列向量為常數(shù)項列向量的線性方程組有解，且一個解就是線性表示的系數(shù)。的線性方程組有解，且一個解就是線性表示的系數(shù)。線性方程組的矩陣表示和向量表示：線性方程組的矩陣表示和向量表示： mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121

6、112121118令令111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa 1122nmxbxbxbxb方程組可表示為方程組可表示為Axb 12,nA 若若則方程組的向量表示為則方程組的向量表示為1122nnxxxb 9線性相關(guān)與線性相關(guān)與 線性無關(guān)線性無關(guān).,A0,:6 . 62122112121線性無關(guān)稱向量組否則線性相關(guān)稱向量組使得如果存在不全為零實(shí)數(shù)給定向量組定義mmmmm，。kkkkkkA案例案例1：用定義判斷線性相關(guān)性。：用定義判斷線性相關(guān)性。(1) 向量向量, ,o 線性線性_關(guān)。關(guān)。(2) 向量向量, , 線性線性_關(guān)。關(guān)。相相相相10判斷線性相關(guān)性的定理判斷線性相關(guān)性的定

7、理n維向量組維向量組 線性相關(guān)線性相關(guān)m ,21.0有有非非零零解解 Ax mA ,21 其中其中反之反之,n維向量組維向量組 線性無關(guān)線性無關(guān)m ,21.0只只有有零零解解 Ax 12,mA 其其中中11案例案例 TTT7 , 4 , 2,5 , 2 , 0,1 , 1 , 1:321 已知已知試討論向量組試討論向量組 及向量組及向量組 的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性.321, 21, 解：設(shè)數(shù)解：設(shè)數(shù)123,k k k使得使得1122330kkk成立。成立。即即123102012401570kkk 未知量為未知量為123,k k k系數(shù)行列式系數(shù)行列式1021240157 齊次線性方程組有齊次線

8、性方程組有非零解，所以向量非零解，所以向量123, 線性相關(guān)。線性相關(guān)。向量向量12, 對應(yīng)分量不成比案例，所以線性無關(guān)。對應(yīng)分量不成比案例，所以線性無關(guān)。12案例案例 n維向量維向量 TnTTeee1 , 0 , 0,0 , 1 , 0,0 , 0 , 121 討論它們的線性相關(guān)性討論它們的線性相關(guān)性.neeeE,21結(jié)論結(jié)論: 線性無關(guān)線性無關(guān)解解:上述向量組又稱上述向量組又稱基本向量組或單位坐標(biāo)向量組基本向量組或單位坐標(biāo)向量組.問題問題: n=3時時,321,eee分別是什么？分別是什么？13一些結(jié)論一些結(jié)論(1) 單個零向量線性相關(guān)單個零向量線性相關(guān),單個非零向量線性無關(guān)；單個非零向量線性無關(guān)；(2) 包含零向量的任何向量組線性相關(guān)；包含零向量的任何向量組線性相關(guān)；(4) 有兩個向量相等的向量組線性相關(guān)；有兩個向量相等的向量組線性相關(guān)；(3) 基本向量組基本向量組 線性無關(guān)線性無關(guān);neee,2114 (5) mn時，時， m 個