專題十三 共軛算子與自共軛算子

1、mTnjjmjnjjjnjjjRxaxaxaAx11211,專題十三專題十三 共軛算子與自共軛算子共軛算子與自共軛算子引例引例1 實實Rn空間中的共軛算子空間中的共軛算子分析分析: (1): (1)作映射作映射A: RnRm，則，則A是有界線性算子，是有界線性算子， 且且A的表現(xiàn)形式為一個的表現(xiàn)形式為一個m n矩陣：矩陣： mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211 x=(x1,xn)T Rn, (2)(2)定義在定義在Rm上的有界線性泛函極為上的有界線性泛函極為y*,Rm的共軛空間記的共軛空間記(Rm)*, 即即 (Rm)*=y*|y*為為Rm上的有界線性泛函上的有界線性泛函

2、(Rm)*=Rm ( (R Rmm是實的是實的HilbertHilbert空間，因而是自共軛的）空間，因而是自共軛的） y* (Rm)*, y=(y1,ym) Rm, 使使 mmiiiRuyuyuuy,)(*1(Riesz表現(xiàn)定理表現(xiàn)定理) y*=y (在等距共軛線性同構意義下在等距共軛線性同構意義下), 且且njnjmiiijmiinjjijRxxxxyAxyAyAxxyayxayAxAxy ),(*)*)(*()(*(*,)(*1111其中其中TmiiijAAyayA*,*1(3)(3)不難證明，不難證明，x*=A*y*是是Rn上的上的有界線性泛函，從而算子有界線性泛函，從而算子 A*:

3、(Rm)*(Rn)*， A*y*=x*是一個有界線性算子是一個有界線性算子. 稱稱A*為為A 的共軛算子。的共軛算子。(4)(4)結論：在結論：在歐式空間中，歐式空間中， 算子算子A: RnRm, Ax=y表現(xiàn)為一個表現(xiàn)為一個m n矩陣矩陣A=(aij)m n， A的共軛算子的共軛算子A*: (Rm)*(Rn)*, A*y*=x*則表現(xiàn)為矩陣則表現(xiàn)為矩陣 A=(aij)m n的轉置矩陣的轉置矩陣AT=(aji)n m求實求實Rn空間中的共軛算子的過程圖示空間中的共軛算子的過程圖示yAyAxyRRxxxyAxyAyAxyAxAxyAxyyAxxRRRmnjimnjinmijnmijAnAmyaA

4、ymaAn*)(*)()(*)*)(*()(*(*,)()(*)a*)a*)(*)( （算子（算子泛函算子泛函算子 將實將實Rn空間中的共軛算子進行推廣，將得到空間中的共軛算子進行推廣，將得到Banah空間的共軛空間的共軛算子的概念和算子的概念和Hilbert空間的自共軛算子概念空間的自共軛算子概念1 巴拿赫空間中的共軛算子的概念巴拿赫空間中的共軛算子的概念定義定義1 (共軛算子共軛算子) 設設X、Y是線性賦范空間，是線性賦范空間，T: XY是有界線性是有界線性 算子，即算子，即T B(X,Y)，X*、Y*是分別是是分別是X、Y的共軛空間，的共軛空間， 則對則對 y* Y*, x* X*唯一唯

5、一, 使得使得 x*(x)=y*(Tx), |x*| |T| |y*| ( x X) 從而定義了一個從從而定義了一個從Y*到到X*的有界線性算子的有界線性算子T*: T*: Y*X* , T*y*=x* 則稱則稱T* B(Y*,X*) 為為T B(X,Y)的共軛算子的共軛算子(或伴隨算子或伴隨算子), 并有并有 T*y*(x)=x*(x)=y*(Tx) 定義定義2 (二次共軛算子二次共軛算子) T B(X,Y)，T* B(Y*,X*), 有有 T* B(X*,Y*), 使使T*x*(y*)=x*(T*y*) ( y* Y) 則稱則稱T* 為為T*的共軛算子，或稱為的共軛算子，或稱為T的二次共軛

6、算子。的二次共軛算子。3) T*與與T的關系：的關系： 在討論在討論X和和X*的關系是得到如下關系：的關系是得到如下關系： x X, x* X*x*(x*)=x*(x), |x*|X*=|x|X, X X* T B(X,Y)，T* B(Y*,X*), 有有T* B(X*,Y*): T*x*(y*)=x*(T*y*)=T*y*(x)=y*(Tx)=(Tx)*(y*) ( x X, y* Y*,有有T*y* X*,Tx Y) (Tx)*=T*x* 4) 若把若把X嵌入到嵌入到X*，把，把Y嵌入到嵌入到Y*, 即即X X*, Y Y*,則則可視可視x*=x, Tx=(Tx)*= T*x*=T*x T

7、*x=Tx, x X. *)()(xyTyXYxxTxyTxxRYXTTyTyT 算子算子泛函算子泛函算子注注: 1) T與與T*之間具有一定的對稱關系之間具有一定的對稱關系 2) 線性賦范空間中的共軛算子的圖示：線性賦范空間中的共軛算子的圖示：|x*| |T| |y*|T*y*(x)=x*(x)=y*(Tx) 2 巴拿赫空間中的共軛算子的性質巴拿赫空間中的共軛算子的性質定理定理1 設設X、Y是線性賦范空間，是線性賦范空間，T: XY是有界線性算子，是有界線性算子，X*、 Y*分別是分別是X、Y的共軛空間，的共軛空間，T*: Y*X* 為為T的共軛算子，的共軛算子， 則則T* 一定是有界線性算

8、子，且一定是有界線性算子，且|T*|=|T| 證證 1) 證明證明T*: Y*X*是線性算子。是線性算子。 T*(y*+v*)(x)=(y*+v*)(Tx)=y*(Tx)+v*(Tx)=T*y*(x)+T*v*(x) T*( y*)(x)= y*(Tx)= T*y*2) 證明證明T*: Y*X*是有界算子。是有界算子。 |T*y*|=|x*| |T| |y*|T*是有界算子，且是有界算子，且|T*| |T|3) 證明證明|T*|=|T|。一方面，一方面，|T*| |T| 另一方面，有另一方面，有Hana-Banach定理，若定理，若T, 則存在則存在y* Y*,使得使得 |y*|=1, |y*

9、(Tx)|=|Tx| |Tx|=|y*(Tx)|=|(T*y*)(x)| |T*y*| |x| |T*| |y*| |x|=|T*| |x|T| |T*|。若若T= |T*|=0=|T| 因此因此 |T*|=|T|定理定理2 設設X、Y、Z都是線性賦范空間，若都是線性賦范空間，若T,T1 B(X,Y), T2 B(Y,Z), 則則1) ( T)*= T8； 2) (T2T1)*=T1*T2*; 3) (T1+T2)*=T1*+T2*; 4) 若若I:XX是恒等算子是恒等算子, 則則I*:X*X*也是恒等算子。也是恒等算子。 證證 1） y* Y*, x X ( T)*y*(x)=y*( Tx)

10、= y*(Tx)= T*y*(x)( T)*= T*；2) z* Z*, x X (T2T1)*z*(x)=z*(T2T1x)=z*T2(T1x)=T2*z*(T1x)=(T1*T2*)z*(x) (T2T1)*=T1*T2*3) (T1+T2)*y*(x)=y*(T1+T2)(x)=y*(T1x)+y*(T2x) =T1*y*(x)+T2*y*(x)=(T1*+T2*)(x) (T1+T2)*=T1*+T2*4) I*x*(x)=x*(Ix)=x*(x) I*x*=x* 定理定理3 T*是是T的延拓，且的延拓，且|T*|=|T|證證 1）X X*, y* Y*, x X, 有有T*x=TxT

11、*是是T的延拓的延拓; 由定理由定理1，|T|=|T*|=|T*|( T)*= T*；3 希爾伯特空間中的自共軛算子的概念希爾伯特空間中的自共軛算子的概念定義定義3 (自共軛算子自共軛算子) 設設H是希爾伯特空間是希爾伯特空間, T: HH是有界線性是有界線性 算子算子, 即即T B(H,H), H*是是H 的共軛空間的共軛空間, 則對則對 u H, g H*=H(自共軛性自共軛性)唯一唯一, 使得使得 g(Tx)=f(x) ( x X) 從而對上述泛函從而對上述泛函f H*, u* H唯一唯一, 使得使得 f(x)=, ( x X) 從而對從而對 u H, u* H, 使得使得 = ( x

12、X) 即定義了一個從即定義了一個從H到到H的有界線性算子的有界線性算子T*: T*: HH, T*u=u* 則稱則稱T* B(H,H)=B(H*,H*)為為T B(H,H)的共軛算子的共軛算子, 并有并有 = ( x X) 如果如果T*=T, 則有則有=, 這時稱這時稱T為自共軛算子為自共軛算子 （或自伴算子或（或自伴算子或Hermite算子）。算子）。 注注: 1) 在希爾伯特空間在希爾伯特空間H中，中，T與與T*之間仍具有一定的對稱關系之間仍具有一定的對稱關系 2) 希爾伯特空間中的希爾伯特空間中的(自自)共軛算子的圖示：共軛算子的圖示：= uTuuHHHxuxxfuTxTxguTxxRH

13、HTTgTgT*,*,)(,)(* 算子算子泛函算子泛函算子3) 由于希爾伯特空間的由于希爾伯特空間的自共軛性，有自共軛性，有H*=H, 因此此時的因此此時的T*實際實際上是上述共軛算子的特例。上是上述共軛算子的特例。例例1 設設Cn是復歐式空間，是復歐式空間，A=(aij)n n, aji= aij, I,j=1,2,n. 令令),.,()(,.,(11121niiinniiinnijnxaxaaxxxAx則則A是復希爾伯特空間是復希爾伯特空間CnCn的自共軛算子。的自共軛算子。證：證： x=(x1,xn), u=(u1,un) Cn AuxuaxuaxuxauAxuAxxAxninjjji

14、injniiijjininjjijniii,)()()()(,*,1111111所以所以A*=A, 即即A是復希爾伯特空間是復希爾伯特空間CnCn的自共軛算子。的自共軛算子。例例1 設設K(t,s)為定義在為定義在a t b, a s b上的二元平方可積函數上的二元平方可積函數，T是是復希爾伯特空間復希爾伯特空間L2a,bL2a,b的有界線性算子：的有界線性算子：,)(,)(),()(2baLsxdssxstKtTxba求求T的共軛算子與自共軛算子。的共軛算子與自共軛算子。證：證： y=y(t) L2a,b yTxdttyTtxdtdssytsKtxdsdttystKsxdsdttysxstK

15、dttytTxuTxyTxbabababababababa*,)(*)()(),( )()(),( )()()(),()()(,*,badssytsKtyT)(),()(*當當K(s,t)=K(t,s)時，時， 即即K(t,s)為實對稱函數時，為實對稱函數時，T*=T, 即即T 是復希是復希爾伯特空間爾伯特空間L2a,bL2a,b的自共軛算子。的自共軛算子。 即即T* 是以是以K*(t,s)= K(s,t)為核的積分算子。為核的積分算子。4 巴拿赫空間中的共軛算子的性質巴拿赫空間中的共軛算子的性質定理定理3 設設H 是希爾伯特空間，是希爾伯特空間，T: HH是有界線性算子，是有界線性算子，H

16、*=H 是是H的共軛空間，的共軛空間，T*: H*H*, 即即T*:HH為為T的共軛算子的共軛算子, 則則T* 一定是有界線性算子，且一定是有界線性算子，且|T*|=|T| 則的零空間，為值域，為為自共軛算子，設可交換，即算子。也為自共軛上的自共軛算子，則為若為實數。對為自共軛算子為復的希爾伯特空間設定理的有界線性到為為復希爾伯特空間，設定理TTTTTTTTTTTHTTxTxHXTHHHTTHi)3,)2,) 15,41221212121為自共軛算子。故得：再有為實數，則充分性，設對任意為實數。故的為自共軛算子，對任意）必要性，設證明：,)(,)(,4)(,)(,41,)(,),(),(),(4),(),(41,1*TTyTxTyxiyxTiyxiyxTiyxiyxTyxyxTyxyTxyxTyxyxyxTiyxiyxTiyxiyxTiyxyxTyxyxTyTxTxxxTxxTxHxxTxxTxTxxxTxHxT故即中任一元素，故為因，有則對任意，反之，設故中任一元素，為，而跑遍時，跑遍，當即則為自共軛算子，任取設為自共軛算子。故可交換