選修第一章極坐標(biāo)系

1、2000請問：去請問：去?請分析上面這句話，他告訴了問路人請分析上面這句話，他告訴了問路人什么？什么？從 這 向 北 走從 這 向 北 走 2 0 0 0 米 ！米 ！出發(fā)點(diǎn)出發(fā)點(diǎn)方向方向距離距離 在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點(diǎn)的位置。這種用方向和距離表表示一點(diǎn)的位置。這種用方向和距離表示平面上一點(diǎn)的位置的思想，就是極坐示平面上一點(diǎn)的位置的思想，就是極坐標(biāo)的基本思想。標(biāo)的基本思想。一、極坐標(biāo)系的建立：一、極坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)在平面內(nèi)取一個定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)。，叫做極點(diǎn)。引一條射線引一條射線OX，叫做極軸。，叫做極軸。再選定一個長度單位再選定一個

2、長度單位和角度單位及它的正和角度單位及它的正方向（通常取逆時針方向（通常取逆時針方向）。方向）。這樣就建立了一個極坐標(biāo)系。這樣就建立了一個極坐標(biāo)系。XO二、極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定二、極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定XOM 對于平面上任意一點(diǎn)對于平面上任意一點(diǎn)MM，用，用 表示線段表示線段OMOM的的長度，用長度，用 表示從表示從OXOX到到OM OM 的角度，的角度， 叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)MM的極徑，的極徑， 叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)MM的極的極角，有序數(shù)對（角，有序數(shù)對（ ， ）就）就叫做叫做MM的極坐標(biāo)。的極坐標(biāo)。特別強(qiáng)調(diào)：特別強(qiáng)調(diào)： 表示線段表示線段OM的長度，即點(diǎn)的長度，即點(diǎn)M到到極點(diǎn)極點(diǎn)O的距離；的距

3、離； 表示從表示從OX到到OM的角度，即的角度，即以以O(shè)X（極軸）為始邊，（極軸）為始邊，OM 為終邊的角。為終邊的角。題組一題組一：說出下圖中各點(diǎn)的極坐標(biāo)：說出下圖中各點(diǎn)的極坐標(biāo)ABCDEFGOX46535342 平面上一點(diǎn)的極坐標(biāo)是否唯一？平面上一點(diǎn)的極坐標(biāo)是否唯一？若不唯一，那有多少種表示方法？若不唯一，那有多少種表示方法？坐標(biāo)不唯一是由誰引起的？坐標(biāo)不唯一是由誰引起的？不同的極坐標(biāo)是否可以寫出統(tǒng)一表達(dá)式？不同的極坐標(biāo)是否可以寫出統(tǒng)一表達(dá)式？ 特別規(guī)定：特別規(guī)定： 當(dāng)當(dāng)M在極點(diǎn)時，它的在極點(diǎn)時，它的極坐標(biāo)極坐標(biāo) =0， 可以取任意值?？梢匀∪我庵怠Ｏ胍幌?？想一想？三、點(diǎn)的極坐標(biāo)的表達(dá)式的

4、研究三、點(diǎn)的極坐標(biāo)的表達(dá)式的研究XOM 如圖：如圖：OM的長度為的長度為4，4請說出點(diǎn)請說出點(diǎn)M的極坐標(biāo)的其的極坐標(biāo)的其他表達(dá)式。他表達(dá)式。思：這些極坐標(biāo)之間有何異同？思：這些極坐標(biāo)之間有何異同？思考：這些極角有何關(guān)系？思考：這些極角有何關(guān)系？這些極角的始邊相同，終邊也相同。也這些極角的始邊相同，終邊也相同。也就是說它們是終邊相同的角。就是說它們是終邊相同的角。本題點(diǎn)本題點(diǎn)M的極坐標(biāo)統(tǒng)一表達(dá)式：的極坐標(biāo)統(tǒng)一表達(dá)式：4 2k+4 ，極徑相同，不同的是極角極徑相同，不同的是極角(3,0)(6,2 )(3,)245(5,)(3,)(4, )365(6,)3ABCDEFG 題組二：在極坐標(biāo)系里描出下列

5、各點(diǎn)題組二：在極坐標(biāo)系里描出下列各點(diǎn)46535342 ABCDEFGOX四、極坐標(biāo)系下點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的四、極坐標(biāo)系下點(diǎn)與它的極坐標(biāo)的對應(yīng)情況對應(yīng)情況1給定（給定（ , ）,就可以在就可以在極坐標(biāo)極坐標(biāo)平面內(nèi)確定唯一的平面內(nèi)確定唯一的一點(diǎn)一點(diǎn)M。2給定平面上一點(diǎn)給定平面上一點(diǎn)M，但，但卻有無數(shù)個極坐標(biāo)與之對卻有無數(shù)個極坐標(biāo)與之對應(yīng)。應(yīng)。原因在于：極角有無數(shù)個。原因在于：極角有無數(shù)個。OXPM(,)如果限定如果限定0,02那么除極點(diǎn)外那么除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就可以一一對應(yīng)了可以一一對應(yīng)了.3一點(diǎn)的極坐標(biāo)有否統(tǒng)一的表達(dá)式？一點(diǎn)的極坐標(biāo)有否統(tǒng)一的表達(dá)式？小結(jié)小結(jié)1建立一個極

6、坐標(biāo)系需要哪些要素建立一個極坐標(biāo)系需要哪些要素極點(diǎn)；極軸；長度單位；角度單位和極點(diǎn)；極軸；長度單位；角度單位和它的正方向。它的正方向。2極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)有多少種極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)有多少種表達(dá)式？表達(dá)式？無數(shù)，極角有無數(shù)個。無數(shù)，極角有無數(shù)個。有。（有。（，2k+）極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化平面內(nèi)的一個點(diǎn)的直角坐標(biāo)是平面內(nèi)的一個點(diǎn)的直角坐標(biāo)是(1, )3這個點(diǎn)如何用極坐標(biāo)表示這個點(diǎn)如何用極坐標(biāo)表示?Oxy在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中, 以原點(diǎn)作為極點(diǎn)以原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸軸的正半軸作為極軸, 并且兩種坐標(biāo)系中取相并且兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位同的長度單

7、位點(diǎn)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為的直角坐標(biāo)為(1, 3)(1, 3)M設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為(,)23122 ）（ 313tan M ( 2, / 3)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化關(guān)系式:設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)是的直角坐標(biāo)是 (x, y) 極坐標(biāo)是極坐標(biāo)是 (,)x=cos, y=sin )0(tan,222 xxyyx 互化公式的三個前提條件：互化公式的三個前提條件：1. 極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合;2. 極軸與直角坐標(biāo)系的極軸與直角坐標(biāo)系的x軸的正半軸的正半 軸重合軸重合;3. 兩種坐標(biāo)系的單位長度相同兩種坐標(biāo)系的單位長度相同.例例1. 將點(diǎn)將點(diǎn)M

8、的極坐標(biāo)的極坐標(biāo) 化成直角坐標(biāo)化成直角坐標(biāo).2(5,)3解解: 2532cos5 x23532sin5 y所以所以, 點(diǎn)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為的直角坐標(biāo)為)235,25( 已知下列點(diǎn)的極坐標(biāo)，求它們的直已知下列點(diǎn)的極坐標(biāo)，求它們的直角坐標(biāo)。角坐標(biāo)。)6, 3( A)2, 2( B)2, 1( C)4,23( D)43, 2( E例例2. 將點(diǎn)將點(diǎn)M的直角坐標(biāo)的直角坐標(biāo) 化成極坐標(biāo)化成極坐標(biāo).(3, 1)解解: 21)3(22 ）（ 3331tan 因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限, 所以所以67 因此因此, 點(diǎn)點(diǎn)M的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為)67, 2( 練習(xí)練習(xí): 已知點(diǎn)的直角坐標(biāo)已知點(diǎn)的直角坐標(biāo), 求它們求它們的極坐標(biāo)