第一章集總參數(shù)電路中的電壓電流的約束關(guān)系

1、1 1電路及集總電路模型 12電路變量 電流、電壓及功率13基爾霍夫定律14電阻元件15電壓源16電流源17受控源18分壓公式與分流公式19 兩類約束 KCL和KVL方程的獨(dú)立性 110支路分析法第一章第一章 集總參數(shù)電路中電壓、集總參數(shù)電路中電壓、電流的約束關(guān)系電流的約束關(guān)系 1.1.1-1 1-1 電路與電路模型電路與電路模型 一、電路的組成 電路由電源（信號(hào)源）、負(fù)載、傳導(dǎo)和控制部分組成。 如圖1-1-1（a）所示 (a)手電筒實(shí)際電路(b)手電筒電路模型 對于各種實(shí)際的電路元件，在一定條件下，忽略其次要性質(zhì)，用一個(gè)表征其主要物理特性的理想化模型來表示，即理想元件。 對于理想電阻元件，簡

2、稱為電阻，只表征消耗電能的性質(zhì)。 二、理想元件 理想電感元件，簡稱為電感，只表征儲(chǔ)存和釋放磁場能量的特性。 理想電容元件，簡稱為電容，只表征儲(chǔ)存和釋放電場能量的特性。 1-1 1-1 電路與電路模型電路與電路模型 電路符號(hào)見圖1-1-2。 電阻符號(hào) 電感符號(hào) 電容符號(hào) 圖1-1-2 三、電路模型由理想元件組成的電路稱為電路模型。電路分析的對象是電路模型。 1-1 1-1 電路與電路模型電路與電路模型 由集總參數(shù)元件構(gòu)成的電路稱為集總參數(shù)電路。四、集總參數(shù)集總參數(shù)元件(lumped parameter element)：當(dāng)實(shí)際電路的尺寸遠(yuǎn)小于其使用時(shí)最高工作頻率所對應(yīng)的波長時(shí)而抽象出的理想元件。

3、集總參數(shù)電路幾種常用集總參數(shù)元件： RCL sUsi1-1 1-1 電路與電路模型電路與電路模型 例如電力系統(tǒng)的供電頻率為50Hz,波長=6000km, 在此工作頻率下，電路實(shí)驗(yàn)的元件尺寸L0 ，說明電路吸收（消耗）功率；若p0 ，說明電路釋放（供給）功率。 當(dāng)電壓與電流取關(guān)聯(lián)參考方向時(shí):1-2 1-2 電路分析的基本變量電路分析的基本變量 已知某支路電壓電流參考方向如圖所示。 （1）如i=2mA,u=-5mV,求元件吸收的功率， （2）如u=-200V,元件吸收功率p=12kW,求電流。 元件吸收功率-1010-6 W，或供出功率1010-6W。610 10 Wpui 解解：（1）例例1-2

4、-1（2）312 1060A200piu 支路電流是-60A 例例1-2-2 1-2-2 如圖所示，(a)已知某支路電流i=5A，u=3V,求功率p。(b)已知電壓源支路，i=-2A,us=3V，求功率p。 +_(a) (b) 例例1-2-2 解：解：（a）電壓電流為非關(guān)聯(lián)方向 p=-ui=-35=-15W 支路供出功率15W (b) 電壓電流為關(guān)聯(lián)參考方向p=ui=3(-2)=-6W 供出功率6W 11( )ttttw tpduid能量的單位是焦耳（J）。例例1-2-31-2-3已知圖1-2-6（a）中某元件電流 , i電壓 的波形如（b）（c）所示,求1）求元件吸收的功率；2）求元件吸收的

5、能量及平均功率。 u2.能量 ( )w t 若電路的電流和電壓符合關(guān)聯(lián)參考方向，在 到 時(shí)刻內(nèi)該電路吸收的能量為:1tt例例1-2-2解解：1）由圖示波形寫出電流和電壓的表達(dá)式如下： 1 03312 V363tti ttts 14 03312 V 363ttu ttts 1.元件吸收的功率 2241 0339( ) ( )14 W 369tttp ti t u tttS 在0t1，則uo us，此時(shí)受控源起著線性放大的作用。受控電源的功率，根據(jù)電源與電流的參考方向，其獲得的功率為p = u1iL= u1( u1/RL)= (u1)2/RL可見，受控源向外提供功率，為一有源元件。例例1-14 含

6、CCCS電路如圖1-7-2（a）所示，試求電壓uo和流經(jīng)受控源的電流圖1-7-2 例1-14圖1-7 受控源受控源i4i62110Auo(a)uou610Ai4i21(b)解解 為了分析方便，將圖(a)畫成圖(b)，注意正確標(biāo)出控制量與被控質(zhì)量的方向首先，在列寫方程時(shí)，將受控源看做獨(dú)立源。根據(jù)KCL有1-7 受控源受控源uou610Ai4i21010)4(216iuu010)3436uuu（其次，找出控制量與被求量之間的關(guān)系，并代入方程求解3ui V12u所以A4312i故得V8)(20iu流經(jīng)受控源的電流為A164 i在電路分析中，串聯(lián)電路的分壓公式和并聯(lián)電路的分流公式是很有用的公式。12

7、uiRR1-8 分壓公式和分流公式分壓公式和分流公式1212=+u uuRiR i一、串聯(lián)分壓公式NR1R2uu1u2由KVL及歐姆定理得因而由此可得uRRRu2111uRRRu2122一般情況下，n個(gè)電阻串聯(lián)，第k個(gè)電阻的電壓為uRRunkkkk11-8 分壓公式和分流公式分壓公式和分流公式二、電位及電子電路的習(xí)慣畫法在電子電路中常把金屬殼作為導(dǎo)體，因而把一些應(yīng)連在一起的元件一端分別就近與機(jī)殼相聯(lián)，機(jī)殼往往稱為“地”雖然它并不與大地相連接。如圖1-8-1(a)所示。圖1-8-1 電子電路中分壓電路的習(xí)慣表示形式R2R1us2u113u1R1R2us213(a)(b)在有了電位的概念以后，電路

8、中各點(diǎn)對“地”的電壓習(xí)慣上就用電位表示，因此就有了電路的習(xí)慣畫法。圖(a)得分壓電路的習(xí)慣畫法如圖(b)所示。例1-15 空載直流分壓電路如圖1-8-2所示，R1=R2=R3=100，求節(jié)點(diǎn)電壓U1及U21-8 分壓公式和分流公式分壓公式和分流公式解 注意U1、U2均系指節(jié)點(diǎn)1、2到參考節(jié)點(diǎn)的電壓，U1并非R2上的電壓，而是R2+R3兩端的電壓。R2兩端的電壓應(yīng)記為U12。因此有圖1-8-2 例1-15圖例1-16 圖1-8-3(a)所示電路為雙電源直流分壓電路，試說明U1可在+15V至15V間連續(xù)變化。電位器電阻為R，為1、3間的電阻在電位器總電阻R中所占比例的數(shù)值，0 1.U1R1R215

9、0V21R2U2V100100200200150RRRRR150U321321V50100200100150RRRR150U321321-8 分壓公式和分流公式分壓公式和分流公式解 首先將習(xí)慣畫法的電路變成我們熟悉的電路，如圖(b)所示。根據(jù)圖(b)有圖1-8-3 例1-16圖015-15-RIV)(RIUR15V1U1R15V(a)R15V1U1R15V(b)I23當(dāng)滑動(dòng)端1已知2時(shí)，。15VU1當(dāng)滑動(dòng)端1已知3時(shí)，15VU10當(dāng)滑動(dòng)端1在其他位置時(shí)，則根據(jù)KVL有RI30得所以有可見，當(dāng)滑動(dòng)端移動(dòng)時(shí)，隨之而動(dòng)，U1將在+15V與15V之間連續(xù)可變。12 iuGG1-8 分壓公式和分流公式分

10、壓公式和分流公式1212= +i iiGuG u一、并聯(lián)分流公式NG1G2ui1i2串聯(lián)電路可以起到分壓作用，并聯(lián)電路則可以起到分流作用。如右圖所示電路中，根據(jù)KCL有因而由此可得iGGGiiGGGiiGGinkkkki可見，并聯(lián)電導(dǎo)中的任一電導(dǎo)的電流等于總電流乘以該電導(dǎo)對總電導(dǎo)的比值。若有n個(gè)電導(dǎo)并聯(lián)，不難得出第k個(gè)電導(dǎo)的電流為思考題PP431-9 1-9 兩類約束兩類約束 KCLKCL和和KVLKVL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 一、電路的兩類約束一、電路的兩類約束 求解電路所需獨(dú)立方程數(shù) ：（1）電路的結(jié)構(gòu)約束：節(jié)點(diǎn)電流約束 KCL 回路電壓約束 KVL（2）電路的元件約束：電阻元件、電源元

11、件、受控 源的VCR設(shè)一電路有b條支路，每條支路需求一支路電流和一支路電壓則共需求2b個(gè)未知量，則共需2b個(gè)獨(dú)立方程才能求解該電路。b條支路有b各元件約束，可提供b個(gè)獨(dú)立元件約束方程，這樣要求結(jié)構(gòu)約束也能提供b個(gè)獨(dú)立方程。1-9 1-9 兩類約束兩類約束 KCLKCL和和KVLKVL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 二、二、KCLKCL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 一般來說，一個(gè)具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路，可得到的獨(dú)立的KCL方程數(shù)為n1。 i1i2i3i4i0us1us2u3u1u2R3R1R21234圖1-9-1 電阻電路一例圖1-9-1所示電路有4個(gè)節(jié)點(diǎn)，5條支路?，F(xiàn)依次對4個(gè)節(jié)點(diǎn)列寫KCL方程，有iiii

12、iiiiii這4個(gè)方程式中只有3個(gè)是獨(dú)立的，例如，第4個(gè)式子可由前3式相加、減得出。1-9 1-9 兩類約束兩類約束 KCLKCL和和KVLKVL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 所有n各節(jié)點(diǎn)的KCL方程之和為 KCL獨(dú)立方程數(shù)的證明每一支路接在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間。因而每一支路電流對一個(gè)節(jié)點(diǎn)為流出（設(shè)為if），則對另一個(gè)節(jié)點(diǎn)為流入（if）。因此如對所有的節(jié)點(diǎn)列寫KCL方程，每一支路電流將出現(xiàn)兩次，且一次為正，一次為負(fù)。這一結(jié)果表明，對電路的n個(gè)節(jié)點(diǎn)列寫的n個(gè)KCL方程式非獨(dú)立的（線性相關(guān)）。 nkbjjjkiii)()(但是，從n個(gè)方程中任意去掉一個(gè)，余下的(n-1)方程一定是互相獨(dú)立的。一般來說，對于n節(jié)

13、點(diǎn)電路，任意選擇(n-1)節(jié)點(diǎn)列寫的KCL方程一定是互相獨(dú)立的。三、三、KVLKVL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 對圖1-9-1所示電路列些回路KVL方程。先對兩個(gè)網(wǎng)孔列寫KVL方程：一般來說，如果一個(gè)電路有b條支路，n個(gè)節(jié)點(diǎn)，則該電路的獨(dú)立回路KVL方程數(shù)為（b- n+1）。1-9 1-9 兩類約束兩類約束 KCLKCL和和KVLKVL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 i1i2i3i4i0us1us2u3u1u2R3R1R21234圖1-9-1 電阻電路一例suuusuuu另外，還可對外回路列寫KVL方程。ssuuuu實(shí)際上，外回路的方程可由兩個(gè)網(wǎng)孔方程相加獲得。這就是說，不是所有的回路方程都是獨(dú)立的。

14、1-9 1-9 兩類約束兩類約束 KCLKCL和和KVLKVL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 下面分兩步證明： KVL獨(dú)立方程數(shù)的證明為了證明簡單，以平面電路為例。所謂平面電路就是可以畫在一個(gè)平面上而不使任何兩條支路交叉的電路。（a）一個(gè)平面電路有b-(n-1)個(gè)網(wǎng)孔；用數(shù)學(xué)歸納法證明平面電路的網(wǎng)孔數(shù)m =b-(n-1)。（b）b-(n-1)個(gè)網(wǎng)孔的KVL方程是獨(dú)立的；論證當(dāng)m=1時(shí)，由圖1-9-2可知，這一關(guān)系是無疑是正確的。圖1-9-2 m=1假設(shè)對一個(gè)具有m個(gè)網(wǎng)孔的電路該式也是正確的。則當(dāng)電路改為（m+1)網(wǎng)孔時(shí)，該式仍為正確，即可得證。1-9 1-9 兩類約束兩類約束 KCLKCL和和KVL

15、KVL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 當(dāng)網(wǎng)孔數(shù)為m+1時(shí)，一般情況下，設(shè)在m個(gè)網(wǎng)孔的任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間增加串聯(lián)的k條支路，很顯然這k條支路 必然經(jīng)過(k-1)個(gè)節(jié)點(diǎn)，因此這時(shí)電路具有的支路數(shù)、網(wǎng)孔數(shù)和節(jié)點(diǎn)數(shù)分別是：圖1-9-3 網(wǎng)孔數(shù)為 m+1k-1123k具有m個(gè)網(wǎng)孔kbb mm)(knn由于)(nbm，因而)()()()(nbknkbknkbnbmm可見，網(wǎng)孔數(shù)的公式依然正確。1-9 1-9 兩類約束兩類約束 KCLKCL和和KVLKVL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 所有網(wǎng)孔KVL方程是獨(dú)立的的證明 mkbjjjkuuu)()()(但是，去掉一個(gè)網(wǎng)孔方程（可去掉外沿網(wǎng)孔方程），其余m個(gè)方程一定是互相獨(dú)立

16、的。而電路的網(wǎng)孔數(shù)m=b-(n-1)，所以，一個(gè)電路可以提供b-(n-1)個(gè)獨(dú)立網(wǎng)孔方程。圖1-9-4 網(wǎng)孔及外沿網(wǎng)孔對于具有m個(gè)網(wǎng)孔的平面電路，如果把邊界也看成是一個(gè)包圍外部“空間”的網(wǎng)孔，則共有m+1個(gè)網(wǎng)孔。設(shè)網(wǎng)孔的繞行方向如圖所示，則對這m+1個(gè)網(wǎng)孔列寫KVL方程時(shí)，每個(gè)支路電壓將在這些網(wǎng)孔方程中出現(xiàn)兩次，一次為正，一次為負(fù)。所有方程之和為四、兩大約束提供的獨(dú)立方程數(shù)四、兩大約束提供的獨(dú)立方程數(shù) （1）元件約束提供的支路電流和支路電壓VCR約束方程數(shù)：b條支路可提供b個(gè)獨(dú)立的支路約束方程 （2）結(jié)構(gòu)約束提供的KCL、KVL獨(dú)立方程數(shù) ： KCL節(jié)點(diǎn)方程數(shù)：n-1 KVL網(wǎng)孔方程數(shù)：b-(

17、n-1) KCL、KVL工提供的獨(dú)立方程數(shù)： n-1+ b-(n-1) = b 所以，兩大約束提供的獨(dú)立方程數(shù)為所以，兩大約束提供的獨(dú)立方程數(shù)為2b個(gè)。因個(gè)。因此根據(jù)電路兩大約束關(guān)系列寫電路方程完全可此根據(jù)電路兩大約束關(guān)系列寫電路方程完全可以解出電路中各支路電流和支路電壓。以解出電路中各支路電流和支路電壓。 1-9 1-9 兩類約束兩類約束 KCLKCL和和KVLKVL方程的獨(dú)立性方程的獨(dú)立性 電路分析的典型問題是：給定電路的結(jié)構(gòu)、元件的特性以及各獨(dú)立源的電壓或電流（激勵(lì)），求出電路中所有的支路電壓和電流，或某些指定的支路電壓、支路電流（響應(yīng)）。1-10 1-10 支路分析支路分析 支路分析就

18、是以支路電流或支路電壓為變量對電流求解。以支路電流為變量求解稱為支路電流法，以支路電壓為變量求解稱為支路電壓法。由于每一給定支路電流和電壓之間并不獨(dú)立，只要求出其中一個(gè)，就可以根據(jù)它們的約束關(guān)系求出另外一個(gè)。所以在實(shí)際中，并不需要同時(shí)以支路電流和支路電壓為變量求解的，而是以支路電流或支路電壓為變量對電流求解。 對于一個(gè)有b條支路的電路，同時(shí)以支路電流和支路電壓為變量求解，共有2b個(gè)變量，需要有2b個(gè)電路方程，稱為2b法；而分別一支路電流或支路電壓為變量求解則有1b個(gè)變量，需要1b個(gè)電路方程，稱為1b法。 仍以圖1-9-1電路為例說明。該電路有5條支路，有5個(gè)支路電流變量，需要5個(gè)獨(dú)立方程，這5個(gè)獨(dú)立方程分別來自于KCL和KVL1-10 1-10 支路分析支路分析i1i2i3i4i0us1us2u3u1u2R3R1R21234 對于兩個(gè)網(wǎng)孔得到KVL： 一、支路電流法對3個(gè)任一節(jié)點(diǎn)得到KCL:iiiiiiisuiRiRsuiRiR注意：在支路電流法中列寫KVL方程是先根據(jù)元件約束關(guān)系將各支路電壓用相應(yīng)的